【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，,则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知a为实数，若复数为纯虚数，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，，则、、的大小关系为（　　）‎ A． B. ‎ C． D. ‎ ‎4．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则等于（　　）‎ A. B. 0 C. 2 D. 4‎ ‎5．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推。已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（　　）‎ A. 己申年 B. 己酉年 C. 庚酉年 D. 庚申年 ‎6．若函数在区间为增函数，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．若，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知函数，则的图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若实数x，y满足，则的最小值（　　）‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 9‎ ‎10．已知且则的最小值为（　　）‎ A. 3 B.5 C. 7 D. 9‎ ‎11．已知函数，则不等式的解集为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数与的图像上存关于x轴对称的点，则实数的取值范围为（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．欧拉公式把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则= ．‎ ‎14．设，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝ ．‎ ‎15．直线与曲线相切，则的值为 ．‎ ‎16．已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）已知不等式的解集为，求的最小值．‎ ‎（Ⅱ）若正数满足，求证：．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：，直线l： (t为参数)．‎ ‎（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 20． ‎（本小题满分12分）‎ 设函数，．‎ ‎ （Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 21． ‎（本小题满分12分）‎ 有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧，和线段，四部分组成，在极坐标系中，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．‎ ‎（Ⅰ）分别写出，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点，位于曲线上，且，‎ 求△面积的取值范围．‎ 22． ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.‎ 参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D B B C D A B C C B 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题:‎ ‎17．解：（Ⅰ）时，， 因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 由韦达定理可得，， ………………2分 因为，所以， 则，‎ 当且仅当时取等号． ………………5分 ‎（Ⅱ）解法一：基本不等式，由为正数且 ‎ 由基本不等式，有 ………………3分 三式相加可得：‎ ‎，‎ 即（当且仅当时等号成立） ………5分 解法二：柯西不等式，由为正数且 ‎ 由柯西不等式，‎ ‎………3分 所以，即（当且仅当时等号成立） ………5分 ‎18．（Ⅰ）椭圆C的参数方程为 (θ为参数)，‎ 直线l的普通方程为x－y＋9＝0. ………………5分 ‎（Ⅱ）设P(2cos θ，sin θ)，‎ 则|AP|＝＝2－cos θ， ………………7分 P到直线l的距离 d＝＝. ………………9分 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，‎ 又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.‎ 故. ………………12分 19． 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以.又因为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ………………5分 ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，所以在区间上单调递减.………………8分 所以对任意有，即. ‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.………12分 19． ‎（Ⅰ）， ……………2分 当时，，‎ ‎①当时，原不等式等价于，解得； ‎ ‎ ……………………3分 ‎②当时，原不等式等价于，‎ 解之，得，； ………………4分 ‎③当时，，而，‎ ‎ 不等式解集为空集． ……………………………5分 综上所述，不等式的解集为．……………………6分 ‎（Ⅱ）①当时，恒成立等价于，又，‎ ‎ ，故； ……………………………………8分 ‎②当时，恒成立等价于恒成立，即，‎ 只需即可，即 ， …………………………11分 综上，． ………………………………………………12分 21． 解：（Ⅰ）由题意，的极坐标方程是， ………………2分 记圆弧所在圆的圆心为，易得极点在圆弧所在圆上，‎ 设为上任意一点，则在△中，‎ 可得, ……………………………………………5分 ‎，的极坐标方程分别为，；‎ ‎…………………………………………6分 ‎（Ⅱ）不妨设，，其中， ‎ 则，， ……………………………………8分 ‎，‎ ‎， ……………………10分 又，， ‎ ‎ △的面积的取值范围是. ………………………………12分 21． 解：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴函数，‎ 令，则， ……2分 令得，，列表得：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴当时，的极小值为，又，. ………………………………4分 ‎∵函数在上恰有两个零点，‎ ‎∴即，解得. …………………………6分 ‎（Ⅱ），∴，‎ 令得，‎ ‎∵，是的极值点，∴，，∴，‎ ‎∵，∴解得：， …………………………8分 ‎∴，‎ ‎.‎ 令，‎ 则，∴上单调递减；‎ ‎∴当时，， …………………………11分 根据恒成立，可得，‎ ‎∴的最大值为. …………………………12分