北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模）数学（理）试题Word版含答案

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海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 （理科） 2018.5 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1）已知全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. （2）已知复数 在复平面上对应的点为 ，则 A. 是实数 B. 是纯虚数 C. 是实数 D. 是纯虚数 （3）已知 ，则 A. B. C. D. （4）若直线 是圆 的一条对称轴，则 的值为 A. B. C. D. （5）设曲线 是双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （6）关于函数 ，下列说法错误的是 A. 是奇函数 B. 0 不是 的极值点 C. 在 上有且仅有 3 个零点 D. 的值域是 { }1,2,3,4,5,6U = { }1,2,4A = { }1,3,5B = U( )C A B = { }1 { }3,5 { }1,6 { }1,3,5,6 z (1 1)−， 1z + 1z + z i+ z i+ 0x y  1 1 x y 1 1( ) ( )2 2 x y  cos cosx y ln( +1) ln( 1)x y + 0x y a+ + = 2 2 2 0x y y+ − = a 1 1− 2 2− C C 2 2 14 yx − = C 2y x= ± ( )=sinx-xcosxf x ( )f x ( )f x ( )f x ( ,2 π− )2 π ( )f x R （7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 A.求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 B. 求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 C. 求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 D. 求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和 （8）已知集合 ，集合 ， ， 满足 ①每个集合都恰有 5 个元素 ② 集合 中元素的最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ， 则 的值不可能为 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）极坐标系中，点 到直线 的距离为 . （10）在 的二项展开式中， 的系数为 . （11）已知平面向量 ， 的夹角为 ，且满足 ， ，则 ， . （12）在 中， ，则 . （13）能够使得命题“曲线 上存在四个点 满足四边形 是正方形”为真命题的一个实数 的值为 . （14）如图，棱长为 2 的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，若 垂 直于 ，则 的面积的最小值为 . { }* 1 15M x N x= ∈ ≤ ≤ 1A 2A 3A 1A 2A  3A M= iA iA ( 1,2,3)iX i = 1X 2 +X+ 3X 37 39 48 57 (2, )2 π cos 1ρ θ = 52( )x x + 3x a b 3 π =2a =1b a b =   2a b+ =  ABC∆ : : 4:5:6a b c = tan A = 2 2 2 1( 0)4 x y aa − = ≠ , , ,P Q R S PQRS a 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1AA P 1 1ABB A 1D P CM PBC∆ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 如图，已知函数 （ ）在一个周期内的图 像经过 ， ， 三点 （Ⅰ）写 出的值； （Ⅱ）若 ，且 ，求 的值. （16）（本小题 13 分） 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机 抽取 10 名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考 核成绩.记录的数据如下： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号 第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二轮测试成绩 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 （Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于 90 分的概率； （Ⅱ）从考核成绩大于 90 分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮 测试成绩均大于等于 90 分的概率； （Ⅲ）记抽取的 10 名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 ， ，考核成绩 的平均数和方差分别为 ， ，试比较 与 ， 与 的大小.