2020届二轮复习(理)第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质学案

2020届二轮复习(理)第2部分专题5第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质学案

第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 ‎[教师授课资源]‎ ‎[备考指导]‎ 圆锥曲线命题方向 高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种．‎ ‎①选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则．‎ ‎1°数形结合，画图.2°定义活用(距离转化).3°有关结论引用.4°特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5°平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt△)．‎ ‎②大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想．‎ 题型：定值、定点、最值、范围．‎ 思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换．‎ ‎ ‎ ‎2°重视圆锥曲线的切线问题．‎ ‎3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)．‎ ‎4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．‎ ‎5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．‎ ‎6°重视以双曲线渐近线为背景的题目．‎ ‎7°重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2＋y1y2，转化锐角或钝角．‎ ‎8°重视弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝的化简技巧．‎ ‎9°易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况．‎ ‎[做小题——激活思维]‎ ‎1．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是(　　)‎ A.＋＝1　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ C　[由题意可得‎2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝2，故b＝＝2，因为焦点在y轴上，故椭圆C的标准方程是＋＝1.]‎ ‎2．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF‎1F2的面积为(　　)‎ A．30 B．25‎ C．24 D．40‎ C　[∵|PF1|＋|PF2|＝14，‎ 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，‎ ‎∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.‎ ‎∵|F‎1F2|＝10，∴PF1⊥PF2，‎ ‎∴S＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.]‎ ‎3．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y D　[由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.]‎ ‎4.点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为(　　)‎ A． B．－ C．或－ D．－或 C　[抛物线y＝ax2化为x2＝y，它的准线方程为y＝－，点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，可得＝2，解得a＝或－.]‎ ‎5．“k＜‎9”‎是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜‎9”‎是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]‎ ‎6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x C　[因双曲线方程C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，‎ 则e2＝＝＝1＋＝，‎ 即＝，∴＝，‎ 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，故选C.]‎ ‎[扣要点——查缺补漏]‎ ‎1．椭圆的定义标准方程及几何性质 ‎(1)定义：|PF1|＋|PF2|＝‎2a；如T2.‎ ‎(2)焦点三角形的面积：S△PF‎1F2＝b2tan .‎ ‎(3)离心率：e＝＝；如T1.‎ ‎(4)焦距：‎2c.‎ ‎(5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2.‎ ‎2．双曲线－＝1(a，b≠0)的几何性质 ‎(1)离心率e＝＝；‎ ‎(2)渐近线：y＝±x.‎ ‎3．抛物线的定义、几何性质 ‎(1)如图，|MF|＝|MH|.如T3，T4.‎ ‎(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为焦点．‎ ‎①焦半径|CF|＝x1＋； ‎ ‎②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p＝；‎ ‎③x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎④＋＝.‎ ‎4．方程Ax2＋By2＝1表示的曲线 ‎(1)表示椭圆：A＞0，B＞0且A≠B；‎ ‎(2)表示圆：A＝B＞0；‎ ‎(3)表示双曲线AB＜0；如T5.‎ ‎(4)表示直线：A＝0且B≠0或A≠0且B＝0.‎ ‎　圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)‎ ‎[高考解读]　以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3)　　　　　 B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ A　[若双曲线的焦点在x轴上，则 又∵(m2＋n)＋(‎3m2‎－n)＝4，∴m2＝1，∴ ‎∴－1‎3m2‎且n<－m2，此时n不存在．故选A.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ B　　[由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F‎1A(图略)，令|F2B|＝m，则|AF2|＝‎2m，|BF1|＝‎3m.由椭圆的定义知，‎4m＝‎2a，得m＝，故|F‎2A|＝a＝|F‎1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝‎ eq f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ ‎6　[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.‎ 由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.‎ ‎∵点M为FN的中点，PM∥OF，‎ ‎∴|MP|＝|FO|＝1.‎ ‎ 又|BP|＝|AO|＝2，‎ ‎∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]‎ ‎[教师备选题]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ B　[由y＝x可得＝. ①‎ 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，‎ 可得a2＋b2＝9. ②‎ 由①②可得a2＝4，b2＝5.‎ 所以C的方程为－＝1.故选B.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF‎1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．‎ ‎(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．‎ 因为点M在椭圆＋＝1上，‎ 所以联立方程可得解得 又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．]‎ 求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 提醒：对于抛物线问题，看到准线想到焦点，看到焦点想到准线．‎ ‎1．(离心率问题)设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F‎1F2|＝2|OP|，△PF‎1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C．4 D．2‎ B　[由|F‎1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，‎ 所以△PF‎1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2.‎ 由S＝a2可知|PF1||PF2|＝‎2a2，‎ 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2.‎ ‎∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F‎1F2|2，‎ 即‎4a2＝－‎4a2＋‎4c2，‎ ‎∴e2＝＝＝2，‎ 又e＞1，∴e＝，故选B.]‎ ‎2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　 )‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x C　[法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则由已知得＝‎2a，由抛物线定义，得＝a，‎ 故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，‎ ＝3＋‎3a，∴2＝，即3＋‎3a＝6，‎ 从而得a＝1，＝‎3a＝3.