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文档介绍
高中数列知识大总结
第六章 数列 二、重难点击 本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前 n 项和公式及运用，等差数列、等比数 列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求 和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。 知识网络 第一课时 数列 四、数列通项 na 与前 n 项和 nS 的关系 1． n i inn aaaaaS 1 321 2． 2 1 1 1 nSS nSa nn n 课前热身 3．数列 na 的通项公式为 nnan 283 2 ,则数列各项中最小项是( B ) A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项 4．已知数列 na 是递增数列，其通项公式为 nnan 2 ,则实数 的取值范围是 ),3( 5．数列 的前 项和 142 nnSn ,，则 252 12 nn nan 数列与正整数集关系 等差数列 等比数列 特殊数列求和方法 公式法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 n 定义 通项公式 中项 前 项的和 递推公式 通项公式 数列 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为 ),110(9 7 ),110(9 7 2 )110(9 7 3 ， , )110(9 7 n ⑶将已知数列变为 1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为 2 )1(1 n n na 点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。 题型二 应用 )2( )1( 1 1 nSS nSa nn n 求数列通项 例 2．已知数列 na 的前 n 项和 nS ，分别求其通项公式. ⑴ 23 n nS 解析：⑴当 123,1 1 11 San 时 ， 当 )23()23(,2 1 1 nn nnn SSan 时 132 n 又 11 a 不适合上式，故 )2(32 )1(1 1 n na nn 三、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴ 14 1,2 1 211 naaa nn 解析：⑴因为 14 1 21 naa nn ，所以 )12 1 12 1(2 1 14 1 21 nnnaa nn 所以 )3 1 1 1(2 1 12 aa )5 1 3 1(2 1 23 aa 43 1 1 1()2 5 7aa …，…， 1 1 1 1()2 2 3 2 1nnaa nn 以上 )1( n 个式相加得 )12 11(2 1 1 naan 即： 24 34 24 11 n n nan 点 拨 ： 在 递 推 关 系中若 ),(1 nfaa nn 求 na 用 累 加 法 ， 若 ),(1 nfa a n n 求 na 用 累 乘 法 ， 若 qpaa nn 1 ，求 用待定系数法或迭代法。 课外练习 3 设 12 1 2 1 1 1 nnnan ，( Nn )，则 nn aa 与1 的大小关系是( C ) A． nn aa 1 B． nn aa 1 C． nn aa 1 D．不能确定 解：因为 022 1 32 1 1 1 32 1 22 1 1 nn nnnaa nn 所以 ，选Ｃ． 二、填空题 5．已知数列 na 的前 n 项和 ，142 nnSn 则 )2(,52 )1(,2 nn nan 7．已知数列 的通项 99 98 n n （ ），则数列 的前 30 项中最大项和最小项分别是 910 aa ， 解：构造函数 99 98991 99 98 xx xy 由函数性质可知，函数在 )99( ， 上递减，且 1y 函数在 ），＋99( 上递增且 1y 最小最大， ），又 910 9 2130121110 1 109(99 aa a aaaaaa 三、解答题 6.2 等差数列 知识要点 2．递推关系与通项公式 mn aad n aad dnaa dmnaa dnaa daa mn n n mn n nn 1 ;)1( )( )1( 1 1 1 1 变式： 推广： 通项公式： 递推关系： 为常数）即： 特征： mkmknnfa dadna n n ,(,)( ),( 1 ), 为常数，（ mkmknan 是数列 na 成 等差数列的充要条件。 ３．等差中项： 若 cba ,, 成等差数列，则 b 称 ca与 的等差中项， 且 2 cab ； cba ,, 成等差数列是 cab 2 的充 要条件。 ４．前 n 项和公式 2 )( 1 naaS n n ； 2 )1( 1 dnnnaSn ),( )( ,)2(2 2 2 1 2 为常数 即 特征： BABnAnS BnAnnfS ndandS n n n 是数列 成等差数列的充要条件。 5．等差数列 的基本性质 ),,,( Nqpnm其中 ⑴ qpnm aaaaqpnm ，则若 反 之，不成立。 ⑵ dmnaa mn )( ⑶ mnmnn aaa 2 ⑷ nnnnn SSSSS 232 ,, 仍成等差数列。 ６．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（ Nndaa nn (1 是等 差数列 ②中项法： )2 21 Nnaaa nnn （ 是等差数 列 ③通项公式法： ),( 为常数bkbknan 是等差数 列 ④前 项和公式法： ),(2 为常数BABnAnSn 是等 差数列 课前热身 2．等差数列 中， )(3 1 ,120 119 1210864 Caa aaaaa 的值为则 A．14 B．15 C．16 D．17 165 120 3 2 3 2)(3 2 )2(3 1 3 1 89 99119 ada daaaa 解 。 3．等差数列 na 中， 1291 0 SSa ， ，则前 10 或 11 项的和最大。 解： 0912129 SSSS ， 00 030 111 11121110 aa aaaa ，又 ，， ∴ 为递减等差数列∴ 1110 SS 为最大。 4．已知等差数列 的前 10 项和为 100，前 100 项和 为 10，则前 110 项和为－110 解：∵ ，，，，， 1001102030102010 SSSSSSS 成等差数列，公差为 D 其首项为 10010 S ，前 10 项的和为 10100 S 110221010100 10 22102 91010100 110 10100110 ）（ 又 ， S DSSS DD 10210 102)10(2 98402 42 )1(129850 max 2 2 yn n nn nnnny 时，所以当 ６．设等差数列 的前 n 项和为 nS ，已知 0012 13123 SSa ，， ①求出公差 d 的范围， ②指出 1221 SSS ，，， 中哪一个值最大，并说 明理由。 )(nfan na "2" n 解：① )(6)(6 10312112 aaaaS 37 24 30824 0)82(2 13 )(2 13 2 )(13 7 240724 0)72(6 3 113 131 13 3 d dd da aaaaS dd da 从而 又 ② 最大。