2019-2020学年山西省运城市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年山西省运城市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省运城市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．曲线的焦距是（ ）‎ A．6 B．10 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】该方程表示的是双曲线，利用双曲线中的关系运算即可.‎ ‎【详解】‎ 该方程表示的是双曲线，其中 所以 所以 所以焦距为10‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查的是双曲线的基础知识，较简单.‎ ‎2．设直线的方向向量，直线的方向向量，若，则实数m的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得出，然后计算即可 ‎【详解】‎ 因为，所以 因为，‎ 所以 解得,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.‎ ‎3．命题“在中，若，则”的否命题是（ ）‎ A．在中，若，则 B．在中，若，则 C．在中，若，则 D．在中，若，则 ‎【答案】C ‎【解析】命题“若p则q”的否命题为“若则”‎ ‎【详解】‎ 因为命题“若p则q”的否命题为“若则”‎ 所以命题“在中，若，则”的否命题是 ‎“在中，若，则”‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查的是命题的相关知识，较简单.‎ ‎4．已知命题p：“”是“直线与平行”的充要条件；命题q：对任意，总有.则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断出命题p和命题q的真假即可选出答案 ‎【详解】‎ 对于命题p：由可得：‎ 解得，所以命题p正确 因为对任意，总有 所以命题q正确 故为真命题 故选：C ‎【点睛】‎ 直线与平行的充要条件是 ‎5．已知m，n是两条不同的直线，，‎ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】利用空间中平行和垂直的相关性质判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A答案：若，，，则或与异面 B答案正确 对于C答案：若，，，‎ 则与平行、相交、异面都可能 对于D答案：若，，则或 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查的是空间中线和面的位置关系，考查简单的空间想象力.‎ ‎6．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ ‎ 四边形为平行四边形 ‎ 异面直线与所成角即为与所成角，即 设 ‎， ，‎ ‎，，‎ 在中，由余弦定理得：‎ 异面直线与所成角的余弦值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.‎ ‎7．圆与圆恰有两条公切线，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆与圆恰有两条公切线可得出两圆相交，则有，建立不等式算出a的范围即可 ‎【详解】‎ 将方程变形为 所以圆的圆心为，‎ 圆的圆心为，‎ 因为圆与圆恰有两条公切线 所以圆与圆相交，则有 所以 解得且 故选：C ‎【点睛】‎ 若两圆外离，则有4条公切线 若两圆外切，则有3条公切线 若两圆相交，则有2条公切线 若两圆内切，则有2条公切线 若两圆内含，则无公切线.‎ ‎8．过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合勾股定理可求得AN，即M的纵坐标，代入抛物线方程求得M的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 记准线与轴的交点为，因为，，‎ 所以，即M的纵坐标为8或-8，‎ 则，故 .‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，‎ 得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,‎ 由余弦定理得 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.‎ ‎10．我国古代《九章算术）将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图与侧视图为全等的等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）‎ A．72 B． C． D．104‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 ‎【详解】‎ 三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：‎ 几何体的表面积为：‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查根据三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 ‎【详解】‎ 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为：‎ 所以、‎ 所以 由可知，‎ 所以 所以 又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得：‎ 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化.‎ ‎12．在棱长为1的正四面体中, 是上一点, ,过作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作图可分析，设过作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆，则必垂直于该截面，设小圆的半径为，‎ 则必有，进而求解即可 ‎【详解】‎ 根据已知条件，作图如下：‎ 在棱长为1的正四面体中，‎ 从图中可见，该正四面体在棱长为的正方体内，‎ ‎，，，设为中点，‎ ‎，在中，，‎ 设过作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆，‎ 则必垂直于该截面，设小圆的半径为，‎ 则必有 则所得截面面积的最小值为 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何的截面问题，解答的难点在于把截面面积最小的情况转化为所截的圆面问题，进而列式，属于难题 二、填空题 ‎13．无论m取何值，直线恒过定点________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将方程变形为即可 ‎【详解】‎ 因为 所以 所以当时，此方程对任意的m都成立，解得 所以直线恒过定点 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是直线过定点问题，属于较简单题.‎ ‎14．在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 故对角线的长为 ‎15．已知抛物线，直线过点，且与抛物线C交于M，N两点，若线段的中点恰好为点P，则直线的斜率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出M，N两点的坐标，利用点差法求出直线的斜率即可 ‎【详解】‎ 设 因为点M，N在抛物线上，所以有 将两式作差可得 所以 因为，‎ 所以 因为线段的中点恰好为点 所以 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 点差法是求解圆锥曲线中中点弦问题的常用方法，本题也可用点斜式设出直线l的方程，然后和抛物线的方程联立消元用韦达定理解决.