【数学】2019届一轮复习人教A版通项遗漏导致错位相减法求和错误学案

【数学】2019届一轮复习人教A版通项遗漏导致错位相减法求和错误学案

专题五 数列 误区三 通项遗漏导致错位相减法求和错误 一、易错提醒 数列求和问题是高考的重点,而错位相减法求和又是数列求和中的重点 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法 求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.笔者通过多年高三教 发现,高三 生都知道什么样的数列求和,可用错位相减法,但每次考试时,又有相等一部分 生在利用错位相减法求和时,出现运算错误.这一点应引起高三备考 生注意.在应用错位相减法求和时要注意以下问题 ‎ ‎(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形．‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式,特别要注意出现项数遗漏的情况． = ‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“”该不该考虑？,许多同 在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键.‎ 二、典例精析 ‎【例1】【2017届福建闽侯县三中高三上期中数 】已知数列满足且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列为等差数列,请求出实数；‎ ‎（3）求数列的通项公式及前项和为 ‎【分析】（1）根据由可得进而可得；（2）由为等差数列,得,进而解得；（3）由（2）得,进而可得,利用分组求和及错位相减求和可得数列的通项公式及前项和为.‎ ‎【解析】（1）∵,,,.（2）∵为等差数列,∴,‎ ‎,.‎ ‎(3),∴‎ ‎,∴‎ 令,‎ ‎,‎ ‎∴,∴.‎ ‎【点评】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点 ①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎【小试牛刀】【安徽省淮南市2018届高三一模】已知数列为等差数列,且,,数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）数列为等差数列,所以又因为,当时,所以当时,‎ 即数列是首项为,公比为的等比数列,所以 ‎（Ⅱ）[ ]‎ 两式相减得 所以 三、迁移运用 ‎1.求和 Sn＝＋＋＋…＋.‎ ‎2.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2－5x＋6＝0的根．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ ‎【解析】(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3,‎ 由题意得a2＝2, a4＝3.‎ 设数列{an}的公差为d,则a4－a2＝2d,故d＝,‎ 从而a1＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n＋1.‎ ‎(2)设的前n项和为Sn,由(1)知＝,则 Sn＝＋＋…＋＋,‎ Sn＝＋＋…＋＋.‎ 两式相减得 Sn＝＋－ ‎＝＋－＝1－.‎ 所以Sn＝2－. = ‎ ‎3．【2017江西赣州市十三县十四校高上期中】已知设是单调递减的等比数列的前项和,且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为,求证 对于任意正整数,‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎（2）由（1）知,‎ 所以 ,①‎ ‎,②‎ ‎②-①得 ,‎ ‎,‎ 由,得,‎ 故 又,因此对于任意正整数n, ‎ ‎4．【2017届湖南常德一中高三上 期月考】已知数列的前项和为,且,又数列满足 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）,.‎ ‎【解析】（1）由,‎ 当时,；当时,,‎ 故数列的通项公式为 ‎5．【2017届福建龙岩市五校高三上 期期中联考】已知数列的首项,且满足.‎ ‎（1）设,证明数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2） [ ‎ ‎【解析】（1） ‎ ‎∴数列是以为首项,3为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）可知 ‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ‎ ‎6．【2017届福建福州外国语 校高三适应性考试】数列的前项和为,且,设,．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（）；（2）．‎ ‎【解析】（1） ①‎ ‎ ②‎ 由①②得,由于,,‎ ‎∴（）．‎ ‎（2）,‎ 由题意得,③‎ ‎,④‎ ‎③④得,‎ ‎∴．‎ ‎7．【2017届山西太原市高三上期中】已知数列满足是等差数列,且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式； ‎ ‎（2）若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） ,；（2）.‎ ‎8．【2017届黑吉两省八校高三上期中】对于数列、,为数列的前项和,且,,,.‎ ‎（1）求数列、的通项公式； ‎ ‎（2）令,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为,所以,所以[ ]‎ ‎,所以的通项公式为.由,得,所以是等比数列,首项为,公比为,所以,所以的通项公式为.‎ ‎（2）,所以,①‎ 则②‎ ‎②-①得.‎ 所以.[ ]‎ ‎9.【河南省南阳市2018届高三上 期期末】 等差数列中,已知,,且,,构成等比数列的前三项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为,则由已知 ‎∴‎ 又解得或（舍去）‎ ‎∴,∴‎ 又,∴,∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 两式相减得 ‎ 则.‎