2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期中数学（文）试题 一、单选题 ‎1．“大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1,1,2,3,x,8,13,21……则其中x的值是( )‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：观察可得,即可得到答案。‎ 详解：观察可得，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和可得x=3+2=5.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查归纳推理，找到规律,是关键，属于基础题。‎ ‎2．已知集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简集合M和N,由集合的包含关系判断即可。‎ 详解：=,‎ 故答案为A.‎ 点睛：本题主要考查不等式的解法和集合的基本关系以及集合的基本运算，属于基础题。‎ ‎3．设a，b，c∈R，且a>b，则 (　　)．‎ A. ac>bc B. <‎ C. a2>b2 D. a3>b3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据不等式的性质：同向可加性易知，故选D.‎ ‎【考点】不等式的性质.‎ ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ 点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．‎ ‎5．在同一坐标系中，方程x2＋y2＝1经过伸缩变换，后表示的图形是(　　)‎ A. 焦点在x轴上，长轴长为5的椭圆 B. 焦点在y轴上，长轴长为5的椭圆 C. 焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆 D. 焦点在y轴上，长轴长为10的椭圆 ‎【答案】C ‎【解析】分析：变化公式代入圆的方程可得。‎ 详解：变化公式代入圆的方程可得 所以该方程表示焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆 故答案选C.‎ 点睛：本题主要考查伸缩变换和椭圆的基础知识，属于基础题。‎ ‎6．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(　　)‎ A. 2 B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由绝对值三角不等式可得到结果。‎ 详解：函数 故本题答案选A。‎ 点睛：本题考查的是求绝对值函数的最值，一般的方法是去绝对值符号，得到分段函数，然后求出最值，也可以由绝对值三角不等式求解，另一种方法是用绝对值的几何意义：|x-a|的几何意义是数轴上一点到a的距离。‎ ‎7．已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）‎ A. 18 B. 19 C. 20 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用等差数列的通项公式得到关于和d的方程，联立方程解出和d进而求得，即可得到达到最大值时n的值。‎ 详解：（）=‎ 所以,‎ 而 所以,可得 故有,当n=20时，有最大值为400.‎ 故选C。‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式以及等差数列的性质，利用等差数列的通项公式得到关于和d的方程，联立方程解出和d进而求得，即可得到达到最大值时n的值。也可以由通项公式求得,判断数列的前20项为正，即可得到结果，属于中档题。‎ ‎8．关于x的不等式的解集是(1,+),则关于x的不等式()()>0的解集是 ( )‎ A. B. (-1,2)‎ C. (1,2) D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由已知出发，首先确定a,b的关系，并进一步确定一元二次不等式的解集。‎ 详解：关于x的不等式的解集为(1,+).‎ 则关于x的不等式()()>0可化为,‎ 解得或. 关于x的不等式的解集为. 故答案为:D.‎ 点睛：本题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于中档题 ‎9．数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则(　 　)‎ A. 1 B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解。‎ 详解：由题可知 解得d=-1，‎ 故答案为A.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题。‎ ‎10．若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将点代入直线+=1，然后由基本不等式求解。‎ 详解：因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2)，‎ 所以,‎ 则当且仅当“”时等号成立。‎ 故本题答案为B.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式求最值，整体代入并变形可用基本不等式的形式是解决本题的关键，属于中档题。‎ ‎11．满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 2或 C. 2 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由约束条件作出可行域，将，化为，z相当于的纵截距，由几何意义可得。‎ 详解：由题中约束条件作可行域如下图所示：‎ 将化为，即直线的纵截距取得最大值时的最优解不唯一。‎ 当时，直线经过点A(-2,-2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；‎ 当a=2时，直线与重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；‎ 当时，直线经过点B(0,2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；‎ 当a=-1时，直线与y=-x+2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；‎ 当a<-1时，直线经过点C(2,0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意。‎ 综上，当a=2或a=-1时最优解不唯一，符合题意。