， 667 713 7612 00 013 0)(6 Saa aS aaS 课外练习 一、 选择题 1． 已知 na 数列是等差数列， 1010 a ，其前 10 项的和 7010 S ，则其公差 等于( D ) 3 2 3 1 3 1 3 2 ．． ．． DC BA 2． 已知等差数列na 中， 12497 116 aaaa ，则， 等于（ A ） A．15 B．30 C．31 D．64 1512 12497 a aaaa解： 二、填空题 3． 设 为等差数列 的前 项和， 97104 3014 SSSS ，则， =54 4． 已 知 等 差 数 列 的前 项 和 为 ，若 1185212 21 aaaaS ，则 5． 设 F 是椭圆 167 22 yx 的右焦点，且椭圆上至 少有 21 个不同点 , ),2,1( 321 FPFPFP iPi ，， 使 组 成 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 的 取 值 范 围 为 10 10010 1 ，， 解：椭圆的焦点 F 到椭圆上的点最大、最小距离分别 为 ）和（ 17)17( ，由题意得： 10 10010 1 010 1 2011 2 17)117 dd dd nnd dn 或 ，又 （）（ 三、解答题 6． 等 差 数 列 na 的前 n 项 和 记 为 nS ， 已 知 5030 2010 aa ， ①求通项 na ；②若 =242，求 解： dnaan )1(1 1022 12 5019 309 5030 1 1 1 2010 nad a da da aa n 解方程组 ， 由 2 )1( 1 dnnnaSn ， =242 舍去）或解得 (2211 24222 )1(12 nn nnn 7． 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动，甲第一分钟走 2 m ，以后每分钟比前一分钟多 走 1 ，乙每分钟走 5 ，①甲、乙开始运动后几 分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲 继续每分钟比前一分钟多走 1 ，乙继续每分钟走 5 ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设 分钟后第一次相遇，依题意有： 舍去），解得 (207 7052 )1(2 nn nnnn 故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟。 ②设 分钟后第二次相遇，则： 舍去），解得 (2815 70352 )1(2 nn nnnn 故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 10 ．已知数列 中， ，31a 前 和 1)1)(1(2 1 nn anS ①求证：数列 是等差数列 ②求数列 的通项公式 ③设数列 1 1 nnaa 的前 项和为 nT ，是否存在实 数 M ，使得 MTn 对一切正整数 都成立？若存 在，求 M 的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵ 1)1)(1(2 1 nn anS nnnn nn nn nn nnn nn anannaan anan anna anan SSa anS )1()2()1( 1)2()1( 1)1( )1)(1()1)(2(2 1 1)1)(2(2 1 112 12 1 1 11 11 整理得， nnn nnn aaa aanan 21 21 2 ))(1()1(2 ∴数列 为等差数列。 ② 1)1(3 11 nn annaa ， 12 2)1(3)1( 2 2 512 1 12 12 n ndnaa a aa aa n n 的公差为即等差数列 ③ )32)(12( 11 1 nnaa nn 6 1 )32 1 3 1(2 1 )32 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1(2 1 32 1 12 1 2 1 n n TNn n nnT nn 时，又当 要使得 MTn 对一切正整数 n 恒成立，只要 M ≥ 6 1 ，所以存在实数 使得 对一切正整数 都成立， 的最小值为 6 1 。 6.3 等比数列 知识要点 1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为 )0qq，（ 。 2． 递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa qaa 推广： 通项公式： 递推关系： 1 1 1 3． 等比中项：若三个数 cba ,, 成等比数列，则称 b 为 ca与 的等比中项，且为 acbacb 2，注： 是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前 项和公式 )1( 11 )1( )1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 5． 等比数列的基本性质， ),,,( Nqpnm其中 ① qpnm aaaaqpnm ，则若 反之 不真！ ② )(2 Nnaaaa aq mnmnn m nmn ， ③ na 为等比数列，则下标成等差数列的对应项 成等比数列。 ④ ，，，时， nnnnn SSSSSq 2321 仍 成等比数列。 6． 等比数列与等比数列的转化 ① 是等差数列 )10( ccc na ， 是 等比数列； ② 是 正 项 等 比 数 列 )10(log ccanc ， 是等差数列； ③ 既是等差数列又是等比数列 是各 项不为零的常数列。 7． 等比数列的判定法 ①定义法： （常数）qa a n n 1 na 为等比数列； ②中项法： )0(2 2 1 nnnn aaaa 为 等比数列； ③通项公式法： 为常数）qkqka n n ,( 为等比数列；④ 前 n 项和法： 为常数）（ qkqkS n n ,)1( 为 等 比 数 列。 1． 1031074 22222)( nnf 设 )18(7 2)18(7 2 )18(7 2)18(7 2 )()( 43 1 nn nn DC BA DnfNn ．． ．． ）（等于，则 2． 已知数列 是 等 比 数 列 ， 且 mmm SSS 32 3010 ，则， 70 （问题引入） 猜想： nb 是等比数列，公比为 2 1 。 证明如下：∵ 4 1 2 1 4 1 2121 nnn aab nn n ba a 2 1)4 1(2 1 4 1)4 1(2 1 12 12 即： 2 11 n n b b ，∴ 是首项为 4 1a ，公比 为 2 1 的等比数列。 二、性质运用 例 2 ： ⑴ 在 等 比 数 列 中， 14361 3233 nn aaaaaa ，， ①求 na ， ②若 nnn TaaaT 求,lglglg 21 ⑵在等比数列 中，若 015 a ，则有等式 nn aaaaaa 292121 )29( Nnn ， 成立，类比上述性质，相应的 在等比数列 中，若 119 b 则有等式 成 立。 