（只需写出结 论） （17）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 分别是 的中点 （Ⅰ）证明： ； ( )f x sin ( )A x xω ϕ= + 0, 0, 2A πω ϕ   ( ,0)6B π 2( ,0)3C π 5( ,2)12D π , ,A ω ϕ 5 2( , )12 3 π πα ∈ ( ) 1f α = cos2α 1x 2 1s 2x 2 2s 1x 2x 2 1s 2 2s 1 1 1ABC A B C− 1 12,AC BC AB AB= = = ⊥ ABC 1AC ⊥ AC ,D E 1 1AC B C， 1 1AC B C⊥ （Ⅱ）证明： 平面 ； （Ⅲ）求 与平面 所成角的正弦值. （18）（本小题 14 分） 已知椭圆 ， 为右焦点，圆 ， 为椭圆 上一点，且 位于 第一象限，过点 作 与圆 相切于点 ，使得点 ， 在 的两侧. （Ⅰ）求椭圆 的焦距及离心率； （Ⅱ）求四边形 面积的最大值. （19）（本小题 13 分） 已知函数 （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）当 时，设 ，求证：曲线 存在两条斜率 为 且不重合的切线. （20）（本小题 13 分） 如果数列 满足“对任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 ”， 则称数列 具有“性质 ”.已知数列 是无穷项的等差数列，公差为 （Ⅰ）若 ，公差 ，判断数列 是否具有“性质 ”，并说明理由； （Ⅱ）若数列 具有“性质 ”，求证： 且 ； （Ⅲ）若数列 具有“性质 ”，且存在正整数 ，使得 ，这样的数 列共有多少个？并说明理由. / /DE 1 1AA B B DE 1 1BB C C C： 2 2 14 x y+ = F 2 2: 1O x y+ = P C P P PT O T F T OP C OFPT ( ) 3( 0)axf x e ax a= − − ≠ ( )f x 0a  21 1( )= 32 axg x e ax xa − − ( )y g x= 1− { }na , ,i j i j≠ k ka = ia ja { }na P { }na d 1=2a =3d { }na P { }na P 1 0a ≥ 0d ≥ { }na P k 2018ka = 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准 数学（理科） 2018.5 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A C C A 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （9）1 （10）10 （11）1； （12） （13）答案不唯一， 或 的任意实数 （14） 注：第 11 题第一空 3 分，第二空 2 分。 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题 13 分） 解：（Ⅰ） ， ， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ， 所以 ， 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 2 3 7 3 0a < 4a > 2 5 5 2A = 2ω = 3 πϕ = − ( ) 2sin(2 )3f x x π= − ( ) 1f α = 1sin(2 )3 2 πα − = 5 2( , )12 3 π πα ∈ 2 ( , )3 2 π πα π− ∈ 52 3 6 πα π− = 72 6 α π= 7 3cos2 cos 6 2 α π= = − A C1 A1 C B1 B D E y x z 16. （本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91． 其中大于等于 90 分的有 1 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 6 人. 所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率为： ， 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率为 0.6. ………………………………………….4 分 （Ⅱ）设事件 ：从上述考核成绩大于等于 90 分的学生中再随机抽取两名同学，这两 名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分. 由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人，其中两轮测试成绩均大于等 于 90 分的学生有 1 号，8 号，10 号，共 3 人. 所以， .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 （Ⅲ） ， .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 17.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 ⊥平面 ， 平面 ， 所以 ． 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面 ， 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （Ⅱ）取 的中点 ，连接 、 ． 因为 、 分别是 、 的中点， 所以 ME∥ ，且 ME ． 在三棱柱 中， ，且 ， 所以 ME∥AD，且 ME=AD， 所以四边形 ADEM 是平行四边形， 所以 DE∥AM． 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 （Ⅲ）在三棱柱 中， ， 因为 ，所以 ． 在平面 内，过点 作 ， 因为， 平面 ， 6 0.610 = A 2 3 2 6 3 1( ) 15 5 CP A C = = = 1 2x x= 2 2 1 2s s> 1AB ABC AC ⊂ ABC 1AB AC⊥ 1AC AC⊥ 1 1AB AC A= 1AB 1AC ⊂ 1 1AB C AC ⊥ 1 1AB C 1 1B C ⊂ 1 1AB C 1 1AC B C⊥ 1 1A B M MA ME E M 1 1B C 1 1A B 1 1AC 1 1 1 2 AC= 1 1 1ABC A B C− 1 1AD AC 1 1 1 2AD AC= AM ⊂ 1 1AA B B DE ⊄ 1 1AA B B / /DE 1AA BB 1 1 1ABC A B C− 1 1//BC B C 1 1AC B C⊥ AC BC⊥ 1ACB C 1/ /Cz AB 1AB ⊥ ABC A C1 A1 C B1 B D E M x y T FO P 所以， 平面 ． 