2019-2020学年河北省宣化市第一中学高二上学期期末考试数学试题 解析版

2019-2020学年河北省宣化市第一中学高二上学期期末考试数学试题 解析版

河北省宣化市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有 A. 420人 B. 480人 C. 840人 D. 960人 2. 已知命题p：，总有，则为 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动，则2人中恰好有1名女生的概率为 A. B. C. D. ‎ 4. 点F是抛物线的焦点，若抛物线上的点M到F的距离为3，则点M到x轴的距离为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ 5. 管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得到如图的茎叶图： 由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 6. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是 A. B. C. D. ‎ 7. 为函数图象上一点，当直线，与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为 A. B. C. 1 D. ‎ 8. 若双曲线的一个焦点F到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 1. 执行如图所示的程序框图，如图输出的S的值为2，则判断框中的条件可能是 ‎ A. ？ B. ？ C. ？ D. ？ ‎ ‎ ‎ 2. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ 3. 若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是 A. B. C. ， D. ‎ 4. 直线l与抛物线交于A，C两点，B为抛物线上一点，A，B，C三点的横坐标依次成等差数列．若中，AC边上的中线BP的长为3，则的面积为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 函数，则______．‎ 6. 如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线l与椭圆交于其中一点P，与y轴交于M点，且直线与的外角平分线交于Q点，则的周长为______． ‎ 1. 如图，边长为的正三角形内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则的面积大于的概率为______． ‎ 2. 已知函数，其图象上存在两点M，N，在这两点处的切线都与x轴平行，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 3. 命题p：实数x满足集合，q：实数x满足集合． 若p，q为真命题，求集合A，B； 若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 4. 为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴．通过对年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额亿元与该地区粮食产量万亿吨之间存在着线性相关关系．统计数据如下表：‎ 年份 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 补贴额亿元 ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎8‎ 粮食产量万亿吨 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎21‎ Ⅰ请根据如表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；Ⅱ通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据Ⅰ中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量．参考公式：，‎ ‎ ‎ 1. 某校高二班共50名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：，，，，，，，绘制出频率分布直方图如图所示． 根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数； 已知成绩为104分或105分的同学共有3人，现从成绩在中的同学中任选2人，则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少？每位同学的成绩都为整数 在如图所示的四边形ABCD中，，，，将沿OD折起，使二面角为直二面角如图，P为AC的中点． 求证：平面BOP； 求二面角的余弦值．‎ ‎ 椭圆的右焦点为，P为圆O：与椭圆C的一个公共点，．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ如图，过F作直线l与椭圆C交于，两点，点M为点B关于x轴的对称点． 求证：； 试问过A，M的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由． ‎ ‎22.已知函数，． 求函数在点处的切线方程； 求函数的单调区间； ‎ 求证：当时，恒成立． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：某学校高一、高二年级共有1800人， 设该校高一年级学生共有a人， 现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人， 则， 解得． 该校高一年级学生共有840人． 故选：C． 