宁夏石嘴山市第三中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

宁夏石嘴山市第三中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年高一第一学期数学期末试卷 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行补集、交集的运算即可．‎ ‎【详解】由题意，.故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算，属于基础题．‎ ‎2.直线（a为常数）的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程整理成斜截式，利用斜率与倾斜角的关系列方程求解．‎ ‎【详解】由得：，所以，，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，即（）．‎ ‎3.圆的圆心和半径分别是（ ）‎ A. ， B. ， C. ，2 D. ，3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的标准方程即可求解.‎ ‎【详解】由圆的标准方程：，‎ 即圆心为，半径为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查圆的标准方程，需熟记圆的标准方程：，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性，求出（3），（4）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．‎ ‎【详解】函数是减函数，又（3），‎ ‎（4），‎ 可得（3）（4），‎ 由零点判定定理可知：函数，包含零点的区间是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．‎ ‎5.已知函数则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f(10),再求的值.‎ ‎【详解】由题得 所以=f(1)=.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB垂直平分线的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，‎ 所以 ‎．‎ 即：‎ ‎，‎ 化简得：．‎ 故选．‎ ‎7.已知方程的两个根为，则（）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根与系数的关系可得，再结合对数的运算，‎ 再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为方程的两个根为，‎ 由韦达定理可得，‎ 又，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了韦达定理及对数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.‎ ‎8.若圆截直线所得弦长为，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心的坐标和圆的半径，再通过分析得到圆心在直线上，所以=3，解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得（m＜5），‎ 所以圆心的坐标为（1，-2）,半径为，‎ 由题得圆心到直线的距离d=,‎ 所以圆心在直线x-y-3=0上，‎ 所以=3，‎ 所以m=-4.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎9.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )‎ A. 若m∥,n∥,则m∥n B. 若m,n,m∥,n∥,则∥‎ C. 若，m,则m D. 若，m，m,则m∥‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，‎ B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，‎ C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，‎ D选项中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正确命题，‎ 故选D ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.已知函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系中的图象是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的图象和性质，可得a∈（0，1），再由指数函数和对数函数的图象和性质，可得答案．‎ ‎【详解】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），‎ 故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．‎ ‎11.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）．‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】点在圆外，，‎ 圆心到直线距离，‎ 直线与圆相交.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知函数其中.若存在实数，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，依题意函数与直线有三个不同的交点，可得 ‎，解之即可．‎ ‎【详解】当时，函数的图象如图：‎ 时，‎ ‎，‎ 要使得关于的方程有三个不同的根，‎ 必须，‎ 即，‎ 解得，‎ 的取值范围是，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.球的表面积为，则球的体积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据球的表面积公式求出半径，再依据其体积公式即可求出体积．‎ ‎【详解】由题可知，，即有，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查球的表面积公式以及体积公式的应用．‎ ‎14.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 在正方体体中，连接，‎ 所以异面直线与所成角，即为直线和所成的角或其补角．‎ 设正方体的棱长为，由于平面，‎ 所以为直角三角形．‎ 所以，‎ 所以．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．‎ ‎15.函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到函数在上单调递增，；再由函数单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 又，所以，‎ 所以当时，由得：；‎ 当时，因为函数单调递减，由可得：；‎ 综上，使得的实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.‎ ‎16.下列四个命题中，正确的命题是_________．‎ ‎①已知点,则的面积为10.‎ ‎②若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的倍 ‎③过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.‎ ‎④直线与直线距离是.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用两点间的距离公式以及点斜式、点到直线的距离公式可判断①；根据斜二测画法的步骤和方法可判断②；根据直线过原点与坐标轴的截距也互为相反可判断③；由两平行线间的距离公式可判断④.