建立空间直角坐标系 C-xyz，如图．则 , , , , , . ， ， ． 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 得 ，令 ，得 ，故 ． 设直线 DE 与平面 所成的角为 θ， 则 sinθ＝ ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 18. （本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）在椭圆 ： 中， ， ， 所以 ， 故椭圆 的焦距为 ，离心率 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （Ⅱ）法一：设 （ ， ）， 则 ，故 ． 所以 ， 所以 ， ． 又 ， ，故 ． 因此 ． 由 ，得 ，即 ， Cz ⊥ ABC (0,0,0)C (2,0,0)B 1(0,2,2)B 1( 2,2,2)C − (0,1,0)D ( 1,2,2)E − ( 1,1,2)DE = − (2,0,0)CB = 1 (0,2,2)CB = 1 1BB C C ( , , )x y z=n 1 0 0 CB CB  ⋅ = ⋅ =   n n 2 0 2 2 0 x y z =  + = 0x = 1y = 1z = − (0,1, 1)= −n 1 1BB C C cos , | | | | DE DE DE ⋅ < > = ⋅    n n n 3 6 = DE 1 1BB C C 3 6 C 2 2 14 x y+ = 2a = 1b = 2 2 3c a b= − = C 2 2 3c = 3 2 ce a = = 0 0( , )P x y 0 0x > 0 0y > 2 20 0 14 x y+ = 2 2 0 0 1 4 xy = − 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3| | | | | | 1 4TP OP OT x y x= − = + − = 0 3| | 2TP x= 0 1 3| | | |2 4OTPS OT TP x∆ = ⋅ = (0,0)O ( 3,0)F 0 0 1 3 2 2OFPS OF y y∆ = ⋅ = 0 0 3 ( )2 2OFP OTPOFPT xS S S y∆ ∆= + = ⋅ +四边形 2 20 0 0 0 0 0 3 3 12 4 2 x x y y x y= ⋅ + + = ⋅ + 2 20 0 14 x y+ = 2 20 02 14 x y⋅ ≤ 0 0 1x y⋅ ≤ 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 19. （本小题共 13 分） 解：（Ⅰ） ， 令 ，得 ． ①当 时， 与 符号相同， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ↘ 极小 ↗ ②当 时， 与 符号相反， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ↘ 极小 ↗ 综上， 在 处取得极小值 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （Ⅱ） ， 故 ． 注意到 ， ， ， 所以， ， ，使得 ． 因此，曲线 在点 ， 处的切线斜率均为 . 下面，只需证明曲线 在点 ， 处的切线不重合. 曲线 在点 （ ）处的切线方程为 ， 即 ．假设曲线 在点 （ ）处的切线重合，则 ． 令 ，则 ，且 . 由（Ⅰ）知，当 时， ，故 ． 所以， 在区间 上单调递减，于是有 ，矛盾！ 因此，曲线 在点 ( )处的切线不重合． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 0 0 3 612 2OFPTS x y= ⋅ + ≤四边形 2 20 0 1 4 2 x y= = 0 2x = 0 2 2y = '( ) ( 1)ax axf x a a a= ⋅ − = ⋅ −e e ( 0, )a x≠ ∈R '( ) 0f x = 0x = 0a > '( )f x 1ax −e x '( )f x ( )f x x ( ,0)−∞ 0 (0, )+∞ '( )f x − 0 + ( )f x 0a < '( )f x 1ax −e x '( )f x ( )f x x ( ,0)−∞ 0 (0, )+∞ '( )f x − 0 + ( )f x ( )f x 0x = (0) 2f = − '( ) 3 ( )axg x ax f x= − − =e ( 0, )a x> ∈R '( ) 1g x = − ⇔ ( ) 1f x = − (0) 2 1f = − < − 22( ) 5 1f a = − > −e 22( ) 1 1f a −− = − > −e 1 2( ,0)x a ∃ ∈ − 2 2(0, )x a ∈ 1 2( ) ( ) 1f x f x= = − ( )y g x= 1 1 1( , ( ))P x f x 2 2 2( , ( ))P x f x 1− ( )y g x= 1 1 1( , ( ))P x f x 2 2 2( , ( ))P x f x ( )y g x= ( , ( ))i i iP x f x 1,2i = ( ) ( )i iy g x x x− = − − ( )i iy x g x x= − + + ( )y g x= ( , ( ))i i iP x f x 1,2i = 2 2 1 1( ) ( )g x x g x x+ = + ( ) ( )G x g x x= + 1 2( ) ( )G x G x= '( ) '( ) 1 ( ) 1G x g x f x= + = + 1 2( , )x x x∈ ( ) 1f x < − '( ) 0G x < ( )G x 1 2[ , ]x x 1 2( ) ( )G x G x> ( )y g x= ( , ( ))i i iP x f x 1,2i = 20. （本小题 13 分） 解：（Ⅰ）若 ，公差 ，则数列 不具有性质 ． 