2019届二轮复习中档大题分类练2　数列作业（全国通用）

2019届二轮复习中档大题分类练2　数列作业（全国通用）

中档大题分类练(二)　数列 ‎(建议用时：60分钟)‎ ‎1．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝4，an＝2n＋1(n≥2)．‎ ‎(1)证明：当n≥2时，Sn＝an＋n2；‎ ‎(2)若等比数列{bn}的前两项分别为S2，S5，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)证明：当n≥2时，‎ ‎∵Sn＝4＋(5＋7＋…＋2n＋1)‎ ‎＝4＋＝n2＋2n＋1，‎ ‎∴Sn＝(2n＋1)＋n2＝an＋n2.‎ ‎(2)由(1)知，S2＝9，S5＝36，‎ ‎∴等比数列{bn}的公比q＝＝4，‎ 又b1＝S2＝9，∴Tn＝＝3(4n－1)．‎ ‎2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2.‎ 解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.‎ 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1‎ ‎＝4an＋1＋2－(4an＋2)‎ ‎＝4an＋1－4an，‎ 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，‎ 即bn＋1＝2bn.‎ 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，‎ 所以an＋1－2an＝3×2n－1.‎ 于是－＝，‎ 因此数列是首项为、公差为的等差数列．‎ ＝＋(n－1)＝n－.‎ 所以an＝(3n－1)·2n－2.‎ ‎3．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．‎ ‎(1)证明：{an＋1}为等比数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列．‎ ‎[解]　(1)证明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，‎ ‎∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)，‎ ‎∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1.‎ ‎∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0‎ ‎∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．‎ ‎4．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(－1)nlogan，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)∵Sn＝2－2an＋1，a1＝1，‎ ‎∴当n＝1时，S1＝2－2a2，得a2＝1－＝1－＝； ‎ 当n≥2时，Sn－1＝2－2an，‎ ‎∴当n≥2时，an＝2an－2an＋1，‎ 即an＋1＝an, 又a2＝a1，‎ ‎∴{an}是以a1＝1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝(－1)n(n－1)，‎ Tn＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n－1), ‎ 当n为偶数时，Tn＝；‎ 当n为奇数时，Tn＝－(n－1)＝，‎ ‎∴Tn＝ ‎（教师备选）‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝1＋，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1＋p，也满足an＝2n－1＋p，故an＝2n－1＋p，‎ ‎∵a2，a5，a10成等比数列，∴(3＋p)(19＋p)＝(9＋p)2，‎ ‎∴p＝6.∴an＝2n＋5.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝1＋＝1＋＝1＋，‎ ‎∴Tn＝n＋－＋－＋…＋－＝n＋＝.‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜.‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4.当n≥2时，有Sn－1＝(an－1－1)，则 an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理得：＝4，∴数列{an}是以q＝4为公比，以a1＝4为首项的等比数列. ∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N*)，‎ 即数列{an}的通项公式为：an＝4n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)有bn＝log2an＝log24n＝2n，则，‎ ＝＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝－＋－＋－＋…＋－＝＜，故得证．‎