‎ ‎16．已知为椭圆的右焦点，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作圆的切线，切点为，若恒成立，则椭圆离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意设切线长， ‎ ‎∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a﹣c， ， 从而得到 ‎ 故离心率e的取值范围是；‎ 故答案为．‎ 点睛:这个题目考查了椭圆离心率的求法；主要是通过构造关于a，b，c的方程或者不等式来求解离心率的值或者范围；通常通过椭圆定义，焦半径的范围，点在椭圆上，图形的几何特点，比如中位线等来构造方程或不等式．‎ 三、解答题 ‎17．已知；，且p是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先分别解出不等式和，p是q的充分不必要条件等价于不等式的解集是不等式解集的真子集.‎ ‎【详解】‎ 由p得：‎ ‎∵，由q得：‎ ‎∵p是q的充分不必要条件 则（等号不同时成立），解得 所以实数m的取值范围为 ‎【点睛】‎ 记命题p，q对应的集合分别为A，B. 若，则p是q的充分不必要条件；若，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件.‎ ‎18．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点.‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程.‎ ‎（2）已知点，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值88，最小值72‎ ‎【解析】(1)设点M的坐标为，则点A的坐标为，带入方程化简即可，要注意 ‎(2)设点M的坐标为，将表示出来即可 ‎【详解】‎ ‎（1）设点M的坐标为，则点A的坐标为 因为点A在圆，代入圆的方程得，‎ 化简得.‎ 即动点M的轨迹方程为.（也可用定义法）‎ ‎（2）设点M的坐标为，则 因为，‎ 所以当时，取最大值88；‎ 当时，取最小值72‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是确定坐标之间的关系．‎ ‎19．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面BEC．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；‎ ‎（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点 ‎∴MN∥CD，且MN＝CD，由已知AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，∴MN∥AB，且MN＝AB ‎∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，‎ ‎∴BM∥平面ADEF.‎ ‎（2）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面平面，且平面平面，且ED⊂平面ADEF，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2，‎ 在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面BDE，‎ 又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC ‎【点睛】‎ 本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎20．已知平面上动点P到定点的距离比P到直线的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线恒过点F.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】(1)先分析出点P在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可 ‎(2)设出直线的方程和A、B两点坐标，联立方程求出的范围和A、B两点纵坐标之和和积，写出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不难发现，点P在直线的右侧，‎ ‎∴P到的距离等于P到直线的距离.‎ ‎∴P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，‎ ‎∴曲线C的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立，得，，解得或.‎ ‎∴，.‎ 又点A关于x轴的对称点为D，‎ 则直线的方程为 即 令，得.‎ ‎∴直线恒过定点，而点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点问题的常见方法.‎ ‎21．如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为60°，求的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】(1)以的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出和的坐标，证明即可；‎ ‎(2)算出平面的一个法向量，利用二面角的大小为60°求出C的坐标即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.‎ 由题意知 设点C的坐标为，‎ 因为，‎ 所以 因为点M为的中点，故 又点P为的中点，故 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）解：设为平面的一个法向量 由，‎ 知 取，得.‎ 又平面的一个法向量为，于是 即.①‎ 又，所以，‎ 故 即.②‎ 联立①②，解得（舍去）或.‎ 所以.‎ 又是锐角，所以.‎ ‎【点睛】‎ 用空间向量的知识能够很好的解决立体几何中平行、垂直和线线角、线面角、面面角等问题，只是对计算能力要求较高.‎ ‎22．已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求 的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，的最大值为 ‎【解析】(1)将化简可得出是等腰直角三角形，然后可得出点坐标，带入椭圆方程即可求出 ‎(2)首先由的平分线总是垂直于x轴可得出，然后设出的直线方程，联立消元可求出和，然后可算出，进而可表示出并求出的最大值，也就可以得出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴是等腰直角三角形，‎ ‎∵，，‎ 而点C在椭圆上，∴，∴，‎ ‎∴所求椭圆方程为.‎ ‎（2）对于椭圆上两点P，Q，‎ ‎∵的平分线总是垂直于x轴，‎ ‎∴与所在直线关于对称，‎ ‎，则，‎ ‎∵，∴的直线方程为，①‎ 的直线方程为，②‎ 将①代入，得，③‎ ‎∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，‎ ‎∴，‎ 以替换k，得到.‎ ‎∴，‎ ‎∵，弦过椭圆的中心O，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴存实数，使得，‎ ‎，‎ 当时，即时取等号，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是椭圆的综合问题，属于难题，准确的将题目当中的条件进行转化是解题的关键，同时对计算能力要求也较高.‎