考点39+轨迹与轨迹方程-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点39+轨迹与轨迹方程-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点39 轨迹与轨迹方程 ‎【考纲要求】‎ 正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等 ‎【命题规律】‎ ‎ 轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）求点的轨迹方程 例1.【2017新课标卷】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． ‎ ‎【分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．‎ ‎（2）由题意知．设，‎ 则，．‎ 由得，又由（1）知，故．‎ 所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．‎ ‎【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎【变式1】【2016新课标卷】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（1）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【解析】由题设.设，则，‎ 且.‎ 记过两点的直线为，则的方程为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.‎ ‎【变式2】在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．‎ ‎【解析】＝(x,1)，＝(x，－2)，‎ ‎＝(x＋，y)，＝(x－，y)．‎ ‎∵λ2·＝·，‎ ‎∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，‎ 整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．‎ ‎①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；‎ ‎②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；‎ ‎③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（二）求点的轨迹 例2. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC 运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)‎ ‎【答案】D ‎【解析】当P沿AB运动时，x＝1，‎ 设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，‎ ‎∴y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．‎ 当P沿BC运动时，y＝1，‎ 则(0≤x≤1)，‎ ‎∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，‎ 由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.‎ ‎【名师点津】轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．‎ ‎【变式1】已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线．‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想．‎ ②分类讨论思想．‎ ③转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ 区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1. 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，‎ ‎∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，‎ 故所求的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎2. 已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A．x2＝4y　　　　　　 B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x ‎【答案】A ‎【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)．‎ ‎∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ ‎3. 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.‎ ‎4. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，‎ 又D2＋E2－4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆．‎ ‎5. 平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 ‎【答案】A ‎【解析】设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即 解得 又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，‎ 所以点C的轨迹为直线，故选A.‎ ‎6. 已知A，B为平面内两定点，过该平面内一动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)‎ A．圆　　　　　　　　　 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎【答案】C ‎7. 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G 的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0)　　　　　 B.＋y2＝1(y≠0)‎ C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，‎ 则由三角形重心坐标关系可得即 代入＋＝1得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．‎ ‎8. 设双曲线－＝1(a>0，b>0)两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是(　　)‎ A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分 ‎【答案】D ‎【解析】设点Q在双曲线的右支上(如图)，延长QF2，交F1P的延长线于点M，连接OP，则有＝，P为F1M的中点，∴＝＝(－)＝(－)＝a，且P点不能落在x轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.故选D.‎ ‎9. 已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．‎ ‎【答案】椭圆 ‎【解析】由题意可知|PM|＋|PN|＝|MA|＝6.又M(－2,0)，N(2,0)，∴动点P的轨迹是椭圆．‎ ‎10.【2016广东省湛江市模拟】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎11. 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为____________________．‎ ‎【答案】x2－＝1(λ≠0，x≠±1)‎ ‎【解析】由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，‎ 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ 即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ ‎12. 在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于点D，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．‎ ‎【答案】－＝1(x＞)‎ ‎【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.‎ ‎∴|AB|－|AC|＝2，‎ ‎∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＞)．‎ ‎13. 设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴左、右顶点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程为________.‎ ‎【答案】－＝1.‎ ‎【解析】设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x1，－y1)，易求A1(－3，0)，A2(3，0)，‎ 则直线A1P1的方程为y＝(x＋3)，①‎ 直线A2P2的方程为y＝(x－3)，②‎ 由①②得y2＝(x2－9).③‎ ‎∵点P1在椭圆上，∴＋＝1，得y＝－，即＝－.④‎ 把④代入③整理得－＝1，这就是点P的轨迹方程.‎ ‎14. 平面内与两定点距离之比为定值的点的轨迹是________.‎ ‎【答案】圆 ‎ ‎15.【2017广西南宁、梧州联考】已知点的坐标为，，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且.‎ ‎（1）求证：点共线；‎ ‎（2）若，当时，求动点的轨迹方程.‎ （2） 由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，，‎ （2） 设动点，则，，‎ 又，所以，即，‎ 动点的轨迹方程为.‎