高一必修1典例选讲及配套习题 第19讲 方程的根与函数的零点
第18讲 方程的根与函数的零点（2）
例题讲解
例1函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
例2设x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例3若函数f(x)=,则函数g(x)=f(4x)-x的零点是 .
例4求下列函数的零点:
(1)f(x)=5x-3; (2)f(x)=x7-2.
例5已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的零点所在的大致区间是( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
例6函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间为( ).
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
例7方程x3-x-1=0在[1,1.5]内的实数解有( ).
A.3个 B.2个 C.至少1个 D.0个
例8设函数y=x3与y=的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例9设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( ).
A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
例10已知函数f(x)=的零点是2,则2m= .
例11对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:
①在(-2,-1)内有实数根;
②在(-1,0)内有实数根;
③在(1,2)内有实数根;
④在(-∞,+∞)内没有实数根.
其中正确的有 .(填序号)
例12函数f(x)=mx-1在(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是 .
例13已知二次函数f(x)满足:f(0)=3;f(x+1)=f(x)+2x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m的范围.
过关精炼
1.方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．
2．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集．
3．函数y＝－的一个零点是( )
A．－1 B．1 C．(－1,0) D．(1,0)
4．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
5．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为( )
A．－1 B．0 C．3 D．不确定
6．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有惟一实数根
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
A．a<α
1 D．00，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
14．(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)＝2x－logx的零点所在的区间为( )
A. B. C. D．(1,2)
.
15．方程ex－x－2＝0在实数范围内的解有________个．
16．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪.则a＝
17．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值集合．
18．若函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求a的取值范围．
第18讲 方程的根与函数的零点（2）
例题讲解
例1解析:因为f(-2)=e-2-2-2=-4<0,f(-1)=e-1-1-2=-3<0,f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,f(2)=e2+2-2=e2>0,所以函数f(x)的零点在(0,1)内.答案:C
例2解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-3<0, f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,
f(4)=ln 4>0,则x0∈(2,3) 答案:C
例3解析:g(x)=f(4x)-x=-x.令-x=0,解得x=,则函数g(x)的零点是.
例4解:(1)令5x-3=0,∴5x=3.∴x=log53.
∴函数f(x)的零点是x=log53.（2)令x7-2=0,∴x=.
例5答案:C
例6解析:f(1)=ln 1+2-6=-4<0,f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,
f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,所以f(2)f(3)<0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3).答案:B
例7解析:方程x3-x-1=0在[1,1.5]内实数解的个数,即为函数f(x)=x3-x-1在[1,1.5]内零点的个数,由f(1)·f(1.5)<0可知f(x)=x3-x-1在[1,1.5]内至少有1个零点,故方程x3-x-1=0在[1,1.5]内至少有1个实数解.答案:C
例8解析:令f(x)=x3-,则f(0)=0-=-4<0,f(1)=1-=-1<0,f(2)=23-=7>0,f(3)=27-=26>0,f(4)=43-=63>0,∴f(1)·f(2)<0,即x0所在的区间是(1,2).答案:B
例9解析:由于二次函数f(x)的二次项系数1>0,且f(m)<0,则二次函数f(x)存在两个零点,设为x1,x2,且x10,x10,则<1,则m-10.答案:A
例10解析:∵f(x)的零点是2,∴f(2)=0, ∴=0.解得m=-2, ∴2m=2-2=.
例11解析:设f(x)=x3+x2-2x-1,则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0, f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
则f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有零点,即①②③正确. 答案:①②③
例12解析:画出函数f(x)=mx-1的图象如图所示,设A(1,0).
若函数f(x)=mx-1在(0,1)内有零点,则f(x)的图象与x轴的交点应在线段OA(不含端点)上.由图可知f(1)=m-1>0,解得m>1.答案:(1,+∞)
例13解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3.
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+(a+b+3), f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3,
∵f(x+1)=f(x)+2x, ∴解得a=1,b=-1, ∴f(x)=x2-x+3.
(2)由(1),得g(x)=x2-|x|+3+m,
在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图象,如图所示,
由于函数g(x)有4个零点,则函数g(x)的图象与x轴有4个交点.
由图象得 解得-30，则m＝0应符合题设，所以排除A、B，当m＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2它的根是x＝1符合要求，排除C.∴选D.
解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当m<0时必成立，排除A、B，
(2)当m>0时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则 ∴00.∴选D.
5[答案] B 因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．
6[答案]D∵f(x)为单调减函数，x∈[a，b]且f(a)·f(b)<0∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x＝0.
7[答案] C ∵α、β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0，又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.
结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间
8[答案] C 令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0∴lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
9[答案] D ∵f(x)＝x－lnx(x＞0)，∴f(e)＝e－1＜0， f(1)＝＞0，f()＝＋1＞0，
∴f(x)在(1，e)内有零点，在(，1)内无零点．故选D.
10[答案] C ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
11[答案] B 设方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，则有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m>0，x1·x2＝m>0，解得00，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点；
若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)·f(2)>0，∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.
14[答案] B ∵f＝2－log＝－2<0，f＝－1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.
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16【答案] －2 <0⇔(ax－1)(x＋1)<0，∵其解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞)，
∴a<0且－1和－是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，解得a＝－2.
17[解析] ∵－是函数的零点，∴f＝0，
∵f(x)为偶函数，∴f()＝0，∵f(x)在(－∞，0]上递增，f(logx)≥f，
∴0≥logx≥－，∴1≤x≤2，∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上单调减，
又f(logx)≥f()，∴0≤logx≤，∴≤x≤1，∴≤x≤2. 故x的取值集合为{x|≤x≤2}．
18[解析] ∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．
当a＝0时，x＝－1. 当a≠0时，若ax2－x＋a－1＝0有解，
则Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，解得≤a≤且a≠0.
综上所述，≤a≤.
