江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2020届高三下学期4月联考数学试题 Word版含解析

江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2020届高三下学期4月联考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学 ‎2020届高三下学期四校4月联考数学试题 一、填空题 ‎1. 已知集合，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集定义直接得到结果.‎ ‎【详解】由交集定义知：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2. 已知复数满足（为虚数单位），则的实部为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的模长和除法运算可求得，根据实部定义得到结果.‎ ‎【详解】，，‎ 的实部为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数实部的求解，涉及到复数的模长运算和除法运算，属于基础题.‎ ‎3. 若一组样本数据的平均数为，则该组数据的方差为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 利用平均数构造方程求得，根据方差的运算公式可计算得到结果.‎ ‎【详解】，，‎ 方差.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数据的平均数和方差的运算，属于基础题.‎ ‎4. 根据如图所示伪代码，最后输出的的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照伪代码运行程序，直到满足时输出即可.‎ ‎【详解】按照伪代码运行程序，输入，，‎ 则，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，满足，输出.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎5. 从名男同学和名女同学中选人参加某项活动，则至少有名女同学被选中的概率为______．‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合数可求得所有基本事件和人中没有女同学的基本事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】从名同学中选人共有：种选法；‎ 选择的人中没有女同学的情况有种，至少有名女同学的概率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率问题求解，涉及到对立事件概率公式的应用，属于基础题.‎ ‎6. 双曲线的准线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程可确定和焦点所在轴，由准线方程的形式可得结果.‎ ‎【详解】由双曲线方程知：，，焦点位于轴上，准线方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线准线方程的求解问题，关键是能够根据双曲线方程确定的值及焦点所在轴，属于基础题.‎ ‎7. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项定义和等差数列通项公式可构造方程求得，代入等差数列求和公式可求得结果.‎ ‎【详解】是与的等比中项，，即，解得：，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的求解问题，涉及到等差数列通项公式和等比中项的应用，属于基础题.‎ ‎8. 已知函数，若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在区间内有极值可知在上有变号零点，利用二次函数的图象和性质可构造不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，‎ 若函数在区间上存在极值，则在上有变号零点，‎ 或，解得：，‎ 即实数的取值范围为.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为二次函数在区间内有变号零点的问题，从而利用二次函数的图象和性质确定不等关系.‎ ‎9. 给出下列命题：‎ ‎①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，真命题是________．(填序号)‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；‎ 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；‎ 根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；‎ 根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，‎ 故真命题有①、③、④三个.‎ ‎10. 已知函数的图象过点，且在区间上单调递减，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据可求得；利用整体代入的方式可确定的范围，根据余弦函数的单调区间可确定最大值的位置，进而构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，，又，；‎ 当时，，‎ 在上单调递减，，解得：，‎ 的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据余弦型函数的单调性求解参数最值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合余弦函数的单调区间确定角整体的最大取值.‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，直线分别切圆于两点，则线段长的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用点到直线距离公式可知，将长表示为关于的函数，求得函数值域即为所求范围.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程知：圆心，半径，‎ - 26 -‎ 设，则，‎ 为圆的切线，，，，‎ 是的垂直平分线，，‎ ‎，，，即线段长的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.‎ ‎12. 已知正实数满足，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式变形为，利用基本不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】，‎ ‎（当且仅当，即时取等号），‎ ‎，即的最小值为.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.‎ ‎13. 如图，在梯形中，且，为的中点，与交于点．若，则的余弦值为______．‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，且，连接，根据平行四边形性质和平行线分线段成比例的关系可求得，，设，，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得，由平面向量数量积的定义可求得结果.