解：⑴①由等比数列的性质可知： nn na qqa a aa aaaa aaaa 61 5 1 6 61 6161 4361 2)2 1(32 2 1 32 1 32 1 132 33 32 所以 ，，即所以 ，解得 ，又 ②由等比数列的性质可知， nalg 是等差数 列，因为 2lg2 )11( 2 )lg(lg 2lg5lg2lg)6(2lglg 1 1 6 nnnaaT ana n n n n 所以 ， ⑵ 由题设可知，如果 0ma 在等差数列中有 nmn aaaaaa 122121 )12( Nnmn ， 成 立 ， 我 们 知 道 ， 如 果 qpnm aaaaqpnm ，则若 ，而对于 等 比 数 列 ，则有 qpnm aaaaqpnm ，则若 所以可以得 出结论，若 nmnm bbbbbbb 1221211 ，则有 )12( Nnmn ， 成立，在本题中 nn bbbbbb 372121 则有 )37( Nnn ， 点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积 性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。 典例精析 一、 错位相减法求和 例 1：求和： nn a n aaaS 32 321 解：⑴ 2 )1(3211 nnnSa n 时， ⑵ 01 aa 时，因为 ① 132 1211 nnn a n a n aaSa ② 由①－②得： )1)1( )1()1( )1(2 )1( )1( )1()1( 11 )11(1 111)11( 2 2 1 12 aaa anaa ann S aa anaaS a n a aa a n aaaSa n nn n n n n n nnn 综上所述， 所以 点拨：①若数列 na 是等差数列， nb 是等比数列， 则求数列 nn ba 的前 n 项和时，可采用错位 相减法； ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为 1 进行讨论； ③当将 nS 与 q 相减合并同类项时，注意错 位及未合并项的正负号。 二、 裂项相消法求和 例 2 ：数列 满足 1a =8 ， 022 124 nnn aaaa ，且 （ Nn ） ①求数列 的通项公式； 则 214 14 aad 所以， na =8＋（ －1）×（－2）＝―10－2 ② 32)2(4 1 )1(4 1 8 3 )2 1 1 1 2 11(4 1 )2 11()4 1 2 1()3 1 1 1(4 1 )2 11(4 1 )2(2 1 )14( 1 21 m nn nn nn bbbT nn nnanb nn n n 所以 对一切 恒成立。 3 16 3 16 21 8 11 812 )2 8 1 812 2 8 1 812 min m nnNn Nnnnm 所以 ，（对 恒成立。对一切 故 m 的最大整数值为 5。 点拨：① 若 数 列 的 通 项 能 转 化 为 )()1( nfnf 的形式，常采用裂项相消法求和。 ②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时， 消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和 例 3：设二次函数 1)( 2 nnxxxxf ，，当 1． 在等差数列 na 中， 1a =1，前 n 项和 nS 满足 ，，， 211 242 nn n S S n n ①求数列 的通项公式 ②记 )0( ppab na nn ，求数列 nb 的前 项和 nT 。 解：① 设数列 的公差为 d ，由 1 )1(2 2 )( 2 2)( 1 24 1 23 1 1 2 12 2 1 21 n n n n n n a na naa nanda S S n n aad aa aa 又 即 ，所以得 所以 na = ②由 )0( ppab na nn ，有 n n npb 所以 n n nppppT 32 32 ① 2 )1(1 nnTp n时，当 时，当 1p 132 )1(2 nn n nppnpppT ② ①－②得 )1(1)1( )1( )1(2 )1( 1)1( )1( 1 )1( )1( 1 2 1 2 1 12 pp np p pp pnn T p np p ppT npp pp nppppTp nnn nn n n n nn n 即： 所以 课外练习 １． 数列 的前 项 和 为 ，若 5)1( 1 Snnan ，则 等于（ B ） 6 5 )6 1 5 1()3 1 2 1()2 1 1 1( 1 11 )1( 1 30 1 6 1 6 51 5 S nnnna DCBA n 所以 解：因为 ．．．． ４． )(xf 的定义域为 R ，且 )(xf 是以 2 为周期的 周期函数，数列 是首项为 )( Naa ，公差为 1 的等差数列，那么 )()()( 1021 afafaf 的 值为（ C ） A．－1 B．1 C．0 D．10 a 解：因为函数 的定义域为 R ，且 是 以 2 为周期的周期函数， 所以 )()2(00( xfxff ，且） 又数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列 0)1()1()1( )1()21()1( )1(5)1()0(5 )1(5)(5 )()()( )1( )()( 1 1021 fff fff fff afaf afafaf naf nafaf Nanaa n n 即所以 又 所以 为偶数）（ 为奇数）（ ，又所以 故原式=0，选 C。 二、填空题 ５．设等比数列 na 的公比与前 n 项和分别为 q 和 nS ，且 ≠1， 818 10 20 10 q SS ，则 8 1 )1( 8)1(1( )1( 1 821 )1( 1010 20 10 1010 10 10 2012111020 10 20 1 10 20 10 1 S q S qSSqS aaaSS qq qa q S qa 所以 方法二、 ） 方法一、 6．数列 满足 12 1 2 1n na n n n ， 1 2 n nn b aa 又 ，则数列 nb 的前 项和为 1 8 n n 1 (1 2 )12n nann 解： 1 28 ( 1)n nn b a a n n = 118( 1nn ） 12 1 1 1 1 1 18 ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 1881 11 nb b b nn n nn 所以 ７．数列 ，，，，，，，，，， 4 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 11 的前 100 项 的和为 14 913 。（ Nn ） 典例精析 一、 函数与数列的综合问题 的等差数列。，公差为是首项为 ，，，设 ，且：已知例 24 )()()()( )10(log)(1 21 Nnafafaf aaxxf n a ①设 a 是常数，求证： na 成等差数列； ②若 )( nnn afab ， nb 的前 n 项和是 nS ，当 2a 时，求 解：① 222)1(4)( nnaf n ， 为等比数列。