理由如下： 由 题 知 ， 对 于 和 ， 假 设 存 在 正 整 数 k， 使 得 ， 则 有 ，解得 ，矛盾！所以对任意的 ， ．……3 分 （Ⅱ）若数列 具有“性质 P”，则 ①假设 ， ，则对任意的 ， . 设 ，则 ，矛盾！ ②假设 ， ，则存在正整数 ，使得 设 ， ， ，…， ， ， ，则 ，但数列 中仅有 项小于等于 0， 矛盾！ ③假设 ， ，则存在正整数 ，使得 设 ， ， ， … ， ， ， ，则 ，但数列 中仅有 项大 于等于 0，矛盾！ 综上， ， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 （Ⅲ）设公差为 的等差数列 具有“性质 P”，且存在正整数 ，使得 ． 若 ，则 为常数数列，此时 恒成立，故对任意的正整数 ， ， 这与数列 具有“性质 P”矛盾，故 ． 设 是数列 中的任意一项，则 ， 均是数列 中的项，设 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即数列 的每一项均是整数． 由（Ⅱ）知， ， ，故数列 的每一项均是自然数，且 是正整数． 由题意知， 是数列 中的项，故 是数列中的项，设 ，则 ， 即 ． 因为 ， ，故 是 的约数． 所以， , ． 当 时， ，得 ，故 ，共 2019 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 1010 种可能； 1 2a = 3d = { }na P 3 1na n= − 1a 2a 1 2ka a a= 3 1 2 5 10k − = × = 11 3k = *k ∈N 1 2ka a a≠ { }na 1 0a < 0d ≤ *n∈N 1 ( 1) 0na a n d= + − ⋅ < 1 2ka a a= × 0ka > 1 0a < 0d > t 1 2 3 1 20t t ta a a a a a+ +< < < ⋅⋅⋅ < ≤ < < < ⋅⋅⋅ 11 1t ka a a+⋅ = 21 2t ka a a+⋅ = 31 3t ka a a+⋅ = 11 2 1 tt ka a a ++⋅ = * ik ∈N 1,2, , 1i t= + 1 2 3 1 0 tk k k ka a a a + > > > > ⋅⋅⋅ > { }na t 1 0a ≥ 0d < t 1 2 3 1 20t t ta a a a a a+ +> > > ⋅⋅⋅ > ≥ > > > ⋅⋅⋅ 11 2t t ka a a+ +⋅ = 21 3t t ka a a+ +⋅ = 31 4t t ka a a+ +⋅ = 11 2 2 tt t ka a a ++ +⋅ = * ik ∈N 1,2, , 1i t= + 1 2 3 1 0 tk k k ka a a a + < < < < ⋅⋅⋅ < { }na t 1 0a ≥ 0d ≥ d { }na k 2018ka = 0d = { }na 2018na = k 2 1 22018 2018ka a a= ≠ = ⋅ { }na 0d ≠ x { }na x d+ 2x d+ { }na 1 ( )ka x x d= + 2 ( 2 )ka x x d= + 2 1 2 1( )k ka a xd k k d− = = − ⋅ 0d ≠ 2 1x k k= − ∈Z { }na 1 0a ≥ 0d ≥ { }na d 2018 d+ { }na 2018 (2018 )d⋅ + 2018 (2018 )ma d= ⋅ + 2018 (2018 ) 2018 2018 2017 2018 ( )m ka a d d m k d− = ⋅ + − = × + = − ⋅ ( 2018) 2018 2017m k d− − ⋅ = × 2018m k− − ∈Z *d ∈N d 2018 2017× 1,2,1009,2017,2 1009,2 2017,1009 2017d = × × × 2 1009 2017× × 1d = 1 2018 ( 1) 0a k= − − ≥ 1,2,...,2018,2019k = 1 2018,2017,...,2,1,0a = 2d = 1 2018 2( 1) 0a k= − − ≥ 1,2,...,1008,1009,1010k = 1 2018,2016,2014,...,4,2,0a = 当 时， ，得 ，故 ，共 3 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 2 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 2 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可能； 当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可能． 综上，满足题意的数列 共有 （种）． 经检验，这些数列均符合题意．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 1009d = 1 2018 1009 ( 1) 0a k= − × − ≥ 1,2,3k = 1 2018,1009,0a = 2017d = 1 2018 2017( 1) 0a k= − − ≥ 1,2k = 1 2018,1a = 2 1009d = × 1 2018 2018 ( 1) 0a k= − × − ≥ 1,2k = 1 2018,0a = 2 2017d = × 1 2018 2 2017 ( 1) 0a k= − × × − ≥ 1k = 1 2018a = 1009 2017d = × 1 2018 1009 2017 ( 1) 0a k= − × × − ≥ 1k = 1 2018a = 2 1009 2017d = × × 1 2018 2 1009 2017 ( 1) 0a k= − × × × − ≥ 1k = 1 2018a = { }na 2019 1010 3 2 2 1 1 1 3039+ + + + + + + =