设该校高一年级学生共有a人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人，由此列出方程能求出该校高一年级学生数． 本题考查该校高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，为，使得， 故选：B． 据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意可知：本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从2名男生和2名女生中任选2人，共有种结果， 满足条件的事件是2人中有1名女生，1名男生，共有种结果， 根据等可能事件的概率公式得到， 故选：A． 由题意可知为等可能事件，由排列组合的知识可得分别求得所包含的基本事件数，由概率公式可得答案． 本题考查等可能事件的概率，找对基本事件数是解决问题的关键，属基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为， 根据抛物线定义， ， 解得， 点M到x轴的距离为2， 故选：A． 先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出，求得，可得点M到x轴的距离． 本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由茎叶图可知： 甲同学的数据叶峰偏下， 甲同学的得分大部分集中在90分之间，相对比较集中， 而乙同学的得分集中在80分，相对比较散， 故甲同学的成绩比较好，且发挥比较稳定． 故选：B． 本题考查的是数据的集中性和稳定程度，茎叶图中各组数据若大部分集中在某条线上，表示该组数据越稳定． 本题考查茎叶图，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度和集中程度，基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为双曲线的焦点在y轴上，排除选项A，C； 选项B，双曲线的渐近线方程为：，不正确； 选项D：双曲线的渐近线方程为：，正确； 故选：D． 利用双曲线方程的标准形式，排除选项，然后求解渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解： ， ， 故，把代入，得， 故选：C． 画出图象，利用定积分求出即可． 考查定积分的应用，基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为， 焦点F到它的一条渐近线距离x满足， ， ， ． 故选：D ‎． 求出双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，利用焦点F到它的一条渐近线距离x满足，建立不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围． 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，是解题的关键． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得 ， 满足判断框内的条件，， 满足判断框内的条件，， 此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为2． 故判断框内的条件为：？ 故选：A． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：在三棱锥中，，平面ABC，，O为PB的中点， 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则0，，1，，0，，，1，， ，1，，1，， 平面PAC的法向量0，， 设直线CO与平面PAC所成角为， 则， ． 直线CO与平面PAC所成角的余弦值为． 故选：B． 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CO与平面PAC 所成角的余弦值． 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， ， 若函数在上有极值点， 则在上实根， 又恒成立， 故方程有实根， 由，显然过， 故时，开口向下，对称轴在y轴左侧， 故与x轴在正半轴无交点，不合题意，舍； 时，与x轴在正半轴无交点，不合题意，舍； 时，开口向上， 故无论对称轴在y轴的任何一侧， 都能满足与x轴在正半轴有交点，符合题意； 综上，， 故选：A． 求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可． 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设，，， ，B，C三点的横坐标依次成等差数列， ， 为AC边上的中线， 轴，即， ，C两点在抛物线上， ，， 两式相减可得， 直线AC的斜率， 直线l的方程为，即， 由可得， ，， ， ， 故选：D ‎． 设，，，由A，B，C三点的横坐标依次成等差数列，以及BP为AC边上的中线可表示出P点的坐标，再由点差法求出直线l的方程，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理即可求出结果． 本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，考查了运算求解能力和转化能力，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，  则， 故答案为：． 先求导，再代值计算即可． 本题考查了导数的运算，属于基础题． 14.【答案】3 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解决本题的关键在于找出相似三角形，属于中档题． 先证明轴，得出∽，并计算出的周长，利用相似比可求出的周长． 【解答】 解：易得，，的周长为， 由于MQ为的外角平分线，且y轴为的角平分线， 所以，， 所以轴，所以轴，易得∽， 设的周长为m，则， 所以，． 因此，的周长为3． 