所以 为定值所以 ，所以即 n n n n n n nna a na a a a a aana )2( 22log 2 2 22 1 22 ② )( nnn afab 3 3 14 32543 3254 2543 222 222222 2 2)1(21 )21(216 2)1(22222 2)1(223222 2)1(242322 2)1()2()22( 2 )22(log n n n n nn n nn n n n nn n nn a n nS n nS nnS nS nnb a anaa 所以 两式相减得 时，当 点 拨 ： 本 例 是 数 列 与 函 数 综 合 的 基 本 题 型 之 一 ， 特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。 １． 已知正项数列 的前 项和为 ， 2)1(4 1 nn aS 与是 的等比中项， ①求证：数列 是等差数列； ②若 n n n ab 2 ，数列 的前 项和为 nT ，求 ③在②的条件下，是否存在常数 ，使得数列 2n n a T 为等比数列？若存在，试求出 ；若不存在，说明理由。 解：① 2)1(4 1 nn aS 与是 的等比中项， 0)2)(( )22(4 1 )1(4 12 1)1(4 11 )1(4 1 11 1 2 1 2 1 2 11 1 2 11 2 nnnn nnnn nnn nn nn aaaa aaaa SSa aSn aaan aS 即 所以 时，当 ，时，当 所以 2 020 1 1 nn nnn aa aaa 即： ，所以因为 所以数列 na 是等差数列。 ② nn nT 2 323 32 1)2 323( 2 n n a T n n n nn 2 1 32 3 所以当且仅当 3+ =0，即 =－3 时，数列 2n n a T 为等比数列。 ２． 已知在正项数列 中， 1a =2，且 ）， 1( nnn aaA 在双曲线 122 xy 上， 数列 nb 中， 点（ nb ， nT ）在直线 12 1 xy 上，其中 是数列 的前 n 项和，①求数列 的通项公式；②求证：数列 是 等比数列。③若 nnnnn CCbaC 1，求证： 。 解：①由已知带点 ）， 1( nnn aaA 在 上知， 1na － na ＝１，所以数列 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列。 所以 1)1(1 ndnaan ②因为点（ , ）在直线 上， 11 11 1 121 12 11 22 nn nn n n n n n Tb Tb b T T b b 所以 所以 两式相减得： 1 1 1 1 1 1 3 1211232 31 3 2 1 2()3 3 3 nn n n n n bb n b b b b b 所以 ， 令 得 ，所以 所以 是一个以 为首项， 以 为公比的等比数列。 所以 ③ nnnn nbaC 3 2)1( nn n nnnn CC n nnCC 1 1 11 0)12(3 2 3 2)1( 3 2)2( 所以 所以 一、选择题 1. （ 2009 广东卷理 ） 已 知 等 比 数 列 {}na 满足 0, 1,2,nan ，且 2 5 2 5 2 ( 3)n na a n ， 则 当 1n 时， 2 1 2 3 2 2 1log log logna a a A. (2 1)nn B. 2( 1)n C. 2n D. 2( 1)n 【解析】由 得 n na 22 2 ， 0na ，则 n na 2 ， 3212 loglog aa 2 122 )12(31log nna n ，选 C. 答案 C 2.（2009 辽宁卷理）设等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9S S = A. 2 B. 7 3 C. 8 3 D.3 【解析】设公比为 q ,则 3 63 33 (1 )S q S SS ＝1＋q3＝3 q3＝2 于是 6 36 9 3 1 1 2 4 7 1 1 2 3 S qq Sq 【答案】B 14.(2009 湖北卷理)已知数列 na 满足： 1 a ＝m （m 为正整数）， 1 ,2 3 1, n n n nn a aa aa 当 为偶数时， 当 为奇数时。若 6a ＝1，则 m 所有 可能的取值为__________。 答案 4 5 32 解析 （1）若 1am 为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a2 2 4 amma ①当 4 m 仍为偶数时， 468 32 mmaa 故 1 3232 m m ②当 为奇数时， 43 33 1 14a a m 6 3 14 4 m a 故 3 14 14 m 得 m=4。 （2）若 为奇数，则 213 1 3 1a a m 为偶数，故 3 31 2 ma 必为偶数 6 31 16 ma ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 16.（2009 陕西卷文）设等差数列 na 的前 n 项和为 ns ,若 6312as,则 na . 解析:由 可得 的公差 d=2,首项 1a =2,故易得 2n. 答案:2n 17.(2009 陕西卷理)设等差数列 的前 n 项和为 nS ,若 6312aS,则 2lim n n S n . 6 1 1 22 31 12 5 12 2 11( 1) lim lim 112 12 2 nn n nn a ad a SSnnS n ns a d d n n n n 解析： 答案：1 22.（2009 全国卷Ⅰ理）在数列{}na 中， 11 111, (1 ) 2nnn na a an （I）设 n n ab n ，求数列{}nb 的通项公式 （II）求数列{}na 的前 n 项和 nS 分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2nnnbb 利用累差迭加即可求出数列 的通项公式: 1 12 2n nb ( *nN ) （II）由（I）知 12 2n n nan , = 1 1 (2 )2 n k k kk 1 11 (2 ) 2 nn k kk kk 而 1 (2 ) ( 1) n k k n n ,又 1 1 2 n k k k 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 1 2422 n kn k kn = ( 1)nn 1 2 42n n 23.（2009 北京理）已知数集 1 2 1 2, , 1 , 2nnA a a a a a a n 具有性质 P ；对任意的 ,1i j i j n ， ijaa 与 j i a a 两数中至少有一个属于 A . （Ⅰ）分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质 P ，并说明理由； （Ⅱ）证明： 1 1a ，且 12 1 1 1 12 n n n a a a aa a a ； （Ⅲ）证明：当 5n 时， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于34 与 4 3 均不属于数集 ，∴该数集不具有性质 P. 由于 6 6 1 2 3 61 2,1 3,1 6,2 3, , , , , ,2 3 1 2 3 6 都属于数集 ， ∴该数集具有性质 P. （Ⅱ）∵ 12,, nA a a a 具有性质 P，∴ nnaa 与 n n a a 中至少有一个属于 A， 由于 121 na a a ，∴ n n na a a ，故 nna a A . 从而 1 n n a Aa ，∴ 1 1a . ∵ 121 na a a ， ∴ k n na a a ，故 2,3, ,kna a A k n . 