广东省汕头市潮阳实验学校2019-2020学年高二下学期第一次线上测试数学试题

广东省汕头市潮阳实验学校2019-2020学年高二下学期第一次线上测试数学试题

高二数学第二学期第一次测试试卷 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设i是虚数单位，若，，则复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前n项和是，且，则下列命题正确的是（ ）‎ A．是常数 B．是常数 C．是常数 D．是常数 ‎4．圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点F为双曲线C：的右焦点，点F到渐近线的距离是点F到左顶点的距离的一半，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A．或 B． C．2 D．‎ ‎7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且，点，直线，则 ‎8．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． В． C． D．‎ ‎9．已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）‎ A．可由函数的图象向左平移个单位而得 B．可由函数的图象向右平移个单位而得 C．可由函数的图象向右平移个单位而得 D．可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎10．是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设O为坐标原点，点P为抛物线C：上异于原点的任意一点，过点P作斜率为0的直线交y轴于点M，点P是线段MN的中点，连接ON并延长交抛物线于点H，则的值为（ ）‎ A．p В． C．2 D．‎ ‎12．已知函数是R上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有，给出以下三个命题：‎ ‎①直线是函数图像的一条对称轴；‎ ‎②函数在区间上为增函数；‎ ‎③函数在区间上有五个零点．‎ 问：以上命题中正确的个数有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量，，且，则____________．‎ ‎14．已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为____________．‎ ‎15．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围为____________．‎ ‎16．在菱形ABCD中，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P-BD-C的大小为，三棱锥P-BCD的外接球心为O，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为_____________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足，，又点D满足．‎ ‎（1）求a及角A的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎18．（本题满分12分）在数列中，，．‎ ‎（1）证明是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎19．（本题满分12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：‎ 年龄x ‎28‎ ‎32‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎48‎ ‎52‎ ‎58‎ ‎62‎ 收缩压y ‎（单位mm Hg）‎ ‎114‎ ‎118‎ ‎122‎ ‎127‎ ‎129‎ ‎135‎ ‎140‎ ‎147‎ 其中：‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0．01）‎ ‎（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0．9到1．06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1．06到1．12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1．12到1．20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1．20倍及以上，则为高度高血压人群，一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？‎ ‎20．（本题满分12分）如图，四棱柱的底面为菱形，，，E，F为CD，中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若底面ABCD，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长．‎ ‎21．（本题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为，问直线AD与BD的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．‎ ‎22．（本题满分12分）已知函数，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数a的取值范围;‎ ‎（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎2019-2020学年度寒假网课高二数学测试卷 参考答案 一、选择题 ‎1-5：BADCA 6-10：BCBBA 11-12 CB 二、填空题 ‎13． 14．-2 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由及正弦定理得 ‎，‎ 即， 1分 在中，，‎ 所以， 2分 又，所以． 3分 在中，由余弦定理得，‎ 所以． 5分 ‎（2）由，得 7分 ‎， 9分 所以． 10分 ‎18．解：（I）因为， 5分 所以数列是首项为，公差为1的等差数列； 6分 ‎（II）由（I）知数列是首项为，公差为1的等差数列， 7分 所以，即， 9分 所以，易知数列是首项为1，公比为2的等比数列， 11分 所以． 12分 ‎19．解：（1）‎ ‎ 4分 ‎（2） 5分 ‎ 6分 ‎ 7分 ‎ 8分 ‎∴回归直线方程为． 9分 ‎（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为 11分 ‎∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群． 12分 ‎20．（1）证明：设G为的中点，连EG，GF 因为，又，所以，‎ 所以四边形DEGF是平行四边形． 2分 所以 又平面，平面， 3分 所以平面． 4分 ‎（2）解：因为ABCD是菱形，且，‎ 所以是等边三角形 取BC中点G，则，‎ 因为平面ABCD，‎ 所以，‎ 建立如图的空间直角坐标系，令， 6分 则，‎ ‎， 8分 设平面的一个法向量为，‎ 则且，‎ 取， 10分 设直线与平面所成角为，‎ 则，解得，故线段的长为2． 12分 ‎21．解：（1）由已知可得， 2分 解得，， 3分 故所求的椭圆方程为． 4分 ‎（2）由得， 5分 则，‎ 解得或． 6分 设，‎ 则， 8分 则， 9分 所以，‎ 所以为定值，且定值为0． 12分 ‎22．解：（1），‎ 当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，‎ ‎（其中），‎ 解得； 2分 当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立，‎ ‎（其中），‎ 解得．‎ 综上所述，实数a的取值范围是． 4分 ‎（2）．‎ 由，知在区间内恰有一个零点， 5分 设该零点为，则在区间内不单调，‎ 所以在区间内存在零点，‎ 同理，在区间内存在零点，‎ 所以在区间内恰有两个零点． 6分 由（1）知，当时，在区间上单调递增，‎ 故在区间内至多有一个零点，不合题意． 7分 当时，在区间上单调递减，‎ 故在区间内至多有一个零点，不合题意，‎ 所以． 8分 令，得，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间内单调递增． 9分 记的两个零点为，‎ 因此，必有，．‎ 由，得，‎ 所以， 10分 又，，‎ 所以． 11分 综上所述，实数a的取值范围为． 12分