故答案为：3． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：的边长为， 的高为3， 设外接圆的半径为r，则，即， 到BC的距离为， 过点O作直线与BC平行弧AC于点D，则的面积恰好为， 点P由D点向A点移动的过程中，的面积越来越大； 点P由D点向C点移动的过程中，的面积越来越小； 为使的面积大于，只需要点P由D向A 点移动， 由几何概型可知，的面积大于的概率等于与大小之比， ，， 故的面积大于的概率为， 故答案为：． 过点O作直线与BC平行弧AC于点D，则的面积恰好为，点P由D点向A点移动的过程中，的面积越来越大，结合几何概型即可求出 本题考查了几何概型的概率问题，考查了圆的有关知识和三角形的有关知识，属于中档题 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数的导数为， 图象上存在两点M，N，在这两点处的切线都与x轴平行， 可得，即在有两解， 设，， 当时，，递增；当时，，递减， 可得处取得极小值，且为最小值， 由时，， 可得当时，在有两解， 故答案为：． 求得的导数，可得切线的斜率，由题意可得在有两解，设，求得导数，以及单调性和最小值，即可得到所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，考查运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：若p为真：， ， 集合， 若q为真：， ， 集合； 若p是q成立的充分不必要条件，则， ‎ ‎， 解得：， 又， 实数a的取值范围为：． ‎ ‎【解析】解不等式，即可求出集合A，解不等式，即可求出集合B； 因为p是q成立的充分不必要条件，所以，再利用集合包含关系即可求出a的取值范围． 本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题． 18.【答案】解：Ⅰ由已知数据得：， 故， 代入公式， 故， 故回归方程为：；Ⅱ由题意得，将代入； 得， 故预测2019年该地区的粮食产量为亿万吨． ‎ ‎【解析】Ⅰ求出x，y的平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；Ⅱ代入x的值，求出y的预报值即可． 本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值，是一道基础题． 19.【答案】解：由频率分布直方图得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 估计这次考试学生成绩的中位数为：． 估计这次考试学生成绩的平均数为： ． 成绩为104分或105分的同学共有3人， 成绩在中的同学人有人， 从中任选2人，基本事件总数， 至少有1人成绩不低于106分包含的基本事件个数， 至少有1人成绩不低于106分的概率． ‎ ‎【解析】由频率分布直方图求出成绩在内的频率和成绩在内的频率，由此能估计这次考试学生成绩的中位数；利用频率分布直方图能估计这次考试学生成绩的平均数． 成绩为104分或105分的同学共有3人，成绩在中的同学人有人，从中任选2人，基本事件总数，至少有1人成绩不低于106分包含的基本事件个数，由此能求出至少有1人成绩不低于106分的概率． 本题考查平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】证：由题意，是二面角的平面角，平面OBCD，平面OAD ，又， 平面OAC，， 又，P为AC的中点， ，又， 平面ACD， ， 又平面OAD，则， ， 平面BOP； 由可知，OA、OB、OD两两垂直， 以O为原点，OB、OD、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，0，， 由，知为等边三角形，则， ，，， 平面OPB的一个法向量，平面OPC的一个法向量， ，由图可知，二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值． ‎ ‎【解析】先证平面OAC，再证平面ACD，然后证平面BOP； 以O为原点建系，求出O、B、C、P四点的坐标，再求出两个平面的法向量，然后求二面角． 本题主要考查空间中的垂直关系及二面角的求法，考查学生的直观想象能力及运算能力，属于中档题． ‎ ‎21.【答案】解：Ⅰ设是椭圆的左焦点，连接OP，，PF； 由， ， ； ，则，，则； 所以椭圆C的标准方程：；Ⅱ设直线l的方程为， 将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 消去x得， 由韦达定理得，， 所以； 设直线AM过x轴上的定点，由于、t三点共线， 则，即， 可得， 故直线AM过x轴上的定点． ‎ ‎【解析】Ⅰ利用几何性质有，再用椭圆的定义求a；Ⅱ设直线l的方程为，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x，列出韦达定理，再将韦达定理代入所证的代数式即可得到证明； 设直线AM过x轴上的定点，由于A、M、T三点共线，得出直线AM和直线AT的斜率相等，可得出t的表达式，代入韦达定理得出t的值，于是可得出直线AM所过x轴的定点． 本题考查椭圆的方程，椭圆与圆的位置关系，代数式为定值，直线过定点问题，属于难题． 22.【答案】解：由，则； 所以，又； 所以切线方程为：； 即函数在点处的切线方程：； 的定义域为 且； 令，即，则； 令，得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 要证 恒成立； 即证： 设， ，则在单调递减，在上单调递增； 所以； 又，则在单调递减，在上单调递增； 所以； 所以； 故当时，恒成立． ‎ ‎【解析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，写出切线的方程； 求出导数，令，，解出单调区间； 用分析法将要证的不等式分成两个函数，即需要证明，然后分别求不等式两边的最值，从而得证． 本题考查切线，函数单调区间，不等式的证明，不等式的证明方法比较灵活多样且难度较大，关键在于构造，属于难题． ‎