由 A 具有性质 P 可知 1,2,3, ,n k a A k na . 又∵ 1 2 1 n n n n nn a a a a a a a a ， ∴ 21 1 2 1 1, , ,n n n n nn nn a a a aa a aa a a a ， 从而 1 2 1 1 2 1 n n n n nn nn a a a a a a a aa a a a ， ∴ 12 1 1 1 12 n n n a a a aa a a . （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 5n 时，有 55 23 43 ,aaaaaa ，即 2 5 2 4 3a a a a， ∵ 1 2 51 a a a ，∴ 3 4 2 4 5a a a a a，∴ 34a a A ， 由 A 具有性质 P 可知 4 3 a Aa . 2 2 4 3a a a ，得 3 4 23 a a Aaa ，且 3 2 2 1 a aa ，∴ 34 2 32 aa aaa ， ∴ 5342 2 4 3 2 1 aaaaaa a a a ，即 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 是首项为 1，公比为 2a 成等比数列. 25（2009 江苏卷）对于正整数 n ≥2，用 nT 表示关于 x 的一元二次方程 2 20x ax b 有实数根的有序数组( , )ab 的 组数，其中 , 1,2, ,a b n （ a 和b 可以相等）；对于随机选取的 （ 和 可以相等），记 nP 为关于 的一元二次方程 有实数根的概率。 （1）求 2nT 和 2nP ； （2）求证：对任意正整数 n ≥2，有 11nP n . 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。 29.（2009 江西卷理）各项均为正数的数列{}na ， 12,a a a b，且对满足 m n p q 的正整数 , , ,m n p q都有 .(1 )(1 ) (1 )(1 ) pqmn m n p q aaaa a a a a （1）当 14,25ab 时，求通项 ;na （2）证明：对任意 a ，存在与 a 有关的常数 ，使得对于每个正整数 n ，都有 1 .na 解：（1）由 (1 )(1 ) (1 )(1 ) pqmn m n p q aaaa a a a a 得 1 2 1 1 2 1 .(1 )(1 ) (1 )(1 ) nn nn a a a a a a a a 将 12 14,25aa 代入化简得 1 1 21.2 n n n aa a 所以 1 1 111 ,1 3 1 nn nn aa aa 故数列 1{}1 n n a a 为等比数列，从而 1 1 ,13 n n n a a 即 31.31 n n na 可验证， 31 31 n n na 满足题设条件. (2) 由题设 (1 )(1 ) mn mn aa aa 的值仅与 mn 有关,记为 ,mnb 则 1 1 1 .(1 )(1 ) (1 )(1 ) nn n nn a a a ab a a a a 考察函数 ( ) ( 0)(1 )(1 ) axf x xax ,则在定义域上有 1 ,11 1( ) ( ) , 12 , 0 11 aa f x g a a a aa 故对 *nN ， 1 ()nb g a 恒成立. 又 2 2 2 ()(1 ) n n n ab g aa , 注意到 10 ( ) 2ga ,解上式得 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )() ,( ) ( )1 ( ) 1 2 ( ) n g a g a g a g aga ag a g ag a g a 取 1 ( ) 1 2 ( ) () g a g a ga ,即有 1 .na . 30. (2009 湖北卷理)已知数列 na 的前 n 项和 11( ) 22 n nnSa （n 为正整数）。 （Ⅰ）令 2n nnba ，求证数列 nb 是等差数列，并求数列 的通项公式； (Ⅱ）令 1 nn ncan ， 12........nnT c c c 试比较 nT 与 5 21 n n 的大小，并予以证明。 解（I）在 11( ) 22 n nnSa 中，令 n=1，可得 1112nS a a ，即 1 1 2a 当 2n 时， 21 1 1 1 1 11( ) 2 ( )22 nn n n n n n n nS a a S S a a ， ， 11 n 1 1 12a ( ) , 2 12 nn n n na a a n即2 . 112 , 1, n 2 1n n n n n nb a b b b n即当 时，b . 又 112 1,ba 数列 nb 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 1 ( 1) 1 2 , 2 n n n n n nb n n a a . (II)由（I）得 11( 1)( )2 n nn nc a nn ，所以 231 1 1 12 3 ( ) 4 ( ) ( 1)( )2 2 2 2 n nTn K 2 3 4 11 1 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1)( )2 2 2 2 2 n nTn K 由①-②得 2 3 11 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( 1)( )2 2 2 2 2 nn nTn K 1 1 1 11[1 ( ) ] 1 3 3421 ( 1)( )1 2 2 21 2 33 2 n n n n n nn nT 5 3 5 ( 3)(2 2 1)32 1 2 2 1 2 (2 1) n n nn n n n n nT n n n 于是确定 5 21n nT n 与 的大小关系等价于比较 2 2 1n n与 的大小 由 2 3 4 52 2 1 1;2 2 2 1;2 2 3 1;2 2 4 1;2 2 5; K 可猜想当 3 2 2 1.nnn 时， 证明如下： 证法 1：（ 1）当 n=3 时，由上验算显示成立。 （2）假设 1nk时 12 2 2 2(2 1) 4 2 2( 1) 1 (2 1) 2( 1) 1kkk k k k k g 所以当 时猜想也成立 综合（1）（ 2）可知 ，对一切 3n 的正整数，都有 2 2 1.n n 证法 2：当 3n 时 0 1 2 1 0 1 12 (1 1) 2 2 2 1n n n n n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C n n K 综上所述，当 1,2n 时 5 21n nT n ，当 时 5 21n nT n 31.（2009 四川卷文）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，对任意的正整数 n ，都有 51nnaS成立，记 *4 ()1 n n n ab n Na 。 （I）求数列 na 与数列 nb 的通项公式； （II）设数列 的前 项和为 nR ，是否存在正整数 k ，使得 4nRk 成立？