2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期开学考试数学试题 解析版
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吉林省长春外国语学校 2018-2019 学年高二下学期开学考试
数学试题
评卷人 得分
一、单选题
1 ． 设 集 合 1,2,4A ， 2| 4 0 B x x x m ． 若 1A B ， 则 B
( )
A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5
【答案】C
【解析】∵ 集合 1 2 4A ，， ， 2{ | 4 0}B x x x m ， 1A B
∴ 1x 是方程 2 4 0x x m 的解，即1 4 0m
∴ 3m
∴ 2 2{ | 4 0} { | 4 3 0} 13B x x x m x x x ， ，故选 C
2．计算 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数运算法则求解。
【详解】
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，属于基础题。
3．若 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数的单调性直接判断。
【详解】
因为 在 上递增，
又 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性应用，属于基础题。
4．函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得 ，解不等式可得实数 a 的取值范围．
【详解】
由条件可知 ，即 a(a－3)<0，
解得 0
0,函数 y=sin( x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小
值是
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
函数 的图象向右平移 个单位后
所以有
故选 C
12．设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时, ,
则使得 成立的 的取值范围是( )
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 ，判断其单调性及奇偶性，结合 即可判断 的正负，从
而判断 的正负，问题得解。
【详解】
令 ，则当 时， ，
所以 在 上递减，
又 为奇函数，所以 为偶函数，则： 在 上递增，
， ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
综上：使得 成立的 的取值范围是： .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了抽象函数不等式的解法，考查了函数单调性及奇偶性应用，考查分析能
力，属于中档题。
第 II 卷（非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分
二、填空题
13．已知 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，则
_________.
【答案】0
【解析】
【分析】
由 可得 是周期为 4 的函数，把 转化成 求解即可。
【详解】
对任意实数 ，恒有 ，
则 ，
所以 是周期为 4 的函数，所以 ，
又 是定义在 R 上的奇函数，所以 ，
所以
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性应用及奇函数的性质，考查转化能力，属于基础题。
14．若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
试题分析： .
【考点】抛物线的定义．
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线
上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 轴
的距离．
15．将二进制数 化为十进制数，结果为______．
【答案】45
【解析】
试题分析： ．
考点：进制转换．
【易错点睛】本题主要考查了二进制转化成十进制．进制转换是算法初步章节的内容，
虽然在高考中末出现过这个知识点，但在年级考试中时有出现．进位制转换是基于二进
制，七进制，八进制等进制在生活和学习中应用而出现的．它体现了运算法则和方式的
理解，它要求我们能由其它进制转换成十进制，也能由十进制转换成其它进制．
16．函数 在 上的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，将问题转化成函数 的值域来解决。
【详解】
令 ，则 ，
函数 可化为：
由二次函数的性质可得：当 时， ，
当 时， .
所以函数 在 上的值域为 .
【点睛】
本题主要考查了换元法及二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
评卷人 得分
三、解答题
17．已知 ，且 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
【答案】（1）3；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等式即可求得 ，问题得解。
（2）将原式化简为 ，将 代入即可求解。
【详解】
（1） 且
.
（2）
=
= =
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变形及诱导公式、三角恒等式知识，考查转化能力及计算能力，
属于基础题。
18．已知 是定义在 上的偶函数，当 时, .
(1)求 的解析式；
(2)若方程 有 4 个解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)由 是定义在 上的偶函数， 时，利用 即可求解。
(2)作出函数 的图象，由图象即可求解。
【详解】
(1)由已知有：f(－x)=f(x),x∈R，且 x≥0 时，f(x)=x2－x，
设 x＜0，则－x＞0，
f(x)=f(－x)=(－x)2－(－x)=x2+x.
(2)作出函数 f(x)的大致图象：
当方程 f(x)=k 有 4 个解时，由图可知： .
【点睛】
本题主要考查了求函数的解析式及方程的解与函数图象间的关系，考查转化能力，属于
基础题。
19．已知 在同一平面内，且 .
（1）若 ，且 ，求；
（2）若 ，且 ，求 与 的夹角.
【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由 ， 易设 ，又 可得，求出.（2）由
可知 ，展开将 代入可得 与 的夹角.
试题解析：（1）∵ ，∴ ，则 ，
又∵ ，∴ ，∴ 或 . （6 分）
（2）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ . ，
∴ . （12 分）
考点：本题主要考查向量的数量积.两向量垂直，平行的坐标运算.
20．已知椭圆 (a＞b＞0)的一个顶点为 A(0，1)，离心率为 ，过点 B(0，－2)
及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点为 F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长|CD|.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的一个顶点为 A(0，1)即可求得 ，结合离心率为 列方程组即可求解。
(2)设 ， ，求出直线 的方程 ，联立直线与椭圆方程，求得
， ，利用弦长公式即可求解。
【详解】
(1)因为椭圆 (a＞b＞0)的一个顶点为 A(0，1)，
所以 ，又 ，解得： ，
所以椭圆的方程为 .
(2)设 ， ，
椭圆的左焦点 ，所以直线 的方程为： ，即：
联立直线与椭圆方程得： ，整理得： ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质及韦达定理、弦长公式，考查计算能力，属于基础题。
21．已知函数 ， .
(1)求函数 的最小正周期和单调增区间；
(2)若 ，求函数 的最大值和最小值以及取最值时对应的 的值.
【答案】（1）最小正周期为 ，递增区间为 ；（2）当 ， 最
大值为 ；当 ， 最小值为 1.
【解析】
【分析】
(1)由周期公式及正弦函数的单调区间直接求解。
(2)直接利用正弦函数的性质求解。
【详解】
（1） ，
令 ，
解得： ，
所以函数 的增区间为：
（2）由 得 ，
当 ，即 时， 最大值为
当 ，即 时， 最小值为 1.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期公式及三角函数的性质，还考查了三角函数性质的应
用，考查计算能力，属于基础题。
22．已知函数 在 与 时都取得极值.
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求的取值范围
【答案】(1)增区间 ，减区间 ；(2) 或 .
【解析】
【分析】
(1)求出 ，利用函数 在 与 时都取得极值列方程组求
得 ，令 即可求得函数的增区间，问题得解。
(2)将不等式 恒成立转化成 ，利用(1)中的结论，求出
，解不等式即可。
【详解】
(1)因为 ，所以 ，
又已知函数 在 与 时都取得极值，
所以 ，解得： ，
所以 ，令 ，解得： 或 ，
所以函数 的单调增区间为： ，减区间为 .
(2)对 ，不等式 恒成立可转化成 ，
由(1)得： 在 上递增，在 递减，在 上递增，
， ， ，
所以 ，所以 ，解得： 或 .
【点睛】
本题主要考查了导数与极值的关系，考查了方程思想及转化思想，还考查了单数与函数
单调性的关系，考查计算能力，属于基础题。
