【数学】2018届一轮复习人教A版第二部分专题一 善用数学思想学案
专题一 善用数学思想
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号 记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
第一讲函数与方程思想__数形结合思想
一、函数与方程思想
函数与方程思想的含义
函数与方程思想在解题中的应用
函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
1
函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
3
解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
4
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
——————— 典例示范]—————
应用一 解决数列、不等式问题
例1] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N ，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
解] (1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
所以bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，(构造函数)
则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在 1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.
——— 即时应用]——————————
1.(1)设a＞0，b＞0.( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
(2)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈ －1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.
解析：(1)由2a＋2a＝2b＋3b，
整理得，(2a＋2a)－(2b＋2b)＝b>0，
令f(x)＝2x＋2x，
显然f(x)是单调递增函数，
由f(a)－f(b)>0可得a>b，选A.
(2)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x＜0即x∈ －1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
设g(x)＝－，且g(x)在区间 －1,0)上单调递增，因为g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
答案：(1)A (2)4
—————————— 典例示范]—————————
应用二 解决解析几何、立体几何问题
例2] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且·＝·.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定·的取值范围．
解] (1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)，
则由·＝·，得b2－a－1＝0.
∵b2＝a2－1，∴a2－a－2＝0，(列出方程)
解得a＝2.
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①若直线l斜率不存在，则l：x＝1，
此时M，N，·＝－.
②若直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 消去y得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(列出方程)
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(1＋k2) x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝.(转化为函数)
∵k2≥0，∴0<≤1，
∴3≤4－<4，
∴－3≤·<－.
综上所述，·的取值范围为.
—————————— 即时应用]——————————
2.(1)已知正四棱锥SABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A．1 B. C．2 D．3
(2)(2016·浙江高考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________．
解析：(1)设正四棱锥SABCD的底面边长为a(a＞0)，则高h＝ ＝ ，所以体积V＝a2h＝ .设y＝12a4－a6(a＞0)，则y′＝48a3－3a5.令y′＞0，得0＜a＜4；令y′＜0，得a＞4.故函数y在(0,4]上单调递增，在 4，＋∞)上单调递减．可知当a＝4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h＝ ＝2，故选C.
(2)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝ ＝2.
设CD＝x，则AD＝2－x，
∴PD＝2－x，
∴VPBCD＝S△BCD·h
≤×BC·CD·sin 30°·PD
＝x(2－x)≤2
＝×2＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝时取“＝”，
此时PD＝，BD＝1，PB＝2，满足题意．
故四面体PBCD的体积的最大值为.
答案：(1)C (2)
二、数形结合思想
数形结合思想的含义
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化 解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
1
构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2
构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．
3
构建解析几何模型求最值或范围．
4
构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
—————————— 典例示范]————————
应用一 处理方程根、函数零点问题
例3] (1)(2017·杭州模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)是周期为2的偶函数且当x∈ 0,1]时，g(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f(x)＝logx，则方程f(x)－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10
C．12 D．16
解析] (1)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，由图象可知当x>0时，有4个零点，当x≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.
(2)∵奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期T＝4.
当0＜x≤1时，f(x)＝logx，故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示．
由图可知方程f(x)－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C.
答案] (1)B (2)C
——————————— 即时应用]——————————
3.(1)已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,8)
C．(2,8) D．(－∞，0)
(2)(2018届高三·温州五校联考)已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f(x)＝的图象上，若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D．(1，＋∞)
解析：(1)m＝0时结论显然不成立；当m<0时，二次函数的对称轴－＝<0，如图①，x>0时显然不成立；当0
0，如图②，此时结论显然成立；当m>4时，如图③，－＝<0时，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4时，在x∈ 0，m]上，必须要求y＝sin x和y＝cos x的图象不在y＝a＝的同一侧．
所以m的最大值是，选C.
(2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，
依题意及图象知应有2a≤2－2a，故a≤.
答案] (1)C (2)
——————————— 即时应用]——————————
4.(1)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ 设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪
C.∪ D.∪
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0) (m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：(1)∵f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)
＝
作出其图象，从图象可以看出；c≤－2时，y＝f(x)与y＝c有两个公共点，即函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点；同样的，－160n＋800？若存在，求n
的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，
解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n，
显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.
12.已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长为2，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
解：(1)由题意，知椭圆C的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得e2＝＝＝，
所以a2＝4b2，即a＝2b，①
可得c＝b.②
S△ABF＝|AF||OB|＝(a－c)b＝1－.③
联立①②③，解得b＝1，a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意，知圆心O到直线l的距离d＝＝1，
即＝1，故有m2＝1＋k2，④
由消去y并整理，得
x2＋2kmx＋m2－1＝0.
因为Δ＝4k2－m2＋1＝3k2>0，所以k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×＝，⑤
将④代入⑤，得|x1－x2|2＝，
故|x1－x2|＝，
|MN|＝|x1－x2|＝，
故△OMN的面积S＝|MN|×d＝.
令t＝4k2＋1>1，则S＝2＝ .
所以当t＝3，即k＝±时，Smax＝×＝1.