若存在，找出一个正整数 ；若不存在， 请说明理由； （III）记 * 2 2 1()n n nc b b n N ，设数列 nc 的前 项和为 nT ，求证：对任意正整数 n 都有 3 2nT ； 解（I）当 1n 时， 1 1 1 15 1, 4 a S a 又 115 1, 5 1 n n n na S a S 1 11 15, 4 即 n n n n n aa a a a ∴数列 是首项为 1 1 4a ，公比为 1 4q 的等比数列， ∴ 1()4 n na ， * 14 ( )4 ()11 ( )4 n n n b n N …………………………………3 分 （II）不存在正整数 ，使得 成立。 证明：由（I）知 14 ( ) 54 41 ( 4) 11 ( )4 n n n n b 2 1 2 2 1 2 5 5 5 20 15 16 408 8 8 8.( 4) 1 ( 4) 1 16 1 16 4 (16 1)(16 4) k kk k k k k k kbb ∴当 n 为偶数时，设 2 ( )n m m N ∴ 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) 8 4n m mR b b b b b b m n 当 n 为奇数时，设 2 1( )n m m N ∴ 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1( ) ( ) ( ) 8( 1) 4 8 4 4n m m mR b b b b b b b m m n ∴对于一切的正整数 n，都有 4nRk ∴不存在正整数 k ，使得 4nRk 成立。 …………………………………8 分 （III）由 54 ( 4) 1n nb 得 2 1 2 2 2 1 2 2 5 5 15 16 15 16 15 16 15 4 1 4 1 (16 1)(16 4) (16 ) 3 16 4 (16 ) 16 n n n n n n n n n n n n n nc b b 又 1 2 2 13 43, ,33b b c ， 当 1n 时， 1 3 2T ， 当 2n 时， 2 2 23 2 11[1 ( ) ]4 1 1 1 4 16 1625 ( ) 25 13 16 16 16 3 1 16 1 4 69 31625 13 48 21 16 n n nT 32.（2009 湖南卷文）对于数列{}nu ,若存在常数 M＞0,对任意的 *nN ，恒有 1 1 2 1n n n nu u u u u u M , 则称数列 为 B 数列. （Ⅰ）首项为 1，公比为 1 2 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由; （Ⅱ）设 nS 是数列{}nx 的前 n 项和.给出下列两组判断： A 组：①数列 是 B-数列, ②数列 不是 B-数列; B 组：③数列{}nS 是 B-数列, ④数列 不是 B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列{}na 是 B-数列，证明：数列 2{}na 也是 B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为 ,则 11()2 n na .于是 1 2 2 1 1 1 3 1( ) ( ) ( ) , 2.2 2 2 2 n n n nna a n 1 1 2 1| | | | | |n n n na a a a a a = 2n3 1 1 112 2 2 2 -1（ ） （ ） = n13 1 3.2 （ ） 所以首项为 1，公比为 1 2 的等比数列是 B-数列 . （Ⅱ）命题 1：若数列{}nx 是 B-数列，则数列{}nS 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 nx =1， *nN ，易知数列 是 B-数列，但 nS =n， 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S n . 由 n 的任意性知，数列 不是 B-数列。 命题 2：若数列 是 B-数列，则数列 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 ，有 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S M , 即 12| | | | | |nnx x x M .于是 1 1 2 1n n n nx x x x x x 1 1 2 1 12 2 2 2n n nx x x x x M x , 所以数列 是 B-数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列 na 是 B-数列，则存在正数 M，对任意的 ,nN 有 1 1 2 1n n n na a a a a a M . 因为 1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a 1 1 2 2 1 1 1n n n na a a a a a a M a . 记 1K M a，则有 22 1 1 1( )( )n n n n n na a a a a a 1 1 1( ) 2n n n n n na a a a K a a . 因此 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1... 2n n n na a a a a a KM . 故数列 2 na 是 B-数列. 33. (2009 陕西卷理) 已知数列 }nx 满足， * 11 11,21n n x x n Nx ＋ ’ ＝ ＝ . 猜想数列{}nx 的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ)证明： 1 1 12| ( )65 n nnxx -|≤ 。 证明（1）由 1 n+1 2 4 4 n 1 1 2 5 13 2 1 3 8 21x x x x xx 及 得 ， 由 2 4 6xxx猜想：数列 2nx 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1 时，已证命题成立 （2）假设当 n=k 时命题成立，即 2 2 2kkxx 易知 2 0kx ，那么 2 3 2 1 2 2 2 4 2 1 2 3 2 1 2 3 11 1 1 (1 )(1 ) kk kk k k k k xxxx x x x x = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 0(1 )(1 )(1 )(1 ) kk k k k k xx x x x x 即 2( 1) 2( 1) 2kkxx 也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当 n=1 时， 1 2 1 1 6nnx x x x ，结论成立 当 2n 时，易知 11 1 110 1, 1 2, 12n n n n x x x x 1 1 1 1 15(1 )(1 ) (1 )(1 ) 212n n n n n x x x xx 1 1 11 11 1 1 (1 )(1 ) nn nn n n n n xxxx x x x x 2 n-1 1 1 2 2 1 n-1 2 2 2 5 5 5 12 65 n n n nx x x x x x （ ） （ ） （ ） 35.