【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、复数学案

【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、复数学案

二　推理与证明、复数 ‎1.推理 ‎2.证明 ‎（1）直接证明 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →→→…‎ ‎→ →→→…‎ ‎→ 文字 语言 因为……所以……‎ 或由……得……‎ 要证……只需证……‎ 即证……‎ ‎（2）间接证明 反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.‎ ‎3.复数 ‎（1）复数的概念 形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.‎ ‎（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.‎ ‎（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）.‎ ‎（4）复数的模 向量的模r（r≥0，r∈R）叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎（5）复数运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则 ‎①加法：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；‎ ‎②减法：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；‎ ‎③乘法：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；‎ ‎④除法：＝＝ ‎＝＋i（c＋di≠0）.‎ ‎1.演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.‎ ‎2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立.‎ ‎3.利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.‎ ‎4.z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.‎ 主题1　合情推理的应用 ‎　 　　　　　　　　　　　　‎ ‎　（1）观察下列结论：|x|＋|y|＝1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解（x，y）的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解（x，y）的个数为（　　）‎ A.76 B.80‎ C.86 D.92‎ ‎（2）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V＝kd3（k>0）.与此类似，我们可以得到：‎ ‎①正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V＝ma3（m>0）；‎ ‎②正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V＝na3（n>0）；‎ ‎③正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V＝ta3（t>0）.‎ 那么m∶n∶t＝（　　）‎ A.1∶6∶4 B.∶12∶16‎ C.∶1∶ D.∶6∶4 ‎【解析】　（1）由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.‎ ‎（2）正四面体的体积V＝×a2×a＝a3，正方体的体积V＝a3，正八面体的体积V＝2×a2×a＝a3，所以m∶n∶t＝1∶6∶4.‎ ‎【答案】　（1）B　（2）A ‎（1）归纳推理的特点及一般步骤 ‎（2）类比推理的特点及一般步骤 ‎　 ‎ ‎　1.观察下列一组等式 ‎1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）‎ ‎1×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）‎ ‎1×2×3＋2×3×4＋…＋n（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）·（n＋2）（n＋3）.‎ 猜想：1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n（n＋1）（n＋2）·（n＋3）＝　　　　　　　　　　‎ Ｗ.‎ 解析：归纳可得此式是与n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）的积.‎ 答案：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）‎ ‎2.已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b（m≠n，m，n∈N*），则am＋n＝.现已知数列{bn}（bn>0，n∈N*）为等比数列，且bm＝a，bn＝b（m≠n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm＋n＝　　　　.‎ 解析：在等差数列{an}中，设公差为d，‎ 则所以am＋n＝.‎ 在等比数列{bn}中，设公比为q，‎ 则 所以bm＋n＝.‎ 答案： 主题2　直接证明与间接证明 ‎　设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明.‎ ‎【证明】　法一：（综合法）‎ 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，‎ 所以1＝a＋b≥2.‎ 所以≤，ab≤，‎ 所以≥4.‎ 又＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4，‎ 所以＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）.‎ 法二：（分析法）‎ 因为a>0，b>0，a＋b＝1，‎ 要证＋＋≥8，‎ 只要证＋≥8，‎ 只要证＋≥8，‎ 即证＋≥4.‎ 也就是证＋≥4.‎ 即证＋≥2，‎ 由基本不等式可知，‎ 当a>0，b>0时，＋≥2成立，‎ 所以原不等式成立.‎ ‎（1）综合法和分析法的特点 ‎①综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式；‎ ‎②分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.‎ ‎（2）反证法的证明思路 反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中必须出现矛盾，反证法反映了“正难则反”的证题思想.它与利用逆否命题的等价性证明原命题不同，利用逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价的，若证明“綈q⇒綈p”为真即可推得“p⇒q”为真证明过程不出现矛盾.　 ‎ ‎　用分析法证明2cos（α－β）－＝.‎ 证明：要证原等式成立，只需证：‎ ‎2cos（α－β）sin α－sin（2α－β）＝sin β.①‎ 因为①式左边＝2cos（α－β）sin α－sin[（α－β）＋α]‎ ‎＝2cos（α－β）sin α－sin（α－β）cos α－cos（α－β）sin α ‎＝cos（α－β）sin α－sin（α－β）cos α ‎＝sin β＝右边，‎ 所以①式成立，‎ 即原等式成立.‎ 主题3　数学归纳法 ‎　设a>0，f（x）＝，令a1＝1，an＋1＝f（an），n∈N*.‎ ‎（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【解】　（1）因为a1＝1，所以a2＝f（a1）＝f（1）＝，a3＝f（a2）＝，a4＝f（a3）＝.‎ 猜想an＝（n∈N*）.‎ ‎（2）证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想正确.‎ ‎②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时猜想正确，‎ 即ak＝，‎ 则ak＋1＝f（ak）＝＝＝＝，‎ 所以n＝k＋1时猜想正确.‎ 由①②，知对于任何n∈N*，都有an＝.‎ ‎（1）用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少.‎ ‎（2）由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，‎ 即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.　 ‎ ‎　用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·（n－1）＋3·（n－2）＋…＋（n－2）·3＋（n－1）·2＋n·1＝n（n＋1）（n＋2）.