‎ ‎【详解】对于①，由点，‎ 则，‎ 由，则直线：，整理得 ‎ 点到的距离为，故，故①错；‎ 对于②，设三角形底边为、高为；斜二测画法水平长度不变仍为，‎ 竖直变为原来的一半，垂直角变为或，‎ 斜二测画出的三角形高为，故直观图的面积是原三角形面积的倍，‎ 故②正确；‎ 对于③，过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.‎ 当直线过原点时也满足条件，即，故③错误； ‎ 对于④，直线与直线平行，直线化为 ‎ ‎ 故直线间的距离为，故④正确；‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假、两点间的距离公式、斜二测画法、点斜式方程以及两平行线间的距离，考查了基本知识，属于基础题.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；‎ ‎(1)若，求的直线方程；‎ ‎(2)若，求的直线方程．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l ‎(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l ‎【详解】（1）由，得，‎ ‎∴与的交点为.‎ 设与直线平行直线为，‎ 则，∴.‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎（2）设与直线垂直的直线为，‎ 则，解得．‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．‎ ‎18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．‎ ‎(1)求证：AB⊥平面PAD；‎ ‎(2)求证：EF//平面PAD．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明PA⊥AB，AD⊥AB，证得AB⊥平面PAD．‎ ‎（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得 FG∥PD，再由矩形的性质得 EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．‎ ‎【详解】（1）∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，‎ 这样，AB垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴AB⊥平面PAD．‎ ‎（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，‎ ‎∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD． ‎ 故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．‎ ‎【点睛】本题考查证明线面垂直、线面平行、面面平行的判定定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题．‎ ‎19.已知圆，直线．‎ ‎（1）当直线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）当直线与圆相交于 两点，且时，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把一般方程配成圆的标准方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离为半径得到关于的方程，解出即可．（2）先利用几何性质由弦长得到圆心距为，再利用点到直线距离公式得到关于的方程，解出即可．‎ 解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为.‎ ‎（1）当直线与圆相切，则有 ，解得 ‎（2）过圆心作于，则根据题意和圆的性质， ，，解得或，故所求直线方程为或. ‎ ‎20.已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）判断的奇偶性并证明.‎ ‎（Ⅲ）判断在上的单调性，并给予证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，即可求出的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；‎ ‎（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得， 解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为关于原点对称 ‎ ‎，∴为奇函数 ； ‎ ‎（Ⅲ）函数在上是单调减函数 ，证明如下：设，且 ‎ 因为，所以，∴ ‎ 所以，即 ，所以在上是单调减函数．‎ ‎【点睛】判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；第二步：作差；第三步：变形；第四步：判断符号；第五步：下结论．其中第三步主要采用通分，因式分解的方法．‎ ‎21.如图，在直四棱柱中，，，,‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）比较四棱锥与四棱锥的体积的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先证出，，利用面面垂直的判定定理即可证出.‎ ‎（2）求出，可求出四边形的面积，利用四棱锥的体积公式分别求出的体积即可比较出大小.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，‎ ‎∴， ‎ 又平面，∴，‎ ‎∵，∴平面.‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵且，∴‎ 又 ∴四边形面积为 ‎∴‎ 又， ‎ ‎∵ ∴‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、棱锥的体积公式，需熟记定理与公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，点，直线，圆：.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围,并求出圆心坐标;‎ ‎（Ⅱ）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（Ⅲ）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)的取值范围为，圆心坐标为；（Ⅱ）‎ ‎ ；(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)把圆的方程配成标准式，方程右边需大于零，即可求得参数的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）已知圆的圆心坐标为，当半径为1时，可求得圆的标准方程；用待定系数法求过圆外一点的切线方程，分析直线的斜率存在与否，如存在设斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程，解得.‎ ‎（Ⅲ）设出圆心的坐标，表示出圆的方程，进而根据，点在的中垂线上，由坐标已知，从而可求的中垂线方程，根据在圆上，进而确定不等式关系求得的范围．‎ ‎【详解】(Ⅰ) 化为 由，∴ 的取值范围为，圆心坐标为 ‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知圆的圆心的坐标为，当半径为1时，‎ 圆的方程为: 将代入 得，∴在圆外,‎ 设所求圆的切线方程为，∴ ‎ ‎∴∴‎ ‎∴ ∴所求圆的切线方程为: ‎ 即.‎ ‎(Ⅲ)∵圆的圆心在直线上,所以,设圆心，又半径为1，‎ 则圆的方程为: ，‎ 又∵， ‎ ‎ ∴点在的中垂线上，的中点得直线: ‎ ‎∴点应该既在圆上又在直线上，即:圆和直线有公共点 ‎ ‎∴ ，∴ 终上所述, 的取值范围为: ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．对于方程，当且仅当时表示圆.涉及圆的切线问题时一般有两种思路：第一、联立方程，消元得到一个一元二次方程；第二、圆心到直线的距离等于半径.‎