（2009 天津卷理）已知等差数列{ na }的公差为 d（d 0），等比数列{ nb }的公比为 q（q>1）。设 ns = 11ab+ 22ab…..+ nnab , nT = 11ab- 22ab+…..+(-1 1)n nnab ,n N 若 1a = 1b = 1，d=2，q=3，求 3S 的值； 若 1b =1，证明（1-q） 2nS -（1+q） 2nT = 2 2 2 (1 ) 1 ndq q q ，n N ； (Ⅲ) 若正数n满足2 n q，设 1 2 1 2, ,..., , ,..., 1 2 ...nnk k k l l l和 是 ，，，n 的两个不同的排列， 121 1 2 ... nk k k nc a b a b a b ， 122 1 2 ... nl l l nc a b a b a b 证明 12cc 。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能 力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14 分。 （Ⅰ）解：由题设，可得 1*2 1, 3 ,n nna n b n N 所以， 3 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 5 9 55S a b a b a b （Ⅱ）证明：由题设可得 1n nbq 则 2 2 1 2 1 2 3 2..... ,n nnS a a q a q a q ① 2 3 2 1 2 1 2 3 4 2 3 2 1 2 2 2 4 2 ..... , 2( ... ) n nn n n n n T a a q a q a q a q S T a q a q a q ② 式减去②式，得 式加上②式，得 2 2 2 2 2 1 3 2 12( .... )n n n nS T a a q a q ③ 式两边同乘 q，得 3 2 1 2 2 1 3 2 1( ) 2( .... )n n n nq S T a q a q a q 所以， 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) ( ) ( )n n n n n nq S q T S T q S T 3 2 1 2 * 2 2 ( ) 2 (1 ) ,1 n n d q q q dq q nNq K (Ⅲ)证明： 1 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )nnk l k l k l nc c a a b a a b a a b K 1 1 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) n nnk l db k l db q k l db q K 因为 10, 0,db所以 112 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n nn cc k l k l q k l qdb K 若 nnkl ，取 i=n 若 nnkl ，取 i 满足 iikl 且 ,1jjk l i j n 由（1）,(2)及题设知，1 in 且 2112 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )ii i i i i cc k l k l q k l q k l qdb K 当 iikl 时，得 1, 1, 1,2,3..... 1i i i ik l q n k l q i i 由 ，得 即 11 1k l q ， 22( ) ( 1)k l q q q …， 22 11( ) ( 1)ii iik l q q q 又 11( ) ,ii iik l q q 所以 1 2112 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 i iicc qq q q q q q qdb q K 因此 1 2 1 20,c c c c 即 当 iikl 同理可得 12 1 1cc db ，因此 12cc 综上， 37.（2009 年上海卷理）已知 na 是公差为 d 的等差数列， nb 是公比为 q 的等比数列。 若 31nan，是否存在 *m k N、 ，有 1 ?m m ka a a说明理由； 找出所有数列 和 ，使对一切 *nN , 1n n n a ba ,并说明理由； 若 115, 4, 3,a d b q 试确定所有的 p ，使数列 na 中存在某个连续 项的和是数列 nb 中的一项，请证明。 [解法一]（1）由 1m m ka a a，得6 5 3 1mk ， ．．．．．．2 分 整理后，可得 42 3km ， m 、 k N ， 2km 为整数， 不存在 、 ，使等式成立。 ．．．．．．5 分 （2）若 1n n a ba ，即 11 1 1 ( 1) na nd bqa n d ， （*） （ⅰ）若 0,d 则 1 11 n nb q b。 当{ na }为非零常数列，{ nb }为恒等于 1 的常数列，满足要求。 ．．．．．．7 分 （ⅱ）若 0d ，（ *）式等号左边取极限得 1 1 lim 1( 1)n a nd a n d ，（ *）式等号右边的极限只有当 1q 时，才能等于 1。 此时等号左边是常数， 0d，矛盾。 综上所述，只有当{ }为非零常数列，{ }为恒等于 1 的常数列，满足要求。．．．．．．10 分 【解法二】设 1,,n n n n n aa nd c b ba 若 且 为等比数列 则 *221 21 1 /,nn n n n nn aa q n N a a qaaa 对 都成立，即 2( )( 2 ) ( )dn c dn d c q dn d c * 2 2....7n N a qd 对 都成立， 分 若 d=0，则 *0, 1,nna c b n N 若 0,d 则q=1, nbm（常数）即 dn d c mdn c ，则 d=0，矛盾 综上所述，有 n n n nn ba aNbca 1*,n,1,0 使对一切 ， 10 分 （3） *,3,14 Nnbna n nn 设 NmNkpbaa k kpmmm ,,3a * 21 、 . kppmm 32 1)(41)1(4 ， NspNpppm k ,3*,k,3324 5、 . 13 分 取 ,03)14(2)14(33234,23 2222 ssssmsk 15 分 由二项展开式可得正整数 M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, ,2)1(8)14(2 2 ss M .,21)1()2(44 21 满足要求存在整数mMMm s 故当且仅当 p=3s,sN 时，命题成立. 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若 p 为偶数，则 am+1+am+2+……+am+p 为偶数，但 3k 为奇数 故此等式不成立，所以，p 一定为奇数。 