‎ 证明：（1）当n＝1时，1＝·1·2·3，结论成立.‎ ‎（2）假设n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立，‎ 即1·k＋2· （k－1）＋3·（k－2）＋…＋（k－2）·3＋（k－1）·2＋k·1＝k（k＋1）（k＋2）.‎ 当n＝k＋1时，则1·（k＋1）＋2·k＋3·（k－1）＋…＋（k－1）·3＋k·2＋（k＋1）·1‎ ‎＝1·k＋2·（k－1）＋…＋（k－1）·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋（k＋1）]‎ ‎＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）（k＋2）‎ ‎＝（k＋1）（k＋2）（k＋3），‎ 即当n＝k＋1时结论也成立.‎ 综上所述，可知结论对一切n∈N*都成立.‎ 主题4　复数 ‎　（1）已知＝1＋i（i为虚数单位），则复数z＝（　　）‎ A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i ‎（2）是z的共轭复数，若z＋＝2，（z－）i＝2（i为虚数单位），则z＝（　　）‎ A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i ‎【解析】　（1）由＝1＋i，‎ 得z＝＝ ‎＝＝－1－i，故选B.‎ ‎（2）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.由z＋＝2，可得a＝1.由（z－）i＝2，得b＝－1，所以z＝1－i.‎ ‎【答案】　（1）B　（2）D 利用复数的四则运算求复数的一般思路 ‎（1）复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算.‎ ‎（2）复数的除法运算：主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.　 ‎ ‎　1.已知i是虚数单位，若（m＋i）2＝3－4i，则实数m的值为（　　）‎ A.－2 B.±2‎ C.± D.2‎ 解析：选A.（m＋i）2＝（m2－1）＋2mi＝3－4i，由复数相等得解得m＝－2，故选A.‎ ‎2.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的（　　）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.z＝＝－a＝－a－3i在复平面内对应的点在第三象限，则a>0，可以判断“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件.‎ ‎3.定义运算＝ad－bc，若复数x＝，y＝，则y＝　　　　.‎ 解析：依题意，y＝4i（x＋i）－2xi ‎＝4i2＋2xi＝－4＋ ‎＝－4＋＝－4＋2＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎ [A　基础达标]‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（　　）‎ A.2 B.－ C. D.－ 解析：选A.因为＝＝是纯虚数，所以a＝2.‎ ‎2.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝在复平面内对应的点位于（　　）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D.因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝＝＝＝－i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.‎ ‎3.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2 018次操作后得到的数是（　　）‎ A.25 B.250‎ C.55 D.133‎ 解析：选C.由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，……，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，故选C.‎ ‎4.已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明：‎ ‎（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；‎ ‎（2）假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立.‎ 由（1）（2），知对任意的正整数n等式都成立.‎ 则以下说法正确的是（　　）‎ A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确 解析：选B.命题正确，但证明n＝k＋1时没有用到假设的结论，故推理不正确.‎ ‎5.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：‎ ‎①（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≠0；‎ ‎②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；‎ ‎③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.‎ 其中判断正确的个数为（　　）‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析：选B.若（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.‎ ‎6.已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝　　　　.‎ 解析：由－＝－＝－＝，由已知得＝，则m＝.‎ 答案： ‎7.在平面几何中：△ABC中∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图），DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是　　　　Ｗ.‎ 解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.‎ 答案：＝ ‎8.观察下列等式：‎ S1＝n2＋n，‎ S2＝n3＋n2＋n，‎ S3＝n4＋n3＋n2，‎ S4＝n5＋n4＋n3－n，‎ S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，‎ ‎…‎ 可以推测，A－B＝　　　　.‎ 解析：由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推测A＝.又Sk的各项系数的和为1，所以A＋＋ ‎＋B＝1，所以B＝－.故A－B＝＋＝.‎ 答案： ‎9.已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.‎ 证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，‎ 即证（x＋y）2≤（1＋xy）2，‎ 即证x2＋y2≤1＋x2y2，‎ 即证（x2－1）（1－y2）≤0，‎ 因为|x|≤1，|y|≤1，‎ 所以x2－1≤0，1－y2≥0，‎ 所以（x2－1）（1－y2）≤0，不等式得证.‎ ‎10.设f（x）＝，g（x）＝（其中a>0，且a≠1）.‎ ‎（1）5＝2＋3，请你推测g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）来表示；‎ ‎（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.‎ 解：（1）由f（3）g（2）＋g（3）f（2）＝·＋·＝，‎ 又g（5）＝，‎ 因此g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）.‎ ‎（2）由g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2），‎ 即g（2＋3）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2），‎ 于是推测g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）.‎ 证明：因为f（x）＝，‎ g（x）＝（大前提）.‎ 所以g（x＋y）＝，‎ g（y）＝，f（y）＝，‎ ‎（小前提及结论）‎ 所以f（x）g（y）＋g（x）f（y）‎ ‎＝·＋· ‎＝ ‎＝g（x＋y）.故推测正确.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内的给定区间[a，b]上存在x0（a

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