【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版1-3不等式的性质及一元二次不等式学案

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【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版1-3不等式的性质及一元二次不等式学案

第三节　不等式的性质及一元二次不等式 突破点一　不等式的性质 [基本知识] 1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法Error! (2)作商法Error! 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c ⇔ Error!⇒ac>bc 可乘性 Error!⇒acb＋d ⇒ 同向同正可乘性 Error!⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 可开方性 a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2) a，b 同为正数 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1 a<1 b.②a<0b>0,0b d.④0b>0，m>0，则①b ab－m a－m(b－m>0)．②a b>a＋m b＋m；a b0)． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若 1 a< 1 b<0，则 1 a + b< 1 ab. (　　) (2)若a c>b c，则 a>b.(　　) (3)若 a>b，c>d，则 ac>bd.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 二、填空题 1．若 aa>ab，则实数 b 的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) [典例感悟] 1．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N　　　　　　　　 B．M≥N C．M0，所以 M>N，故选 A. 2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒1 a<1 b；③a>b>0， c>d>0⇒a d>b c；④a>b>1，c<0⇒ac0>b 时，②不正确． 由于 c>d>0，所以1 d>1 c>0， 又 a>b>0，所以a d>b c>0，③正确． 由于 a>b>1，当 x<0 时，axx2} Error! R 一元二次不等式 ax2＋bx ＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件 (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔Error!或Error! (2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔Error!或Error! [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.(　　) (2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax 2＋bx＋c>0 的解集为空 集．(　　) (3)若不等式 ax2＋bx＋c≥0 对 x∈R 恒成立，则其判别式 Δ≤0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 二、填空题 1．不等式 1 x－1≥－1 的解集是________________． 解析：原不等式可化为 x x－1≥0， 即 x(x－1)≥0，且 x－1≠0，解得 x>1 或 x≤0. 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞) 2．设 a<－1，则关于 x 的不等式 a(x－a)(x－1 a )<0 的解集是________________． 答案：(－∞，a)∪(1 a，＋∞) 3．不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是(－1 2，1 3)，则 a＋b 的值是________． 答案：－14 4．若不等式 ax2－ax＋1<0 的解集为∅，则实数 a 的取值范围为________． 答案：[0,4] [全析考法] 考法一　一元二次不等式的解法　 解一元二次不等式的方法和步骤 [例 1]　(1)(2019·深圳月考)已知函数 f(x)＝Error!若 f(2－a 2)>f(a)，则实数 a 的取值范 围是(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)　　 B．(－1,1) C．(－2,1) D．(－1,2) (2)(2019·六安阶段性考试)已知常数 a∈R，解关于 x 的不等式 12x2－ax>a2. [解析]　(1)选 C　∵f(x)＝Error! ∴函数 f(x)是奇函数，且在 R 上单调递增， ∴f(2－a2)>f(a)等价于 2－a2>a，即 a2＋a－2<0， 解得－2a2， ∴12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a 4，x2＝a 3. ①当 a>0 时，－a 40，解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a 4>a 3，解集为Error!. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为Error!； 当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； 当 a<0 时，不等式的解集为Error!. [方法技巧] 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一 次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系， 从而确定解集形式．　　　　 考法二　由一元二次不等式恒成立求参数范围　 考向一　在实数集 R 上恒成立 [例 2]　(2019·大庆期中)对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0 恒成立，则 实数 a 的取值范围是________． [解析]　当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立； 当 a－2≠0 时，则有Error!解得－2
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