第二讲分类讨论、转化与化归思想
一、分类讨论思想
分类讨论思想的含义
分类讨论思想在解题中的类型
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.
2
由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．
3
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
4
由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．
5
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
——————————— 典例示范]—————————
类型一 由参数引起的分类讨论
例1] 已知函数f(x)＝x＋(x>0)．
(1)若a<0，试用定义证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若a>0，当x∈ 1,3]时，不等式f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
解] (1)证明：若a<0，设00，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
①若00，a≠1)在 －1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在 0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
(2)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，3，…)，则q的取值范围为________．
解析：(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意，若00，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝>0，
即>0(n∈N )，则有
或即－11，
故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：(1) (2)(－1,0)∪(0，＋∞)
二、转化与化归思想
转化与化归思想的含义
转化与化归思想在解题中的类型
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等.
1
在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
2
在函数、不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等．
3
在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4
在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5
在解决解析几何、立体几何问题时常常在数与形之间进行转化.
————————— 典例示范]————————
类型一 形与数的转化
例3] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
——————————— 即时应用]———————————
3.(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为________．
解析：(1)如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.故选A.
(2)如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2，∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角EBCF的平面角，而FP＝＝，在△EPF中，cos∠EPF＝＝＝.
答案：(1)A (2)
————————— 典例示范]—————————
类型二 常量与变量的转化
例4] 设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在 －2,2]上变化时，y恒取正值，求x的取值范围．
解] 设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，
当x＝2时，f(t)＝0，所以x≠2，
故f(t)是一次函数，当t∈ －2,2]时，
f(t)>0恒成立，则有
即
解得log2x<－1或log2x>3.
∴08，
∴x的取值范围是∪(8，＋∞)．
——————————— 即时应用]——————————
4.(1)对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．
(2)设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈ －1,1]恒成立，则x的取值范围为________．
解析：(1)设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.
要使f(p)在0≤p≤4上恒正，
等价于即
解得x>3或x<－1.
(2)∵f(x)是R上的增函数．
∴1－ax－x2≤2－a，a∈ －1,1]．
即(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈ －1,1]恒成立．
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
则
解得x≥0或x≤－1.
即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪ 0，＋∞)．
答案：(1)(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪ 0，＋∞)
数学思想专练(二)]
一、选择题
1．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D． 2，＋∞)
解析：选B 当a>1时，则集合A＝{x|x≤1或x≥a}，则A∪B＝R，可知a－1≤1，即a≤2，故11时，1－log2x≤2⇒log2x≥－1＝log2 2－1⇒x≥2－1＝.
综上得，x的取值范围为 0，＋∞)．
4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
5．如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2
013为第51个数，故n＝51，选B.
6．(2017·南昌模拟)点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是( )
A． 0,2] B． 0,3]
C． 0,4] D． －2,2]
解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝||2－1，且1≤|OP|≤，∴·∈ 0,4]．
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间 －1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________．
解析：如果在 －1,1]内没有值满足f(c)>0，则
即解得p≤－3或p≥，取补集为－30)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.
又点M(2，－2p)位于直线MA上，
于是有－2p＝×2－，
即x－4x1－4p2＝0；
同理有x－4x2－4p2＝0，
因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1＋y2＝12，
即＝＝12，＝12，
解得p＝1或p＝2.
答案：1或2
三、解答题
10．已知a∈R，函数f(x)＝x＋，h(x)＝，解关于x的方程log4＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．
解：原方程可化为log4
＝log2－log2，
即log4(x－1)＝log2－log2＝log2，
①当10，
此时x＝＝3±，
∵14时，10，方程有两解x＝3±；
若a＝5时，则Δ＝0，方程有一解x＝3；
③由函数有意义及②知，若a≤1或a>5，原方程无解．
综合以上讨论，当15时，原方程无解．
11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{an}中，a1＝3，a＝an－1＋2(n≥2，n∈N )．
(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明；
(2)求证：|an－2|<|an－1－2|(n≥2)；
(3)求证：|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<.
解：(1)a2＝＝，a3＝＝.
由题设，a－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2.
因为an＋2>0，所以an－2与an－1－2同号．
又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2.
(2)证明：由题设，＝，
由(1)知，an>2，所以<，因此<，
即|an－2|<|an－1－2|(n≥2)．
(3)证明：由(2)知，|an－2|<|an－1－2|，
因此|an－2|<|a1－2|＝(n≥2)．
因此|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<1＋＋＋…＋＝＝<.
12．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
由题意，知x1≠x2，
所以kAB＝＝－.
因为N(1,3)是弦AB的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，
所以kAB＝－1.
所以弦AB所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.
又N(1,3)在椭圆内，
所以λ>3×12＋32＝12.
所以λ的取值范围是(12，＋∞)．
(2)因为弦CD垂直平分弦AB，所以弦CD所在直线的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0，
将其代入椭圆的方程，
整理得4x2＋4x＋4－λ＝0.①
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)，
则x3，x4是方程①的两个根．
所以x3＋x4＝－1，x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝，即M.
所以点M到直线AB的距离d＝＝.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程为2＋2＝.