当 p=1 时，则 am+1=bk,即 4m+5=3k， 而 3k=(4-1)k = ,,)1(4)1()1(4)1(44 11110 ZMMCCCC kkk k kk k k k k k 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k 成立 1 分 当 p=3 时，则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3（4m+9）=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知，当 k-1 为偶数即 k 为奇数时，存在 m, 4m+9=3k 成立 2 分 当 p=5 时，则 am+1+am+2+……+am+5=bk,即 5am+3=bk 也即 5（4m+13）=3k,而 3k 不是 5 的倍数，所以，当 p=5 时，所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2 分 三、解答题 10.（2008 全国 I）设函数 ( ) lnf x x x x ．数列 na 满足 101a， 1 ()nna f a ． （Ⅰ）证明：函数 ()fx在区间(01)， 是增函数； （Ⅱ）证明： 1 1nnaa； （Ⅲ）设 1( 1)ba ， ，整数 1 1 ln abk ab ≥ ．证明： 1kab ． （Ⅰ）证明： ， ' ln , 0,1 ' ln 0f x x x f x x 当 时， 故函数 fx在区间(0,1)上是增函数； （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当 n=1 时， ， 11ln 0aa ， 2 1 1 1 1 1( ) lna f a a a a a 由函数 在区间 是增函数，且函数 在 1x 处连续，则 在区间(01]，是增函数， 2 1 1 1 1( ) ln 1a f a a a a ，即 121aa成立； （ⅱ）假设当 ( *)x k k N 时， 1 1kkaa成立，即 1101kka a a ≤ 那么当 1nk时，由 ()fx在区间(01]，是增函数， 得 1( ) ( ) (1)kkf a f a f.而 1 ()nna f a ，则 1 2 1( ), ( )k k k ka f a a f a ， 121kkaa，也就是说当 时， 1 1nnaa也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数 n ， 恒成立. （Ⅲ）证明：由 ( ) lnf x x x x ． 1 ()nna f a 可 kkkk aababa ln1 1 1 ln k ii i a b a a 若存在某ik≤ 满足 iab≤ ，则由⑵知： 1kia b a b ≥0 若对任意 都有 bai ，则 1 1 ln k i i a b a b 1 1 ( )ln k i i a b a b bkaba ln11 bkaba ln11 )(11 baba 0 ，即 1kab 成立. 11.（2008 山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn 为数列｛bn｝的前 n 项和，且满足＝ nNn n SSb b 2 2 1= （n≥2）. (Ⅰ)证明数列｛ nS 1 ｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当 91 4 81 a 时， 求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 12.(2007 湖南)已知 ()n n nA a b， （ nN*）是曲线 xye 上的点， 1aa ， nS 是数列{}na 的前 n 项和，且满足 2 2 2 13n n nS n a S ， 0na ， 234n ，，，…． （I）证明：数列 2n n b b （ 2n≤ ）是常数数列； （II）确定 a 的取值集合 M ，使 aM 时，数列{}na 是单调递增数列； （III）证明：当 aM 时，弦 1nnAA （ nN*）的斜率随 n 单调递增 解：（I）当 2n≥ 时，由已知得 2 2 2 1 3n n nS S n a ． 因为 1 0n n na S S ，所以 2 1 3nnS S n． …… ① 于是 2 1 3( 1)nnS S n ． ……② 由②－①得 1 63nna a n ． …… ③ 于是 2169nna a n ． …… ④ 由④－③得 2 6nnaa ， …… ⑤ 所以 2 2 62 n nn n a aan a n b e eebe ，即数列 2 ( 2)n n b nb ≥ 是常数数列． （II）由①有 2112SS，所以 2 12 2aa．由③有 3215aa， 4321aa，所以 3 32aa ， 4 18 2aa． 而 ⑤表明：数列 2{}ka 和 21{}ka 分别是以 2a ， 3a 为首项，6 为公差的等差数列， 所以 226( 1)ka a k ， 2 1 3 6( 1)ka a k ， 2 2 4 6( 1)( )ka a k k N* ， 数列{}na 是单调递增数列 12aa且 2 2 1 2 2k k ka a a对任意的 k N*成立． 且 2346( 1) 6( 1) 6( 1)a k a k a k 1 2 3 4a a a a 9 1512 2 3 2 18 2 44a a a a a ． 即所求 a 的取值集合是 9 15 44M a a ． （III）解法一：弦 1nnAA 的斜率为 1 1 11 nnaa nn n n n n n bbeek a a a a 任取 0x ，设函数 0 0 () xxeefx xx ，则 0 0 2 0 ( ) ( )() () xxxe x x e efx xx 记 0 0( ) ( ) ( )xxxg x e x x e e ，则 00( ) ( ) ( )x x x xg x e x x e e e x x ， 当 0xx 时， ( ) 0gx ， ()gx在 0()x ， 上为增函数， 当 0xx 时， ( ) 0gx ， ()gx在 0()x， 上为减函数， 所以 0xx 时， 0( ) ( ) 0g x g x，从而 `( ) 0fx ，所以 ()fx在 0()x， 和 0()x ， 上都是增函数． 由（II）知， aM 时，数列{}na 单调递增， 取 0 nxa ，因为 12n n na a a，所以 1 1 nnaa n nn eek aa 2 2 nnaa nn ee aa ． 取 02nxa ，因为 ，所以 12 1 12 nnaa n nn eek aa 2 2 nnaa nn ee aa ． 所以 1nnkk ，即弦 1()nnA A n N* 的斜率随 n 单调递增． 解法二：设函数 1 1 () nax n eefx xa ，同解法一得， ()fx在 1()na ， 和 1()na ， 上都是增函数， 所以 11 1 111 lim n n n n n a a ax a n nan n n e e e ekea a x a → ， 2 1 1 1 1 1 2 1 1 lim n n n n n a a ax a n nan n n e e e ekea a x a → ． 故 ，即弦 的斜率随 单调递增． 5.（辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试） 数列 ,,141,1}{ 22 2 2 1211 nn n nn aaaS a aaa 记满足 若 3012 mSS nn 对任意 *Nn 恒成立，则正整数 m 的最小值 （ ） A．10 B．9 C．8 D．7 答案：A.查看更多