‎ ‎∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.‎ 法二：由法一可知∠CBD＝60°，‎ 则由|AF|＝＝3可知p＝3＝，‎ ‎∴2p＝3，‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]‎ ‎3．(轨迹问题)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为(　　 )‎ A.＋＝1(y≠0)‎ B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(y≠0)‎ D.＋＝1(y≠0)‎ D　[∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，‎ ‎∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴‎2a＝10,‎2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选D.]‎ ‎　圆锥曲线的几何性质(5年10考)‎ ‎[高考解读]　该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.‎ ‎1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.‎ 法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF‎1F2为等腰三角形，∠F‎1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. D　[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F‎1F2|＝‎2c，∵△PF‎1F2为等腰三角形，且∠F‎1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(‎2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D.‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.]‎ ‎1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．‎ ‎2．双曲线的渐近线的求法及用法 ‎(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．‎ ‎(2)用法：①可得或的值．‎ ‎②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．‎ ‎1．(求离心率的取值范围)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. B　[∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，‎ ‎∴F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.‎ 设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.‎ 联立方程组 整理得，x2＝(‎2c2－a2)·≥0，‎ 解得e≥.‎ 又0＜e＜1，∴≤e＜1.]‎ ‎2．(求离心率的值)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ －1　2　[如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．‎ ‎∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，‎ ‎∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.‎ 连接F‎1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF‎1F2＝30°.‎ 设椭圆的焦距为‎2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝‎2a，即(＋1)c＝‎2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.]‎ ‎3．(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________．‎ ‎[3＋2，＋∞)　[由题意，得22＝a2＋1，即a＝，‎ 设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，‎ 则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1‎ ‎＝－，‎ 因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]‎ ‎4．(与向量交汇考查几何性质)在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．‎ 　[设P(x，y)，则Q点(x，－y)，‎ 椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，‎ ‎∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，‎ 结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．‎ 故与的夹角θ满足：‎ cos θ＝＝＝＝－3＋∈.]‎ ‎　直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)‎ ‎[高考解读]　以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.‎ ‎1．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ‎①－②得＝－.‎ ‎∴＝－.‎ ‎∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.‎ 而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，‎ ‎∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，‎ ‎∴E的方程为＋＝1.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. A　[令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝ ‎.‎ 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，‎ 得＋＝a2，∴＝，即离心率e＝.故选A.]‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎1．在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题．一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解．‎ ‎2．处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点 注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．‎ 提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验．‎ ‎1．(面积问题)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. D　[易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x，得4y2－12y－9＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.‎ S△OAB＝|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝×＝＝.故选D.]‎ ‎2．(弦长问题)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长为，则a＝(　　 )‎ A. B. C. D. B　[可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，‎ ‎∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，‎ ‎∴x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心(0，a)到直线y＝2x的距离是＝⇒a＝.故选B.]‎ ‎3.(最值问题)如图，已知抛物线C1‎ 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为(　　)‎ A．23 B．42‎ C．12 D．52‎ A　[由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，‎ 因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x.‎ 圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，‎ 可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，‎ 于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C‎2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.‎ ‎②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，‎ 由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，‎ 则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝.‎ 所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，‎ 当且仅当x1＝，即x1＝4时等号成立．‎ 因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23.故选A.]‎