‎ 故本题正确答案为D。‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划，属于中档题。‎ ‎12．已知数列满足：，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过对变形可知,进而可知数列是首项、公比均为3的等比数列,计算即得结论.‎ 详解：变形可知,‎ 数列{}是首项，公比均为3的等比数列 ‎，即 故选B。‎ 点睛：本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立。‎ ‎∴的最小值为3。‎ 答案：3‎ ‎14．若满足约束条件，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再结合目标函数中z的几何意义，从而可以确定出目标函数在哪个点处取得最小值，之后由于可行域是开放区域，向上动的过程中，目标函数在逐渐的增大，能到正无穷，从而求得最后的结果.‎ 详解：根据题中所给的约束条件，画出对应的可行域，‎ 其为直线的上方，直线的上方，y轴的右侧的开放区域，‎ 且直线与直线交于点A，‎ 由得，‎ 由的几何意义可知该目标函数在点A处取得最小值，‎ 往上平移可到，由解得，‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，正确画出可行域是非常关键的，并且是一个开放的区域，这就决定了其没有最大值，并且会到正无穷，一定要分析清楚在哪个点处取得最小值，要明确对应的点是哪两条直线的交点，从而求得结果.‎ ‎15．数列中，，数列的通项公式 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题中变形得到,由累加法进行求解。‎ 详解：变形得到，可得 将上面各式累加，得 故答案为:‎ 点睛：本题考查了等差数列的基本知识,考查了学生的计算能力,解题时要认真审题,仔细解答,避免错误,属于基础题.‎ ‎16．设，，，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意根据柯西不等式得，所以，所以的最大值为．‎ ‎【考点】不等式的应用求最值．‎ 三、解答题 ‎17．不等式kx2－2x＋6k<0‎ ‎(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；‎ ‎(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得。‎ ‎（2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0.‎ 详解：(1)不等式的解集是或 方程的两个根为-3,-2‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎(2):①k=0时，显然不满足题意 ‎②时，解得，综上：‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键。‎ ‎18．已知等差数列的公差d>0，其前n项和为成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由已知列出方程，联立方程解出，，进而求得；‎ ‎（2）由（1）得，列项相消求和。‎ 详解：（1）因为，即，①‎ 因为为等比数列，即 所以，化简得：②‎ 联立①和②得：，，所以 ‎ ‎（2）因为 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的性质、等比中项以及列项相消法求和等数学知识，考查基础计算能力，由列项成 是求解第二问的关键，属于中档题。‎ ‎19．设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式求最大值为3，再将不等式转化为，根据绝对值定义可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）， ，‎ 故不等式的解集为 ‎（2）解：由（1）可知， 的最大值为3，故的最大值为7.‎ 若关于的不等式有解，只需，即，求得的范围为．‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎20．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由加减消元法消去参数t得到直线的普通方程，根据极坐标方程与普通方程的互化得到曲线C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程带入曲线C，由参数t的几何意义进行求解。‎ 详解：（1）直线l的普通方程为x-y+3=0,‎ ‎ 曲线C的直角坐标方程为 ‎ 将直线 l的参数方程带入曲线C：，得到 ‎ ‎ 设A,B对应的参数分别为 则有 有因为，所以 点睛：本题主要考查参数方程化成普通方程，极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程带入曲线C，由参数t的几何意义是第二问求解的关键，属于中档题。‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N．‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用与的关系可以求得通项公式；‎ ‎（2）设,,利用数列的性质进行求解。‎ 详解：(1)由题意得则 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,‎ 所以数列{an}是以1为首项,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,n∈N．‎ ‎(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N,b1=2,b2=1,‎ 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3,‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,‎ 当n≥3时,Tn=3+,当n=2时,也适合上式．所以Tn=‎ 点睛：本题主要考查了利用与的关系可以求得通项公式，等差数列和等比数列的求和公式，讨论和当时去掉绝对值符号，利用分组求和得到前n项和是关键，属于中档题。‎ ‎22．已知数列的前项和为. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，， 当时，‎ 当时，不满足上式，故 ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 令 ① ‎ ‎ ②‎ ‎①—②得： ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.‎