2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．过两点的直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知直线AB的斜率为，‎ 所以，‎ 解得．选C．‎ ‎2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）‎ A．快、新、乐 B．乐、新、快 C．新、乐、快 D．乐、快、新 ‎【答案】A ‎【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题.‎ ‎3．已知，点在轴上，，则点的坐标是（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意设，根据，解得，所以选.‎ ‎4．已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）‎ A．20 B．－4 C．0 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可。‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，‎ 将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以 ‎，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等。‎ ‎5．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，，，则；‎ ‎③若，，则；④若，，则.‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．① B．②和③‎ C．③和④ D．①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；②选项，m可能属于，故错误；③选项，m,n可能异面，故错误；④选项，该两平面可能相交，故错误，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等.‎ ‎6．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】设所求直线为，‎ 由直线与圆相切得，‎ ‎，‎ 解得。所以直线方程为或。选A.‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．3π C． D．6π ‎【答案】B ‎【解析】本试题主要是考查了运用三视图还原几何体，并求解几何体的体积的运用。‎ 由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1，高为6的圆柱，被截的一部分，如图 所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B。‎ 解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎8．已知点A(1,3)、B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 (　　)‎ A． B．‎ C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知直线恒过定点，如图．‎ 若与线段相交，则，∵， ，∴，故选D.‎ ‎9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A．‎ B．平面 C．平面平面 D．与所成的角等于与所成的角 ‎【答案】D ‎【解析】结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可。‎ ‎【详解】‎ A选项，可知可知，故，正确；‎ B选项，AB平行CD，故正确；‎ C选项，，故平面平面，正确；‎ D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等。‎ ‎10．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线，与圆 的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得，由l2与圆C相切，得.当l1、l2与圆C都外离时， .所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)．故选D.‎ 二、填空题 ‎11．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算a，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合题意可知圆心到直线的距离，所以结合点到直线距离公式 可得，结合，所以。‎ ‎【点睛】‎ 考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等。‎ ‎12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．‎ ‎【考点】正四棱柱外接球表面积．‎ ‎13．方程有惟一解，则实数的范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】结合题意，构造函数，转化为函数交点问题。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，绘制图形，可知 直线位于1号位置和2,3号位置之间，‎ 当直线位于1号位置时，‎ 当直线位于2号位置时，，当直线位于3号位置时，，故 k的范围为 ‎【点睛】‎ 考查了数形结合思想，关键抓住唯一解时直线的位置，即可，难度中等。‎ ‎14．正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可。‎ ‎【详解】‎ 连接，而，所以直线与所成角即为，设正方体边长为1，则，所以余弦值为。‎ ‎【点睛】‎ 考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线与所成角即为，难度中等。‎ ‎15．正三棱锥的底面边长为1，分别是，，，的中点，四边形的面积为，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合题意,设出PC的长度,用其长度表示面积,计算PC长度的范围,即可.‎ ‎【详解】‎ 取FG的中点M,连接PM，PF,PG，因为该三棱锥为正三棱锥，可知 PF=PG，故，故，而AB平行FG，EF平行PC，可知，设PC=x，故，接下来计算a的范围，绘制图形，‎ 当点P在平面ABC内，可知，故故的范围为 ‎【点睛】‎ 考查了正三棱锥的面积的范围,关键得出PC的长度,计算结果,即可,难度偏难.‎ 三、解答题 ‎16．求满足下列条件的直线方程.‎ ‎(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；‎ ‎(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.‎ ‎【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.‎ ‎【解析】试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ，‎ 所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，‎ 则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－ ‎ 又直线经过点(－1，－3)，‎ 因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，‎ 因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12，‎ 解得a＝±3，‎ 所以所求直线的方程为或，‎ 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.‎ ‎【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.‎ ‎17．有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可。法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可。法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可。‎ ‎【详解】‎ 法一：由题意可设所求的方程为，‎ 又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得， ‎ 所以所求圆的方程为.‎ 法二：设圆的方程为，‎ 则圆心为，由，, ‎ ‎，解得，‎ 所以所求圆的方程为.‎ 法三：设圆的方程为，由，，在圆上，‎ 得，解得，‎ 所以所求圆的方程为.‎ 法四：设圆心为，则，又设与圆的另一交点为，‎ 则的方程为，‎ 即.‎ 又因为，‎ 所以，所以直线的方程为.‎ 解方程组，得，所以．‎ 所以圆心为的中点，半径为.‎ 所以所求圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等。‎ ‎18．正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，.‎ 求证：(1) 平面；‎ ‎(2) 平面.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】(1)由题意利用线面平行的判定定理证明题中的结论即可；‎ ‎(2)由题意结合线面垂直的判定定理证明题中的结论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图设AC与BD交于点G．‎ 因为EF∥AG，且EF＝1，‎ AG＝AC＝1，‎ 所以四边形AGEF为平行四边形．‎ 所以AF∥EG．‎ 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，‎ 所以AF∥平面BDE．‎ ‎(2)连接FG，‎ ‎∵EF∥CG，EF＝CG＝1，‎ ‎∴四边形CEFG为平行四边形，‎ 又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形，‎ ‎∴EG⊥CF．‎ 在正方形ABCD中，AC⊥BD．‎ ‎∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，‎ ‎∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF．‎ 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.‎ ‎19．已知点及圆.‎ ‎(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；‎ ‎(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）不存在.‎ ‎【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可。（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.‎ 所以直线方程为，即.‎ 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．‎ 即直线的方程为或.‎ ‎(2)由于，而弦心距，‎ 所以.‎ 所以恰为的中点．‎ 故以为直径的圆的方程为.‎ ‎(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.‎ 由于直线交圆于两点，‎ 故，‎ 即，解得.‎ 则实数的取值范围是．‎ 设符合条件的实数存在，‎ 由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，‎ 而，‎ 所以.由于 ，‎ 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.‎ ‎【点睛】‎ 考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难。‎ ‎20．如图1所示，在中， 分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证： //平面；‎ ‎（2）求证： ；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出 ‎（2）可以先证，得出，∵∴‎ ‎∴‎ ‎(3)Q为的中点，由上问，易知,取中点P，连接DP和QP，不难证出， ∴∴,又∵∴‎