‎ ‎【详解】取中点，连接，且，连接，‎ ‎，为中点，，又，‎ 四边形为平行四边形，为中点，即，‎ 又为中点，且，，‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ 又，，即，‎ ‎，‎ - 26 -‎ 不妨设，，‎ 由得：，即，‎ ‎，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简已知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定与长度的比例关系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.‎ ‎14. 已知周期为的函数满足，当时，，则当时（为自然对数的底数），关于的不等式在区间上的整数解的个数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数满足的关系式和周期可知关于、对称，结合导数可求得在上的单调性，并得到的值及函数的图象；由的范围可将不等式化为，可确定在的整数解个数，结合周期性和对称性可得上的其他整数解，进而得到结果.‎ ‎【详解】由得：关于对称，‎ 又是周期为的周期函数，关于对称，‎ 当时，，‎ 当时，；当时，；‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，且，，，‎ - 26 -‎ ‎，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ 当时，，等价于，‎ 当时，整数解为：和；‎ 当时，整数解为：、、、和；‎ 综上所述：不等式在区间上的整数解的个数为个.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数.‎ 二、解答题 ‎15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求证：平面平面．‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于，连接，由菱形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）连接，由菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一和线面垂直判定可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论.‎ ‎【详解】（1）连接交于，连接，‎ 四边形为菱形，为中点，又为中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）连接，‎ ‎，为中点，，‎ 四边形为菱形，，‎ 平面，，平面，‎ 又平面，平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的线面平行、面面垂直位置关系的证明，涉及到线面平行和垂直的判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.‎ - 26 -‎ ‎16. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若且，求的单调增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由任意角三角函数定义可求得，由两角和差正弦公式可求得结果；‎ ‎（2）由任意角三角函数定义可求得，由两角和差正弦公式和辅助角公式化简函数为，利用整体对应的方式，结合余弦函数单调区间可求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ ‎；‎ ‎（2）当时，，，‎ ‎，‎ 令，解得：，‎ 的单调增区间为，.‎ ‎【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、两角和差正弦公式和辅助角的应用、余弦型函数单调区间的求解问题，是对三角函数和三角恒等变换部分知识的综合考查.‎ - 26 -‎ ‎17. 如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处．‎ ‎（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离；‎ ‎（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？‎ ‎【答案】（1）；（2）小时．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中求得后，在中利用余弦定理可求得结果；‎ ‎（2）设甲乙出发后的时间为小时，在中，利用余弦定理可用表示出，解可求得结果.‎ ‎【详解】（1）在中，，，则，，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ ‎；‎ ‎（2）设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为，乙在线段上的位置为，则，，且，‎ - 26 -‎ 由（1）知：，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 即，‎ 若甲乙不能通话，则，即，解得：或，‎ 又，，‎ 两人不能通话的时间为小时.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎18. 在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，且直线与以原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若椭圆左右顶点分别，过点作直线与椭圆交于两点，且位于第一象限，在线段上．‎ ‎①若和的面积分别为，问是否存在这样的直线使得？请说明理由；‎ ‎②直线与直线交于点，连结，记直线的斜率分别为，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线，理由详见解析；②详见解析．‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直线与圆相切可构造方程求得；‎ ‎（2）由（1）得到椭圆方程和坐标；‎ ‎①将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据位于第一象限可构造不等式组求得的范围；利用可构造方程求得，可知所求不满足所求范围，知直线不存在；‎ ‎②利用三点共线和三点共线可利用表示出，同韦达定理一起代入，整理可得定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知：直线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离，；‎ ‎（2）由（1）知：椭圆方程为，则，，‎ ‎①易知直线的斜率不为零，设直线，，，‎ 则将直线与椭圆联立整理得：，‎ ‎，解得：；‎ ‎，即，解得：或，‎ 这与不符，所以不存在满足条件的直线；‎ ‎②设，由三点共线知：，‎ 由三点共线知：，，，‎ - 26 -‎ ‎，‎ 由①知：，‎ ‎，则为定值.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中三角形面积问题、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够结合韦达定理，利用某一变量表示出，通过化简消元整理得到定值.‎ ‎19. 已知数列的前项和为，（为常数）对于任意的恒成立．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）证明：数列是等差数列；‎ ‎（3）若，关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入已知等式即可求得结果；‎ ‎（2）利用可得到递推关系，将换成后两式作差可得到，从而证得结论；‎ ‎（3）将不等式化为，令，则不等式的正整数解只有两个，通过分析可知除以外只能有个符合要求；当 - 26 -‎ 时，通过导数可求得，分别讨论、和时的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，，解得：；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎，，‎ ‎，则，‎ ‎，又，，，‎ ‎∴对任意，成立，数列是等差数列；‎ ‎（3）由（2）可知：，即，‎ 即，，‎ 令，题目条件转化为满足不等式的正整数解只有两个，‎ 若符合，则，即；若符合，则，；‎ 若符合，则为任意实数，即除以外只能有个符合要求.