2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期10月月考数学理试题（创新班）解析版

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期10月月考数学理试题（创新班）解析版

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期10月月考数学理试题（创新班）‎ 命题人：刘 喜 审题人：彭 韬 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分有不必要条件 ‎2．点是点在轴上的射影，则点到原点的距离为（ ）.‎ ‎ ‎ ‎3．若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是(　　)‎ ‎5．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )‎ A． B． C．4 D．8 ‎ ‎6．对于曲线C：，给出下面四个命题：‎ ‎①曲线C不可能表示椭圆；‎ ‎②“14”的必要不充分条件；‎ ‎④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“14”的必要不充分条件；‎ ‎④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“10)，‎ 则D(0，m,0)，E(，，0)．‎ 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．‎ 因为·＝－＋0＝0，‎ 所以PE⊥BC．‎ ‎(2)解　由已知条件可得m＝－，n＝1，‎ 故C(－，0,0)，D(0，－，0)，‎ E(，－，0)，P(0,0,1)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，‎ 则，‎ 因此可以取n＝(1，，0)，‎ 由＝(1,0，－1)．‎ 可得|cos〈，n〉|＝，‎ 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数图象在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，判定函数在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数最大值或最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值，无最小值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导数，确定切线的斜率、切点坐标，即可求得函数 ‎ 图象在点 处的切线方程； （2）求导数，确定函数的单调性，即可求出函数最大值或最小值．‎ 试题解析：（1）当时， .‎ ‎， ， ‎ ‎∴函数图象在点处的切线方程为，即 ‎（2）， ‎ 令，由，解得， （舍去）.‎ 当在上变化时， ， 的变化情况如下表 ‎0‎ 所以函数在区间上有最大值，无最小值.‎ ‎20.已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率， 为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析.‎ 试题解析：（1）设，即，化简得，此即为的方程；‎ ‎（2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知 ‎，由得，故 ‎，易得，故，令 ‎，则可得，令，则 ‎，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意.‎ ‎21.在等腰中，，腰长为2，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连结、，‎ 因为在等腰中，，，、分别是边、的中点，‎ 所以，‎ 又因为翻折后，所以翻折后，且 为等腰直角三角形，所以，‎ 因为翻折后，，且，平面，因为，‎ 平面，，又，平面，‎ 又，，且，是平行四边形，，‎ 平面； …（3分）‎ 要使平面，则须，‎ 所以，即线段上存在一点，使得平面，‎ ‎…（9分）‎ 设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取，则，，‎ 因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，‎ 即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），‎ 使得平面，此时二面角的余弦值为…（12分）‎ ‎22. 已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；‎ ‎（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎，将点代入，得，‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即 由，得．‎ 设点、的坐标分别为、，‎ 则，，‎ 所以==，‎ 所以===0，故，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，‎ 由向量加法平行四边形法则得，，‎ ‎（ⅰ）当时，点、关于原点对称，则 此时不构成平行四边形，不合题意．‎ ‎（ⅱ）当时，点、不关于原点对称，则，‎ 由，得 即 点在椭圆上，有，‎ 化简，得．‎ ‎，有． ① ‎ 又，‎ 由，得． ② ‎ 将①、②两式，得 ，，则且．‎ 综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是且．‎