数学理卷·2019届山西省太原市金河学校高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届山西省太原市金河学校高二上学期期中考试（2017-11）

高二第一学期期中考试 数学（理）试题 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为2的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；‎ ‎②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；‎ ‎③若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b. ④若，，，则 其中正确命题的个数________．‎ A.1 B.2 C.3 D. 4‎ ‎4.若实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0必过定点（____）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数,则a的值是(　 ）　‎ ‎(A) -2或1 (B) -2或-1 (C) -1 (D) 1‎ ‎6．若直线与的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝，则a等于(　　)‎ A. B. 2 C. －1 D. 2或－1‎ ‎8．直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10． 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 （ ） ‎ N M A． B． C． D．‎ ‎11．已知，给出下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。‎ ‎13. 已知直线与互相垂直，垂足为，则为 ‎ ‎14．设实数满足条件，若目标函数的最大值为 ‎6，则的最小值为 ．‎ ‎15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎16.如图，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：‎ ① 与所成角的正切值是； ② ∥；‎ ③ 体积是； ④ 平面⊥平面；‎ ‎⑤ 直线与平面 所成角为.‎ 其中正确的有 .（填写你认为正确的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，17题10分其余每小题12分，共70分。‎ ‎17．已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程.‎ ‎18．如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为， 是的中点．‎ ‎（I）求证： 平面．（II）求证:‎ ‎（III）求三棱锥的体积．‎ ‎19．已知直线l经过点P（1，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.‎ ‎20．如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分别为的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎21. 如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2‎ ‎(1)若点E,F分别为AB,CD的中点，求证：BD1F∥平面A1DE；‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本题共12分）如图所示，已知三棱柱，点在底面上的射影恰为的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ 附加题：（共20分）‎ ‎1．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角ABDC的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．‎ ‎2.已知的两条高所在直线方程为，若，求直线的方程 .‎ ‎4．如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ‎ ‎，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.‎ ‎（1）证明： 和不可能垂直；‎ ‎（2）当时，求到平面的距离。‎ 高二年级第二次练兵考试 数学（理）试题答案 一、 选择题：‎ ‎1—5 DACDB 6-10 CBBDA 11-12 CB 二、填空题：‎ ‎13.-4 14.2 15. 16.①③④⑤‎ 三、解答题：‎ ‎17.(1)(2)‎ ‎18. （I）证明：‎ ‎∵在正中， 是边中点，∴，‎ ‎∵在正三棱柱中， 平面， 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点， ， 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）连接、，设点，连接，‎ ‎∵在中， 、分别是、中点，∴，‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎（III）‎ ‎19. （1）4,（2）4，‎ ‎20.(1)∵，又∵面面，面面，‎ ‎，∴，∵BD∥AE，∴， ‎ 如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵，∴设各点坐标为 ‎，，，，，‎ 则，，，‎ ‎，，.‎ ‎（1），‎ 则与所成角为. ‎ ‎（2）设平面ODM的法向量，则由，且可得 令，则，，∴，设直线CD和平面ODM所成角为，则 ‎，‎ ‎∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为． ‎ ‎21. (1)略 ‎(2)根据题意得DD1⊥DA，DD1⊥DC，AD⊥DC，以D为坐标原点，DA，DC， ‎ DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0，2,0)．‎ 设满足条件的点E存在，‎ 令E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，‎ 设n1＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，‎ 则得 令y1＝1，则平面D1EC的法向量为n1＝(2－y0,1,2)，‎ 由题知平面DEC的一个法向量n2＝(0,0,1)．‎ 由二面角D1ECD的大小为，得cos ＝＝＝，‎ 解得y0＝2－∈[0,2]，‎ 所以当AE＝2－时，二面角D1ECD的大小为．‎ ‎22. 解：如图所示，取的中点，则.‎ 又平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则 ‎ . .2分 ‎（Ⅰ）证明：，‎ 由，知，又，从而平面. 平面.6分 ‎（Ⅱ）因为，，由得.‎ ‎,设平面的一个法向量为，则 ，可取，同理，可求得平面的一个法向量为，.‎ 所以，二面角的余弦值为. .12分 附加题：1.‎ ‎2.‎ ‎3.（1）设其中，所以 ，，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.‎ ‎（2）‎