‎ 当，时，，解得：，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，恒成立，在上单调递增，‎ ‎，，‎ - 26 -‎ 当时，至少存在、、满足不等式，不符合要求；‎ 当时，对于任意，都不满足不等式，也不满足，‎ 此时只有、满足；‎ 当时，只有符合；‎ 故，即，解得：或；‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题.‎ ‎20. 已知函数（，且为常数）．‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线的斜率为（为自然对数的底数），求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（3）已知，且．求证：．‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数几何意义知，由此构造方程求得结果；‎ ‎（2）将问题转化为且恒成立的问题，令，分别在、和或时，结合函数单调性确定最小值，令 - 26 -‎ ‎，从而求得的取值范围；‎ ‎（3）根据（2）的结论可知在上单调递增，分类讨论可确定，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 的图象在处的切线的斜率为，，‎ ‎，解得：，‎ ‎，或；‎ ‎（2）函数在上单调递增，对于任意的，都有恒成立 即且，‎ 当，恒成立，满足题意；‎ 当时，由得：，即或或，‎ 令，则，‎ ‎①当且时，，在上单调递减，‎ 要使得恒成立，即要求，‎ 即，解得：，满足题意；‎ ‎②当或，且时，，在上单调递增，‎ 要使得恒成立，即要求，‎ 即，解得：；‎ 或 - 26 -‎ 综上所述：的取值范围是；‎ ‎（3）由（2）可知：当时，函数在上单调递增，此时，‎ 当时，，而，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 当时，，而，‎ ‎，即，‎ 综上，对于任意，都有，‎ ‎，结论得证.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将进行放缩，属于难题.‎ ‎21. 曲线在矩阵对应的变换下得到曲线．‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）求矩阵的特征向量．‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）；（2）和．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对应关系可得到，代入椭圆方程整理，结合圆的方程可构造方程组求得，从而求得结果；‎ ‎（2）由可求得或，分别在或两种情况下求得特征向量.‎ ‎【详解】（1）设曲线上的任意一点在矩阵的对应变换作用下得到的点为，‎ 则，，，，‎ 又，，，；‎ ‎（2）由得：或；‎ 当时，由得对应的特征向量为；‎ 当时，由得对应的特征向量为；‎ 综上所述：矩阵的特征向量为和.‎ ‎【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程：（‎ - 26 -‎ 为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求圆上的点到直线的距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为．圆的普通方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程化普通方程方法、极坐标与直角坐标的互化原则可直接化简得到结果；‎ ‎（2）设曲线上任一点，利用点到直线距离公式可将问题转化为三角函数值域的求解问题，由正弦型函数性质可确定时，最小，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程消去参数得普通方程为：；‎ 由得：，，‎ 圆的普通方程为；‎ ‎（2）在圆上任取一点，‎ 则到直线的距离为 当时，，此时．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、利用参数方程求解曲线上的点到直线距离的最值问题；求解最值问题的关键是能够利用圆的参数方程将问题转化为三角函数值域的求解问题.‎ ‎23. 已知为正实数，满足，求的最小值．‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式可知，由此求得结果.‎ ‎【详解】均为正实数，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 又，，即的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.‎ ‎24. 五个自然数、、、、按照一定的顺序排成一列．‎ ‎（1）求和不相邻的概率；‎ ‎（2）定义：若两个数的和为且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求的概率分布和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列详见解析，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用插空法可求得和不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；‎ ‎（2）确定所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.‎ ‎【详解】（1）记“和不相邻”为事件，则；‎ ‎（2）的所有可能取值为，‎ - 26 -‎ ‎，，，‎ 的分布列如下：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求得每个取值对应的概率.‎ ‎25. 已知，数列中的每一项均在集合中，且任意两项不相等，又对于任意的整数，均有．例如时，数列为或．‎ ‎（1）当时，试求满足条件的数列的个数；‎ ‎（2）当，求所有满足条件的数列的个数．‎ ‎【答案】（1）4；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别假设，和，根据已知关系式可求得，从而得到结果；‎ ‎（2）①当时，可确定满足条件的数列只有个；②当时，可知以后的各项是唯一确定的，根据之前的满足条件的数列的个数为可整理得到，由等比数列通项公式可求得，由此可确定结果.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）若，则，故，则；‎ 若，则，，故，则；‎ 若，则，或，；‎ 当时，满足条件的数列为；；；；‎ 故满足条件的的个数为；‎ ‎（2）设满足条件的数列的个数为，显然，，，‎ 不等式中取，则有，即，‎ ‎①当时，则，同理，，，满足条件的数列只有个；‎ ‎②当，则，同理，，，即以后各项是唯一确定的，又之前的满足条件的数列的个数为，‎ 当时，（*），‎ 当时，，代入（*）式得到，且满足，‎ 对任意，都有成立，又，；‎ 综上，满足条件的数列的个数为．‎ ‎【点睛】本题考查了数列中的新定义运算的问题，关键是能够通过分类讨论的方式确定所求数列个数所构成的数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得结果.‎ ‎ ‎ - 26 -‎ - 26 -‎