福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二上学期期末四校联考数学试题 含答案

福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二上学期期末四校联考数学试题 含答案

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2019-2020 年高二上学期期末考试联考试卷 考试科目：数学 满分：150 考试时间：120 分钟 命题者：李德勇 审核者：张开春 王建清 朱坤城 许建全 一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置. 1．复数 i iz −= 1 的共轭复数是（ ） A． i2 1 2 1 +− B． i2 1 2 1 −− C． i2 1 2 1 + D． i2 1 2 1 − 2.抛物线 28yx=− 的焦点坐标是（ ） A. ( )0, 2− B. ( )2,0− C. 10, 32 − D. 1 ,032 − 3.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百,丙持钱二 百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有 甲带了 480 钱，乙带了 300 钱，丙带了 220 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照 钱的多少按比例出钱”，则乙应出（ ） A. 50 B. 32 C. 31 D.30 4．“ 9k ”是“曲线 193 22 =−+− k y k x 为双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知 axxxf −+= )12ln()( ，且 1)2(' −=f ，则 =a （ ） A． 5 7 B． 5 6 C． 5 3− D． 5 4− 6．已知圆 22: ( 3) 1C x y− + = 与双曲线 22 221( 0, 0)xyE a bab− =  : 的渐近线相切，且圆心C 恰好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是( ) A． B． 12 2 2 =− yx C． 1129 22 =− yx D． 12 2 2 =− yx 7．函数 1() ln 1fx xx= −− 的图象大致是( ) A． B． C． D． 8.设 F 为抛物线 pxy 22 = 的焦点，斜率为 )0( kk 的直线过 F 交抛物线于 A、B 两点，若 ||4|| FBFA = ，则直线 AB 的斜率为（ ） A. 2 1 B. 4 3 C. 1 D. 3 4 9.已知 xaexxf −= 2)( 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A. ]2,( e− B. )2,( e− C. ]2,0( e D. )2,0( e 10．已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆x2 m＋y2＝1(m>1)和双曲线x2 n－y2＝1(n>0)，P 是它们的一个交 点，则△PF1F2 的形状是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 m，n 的变化而变化 11．利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法如下： (1)以 O 为圆心制作一个小的圆； (2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD； (3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧 面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.问：要使所制作的正四棱锥体积最 大，则小圆的半径为（ ） A． 42 5 B． 62 5 C． 82 5 D． 22 12.已知 ABC△ 为等腰直角三角形，其顶点为 ,,A B C ，若圆锥曲线 E 以 ,AB为焦点，并经过顶 点C ，该圆锥曲线 的离心率不．可以是（ ） A. 21− B. 2 2 C. 2 D. 21+ 13 2 2 =− yx 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．命题 :p “ 013, 2 +− xxRx 使 ”,则它的否定 p 为:____________________________. 14．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球， 取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生 1 到 4 之间 取整数值的随机数，且用 1,2,3,4 表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以 每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34 据此估计，直到第二次就停止的概率为____________. 15.已知抛物线 2 4C y x=： 的焦点为 F ，准线为l ，过抛物线C 上的点 A 作准线 的垂线，垂足 为 M ，若 AMF 与 AOF （其中O 为坐标原点）的面积之比为 3：1，则点 的坐标为 _____________________． 16.已知函数 ( ) ( ) ( )Raaxxxxxf −+= 22ln .若存在  3,1x ，使得 ( ) ( )xxfxf ' 成立，则实 数 a 的取值范围是_______________________. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知曲线 C： 3 233 1)( 23 +−−= xxxxf （1）求 )(xf 在点 ))1(,1( fP 处的切线方程； （2）求 )(xf 在 R 上的极值. 18．(本小题满分 12 分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AC 与 BD 相交于点 E，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AD＝1，AB＝ 3， BC＝3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)求二面角 APCD 的余弦值． 19.(本小题满分 12 分)某“双一流 类”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中 随机抽取了 100 人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入 在人民币1.65万元到 2.35万元之间， 根据统计数据分组，得到如下的频率 分布直方图： （1）将同一组数据用该区间的中点值 作代表，求这 100 人月薪收入的样本 平均数 x ； （2）该校在某地区就业的 2018 届本 科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有 两种收费方案： 方案一：设区间  )1.85,2.15= ，月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元，月薪落在区间 内 的每人收取 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3% 收取； 用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费 用？ 20.(本小题满分 12 分)已知正方形的边长为 4, ,EF分别为 ,AD BC 的中点，以 EF 为棱将正方 形 ABCD 折成如图所示的60 的二面角，点 在线段 AB 上． （1）若 M 为 AB 的中点，且直线 MF 与由 EDA ,, 三点所确定平面的交点为G ，试确定点G 的 位置，并证明直线 EMCGD 面// ； （2）是否存在点 M ，使得直线 DE 与平面 EMC 所 成的角为 60 ；若存在，求此时 AB AM 的值，若不存在， 说明理由． 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 22 221xy ab ＋ ＝ （a＞b＞0）的左右焦点分别为 21, FF ，点 B （0， 3 ）为短轴的一个端点， 602 = BOF ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，过右焦点 F2，且斜率为 )0( kk 的直线l 与椭圆 C 相交于 D，E 两点，A 为椭圆的右 顶点，直线 AE，AD 分别交直线 x＝3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k ．试 问 k · k 是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 22.(本小题满分 12 分)已知函数 2 1( ) 2 lnf x x ax x= − − ， aR ． （1）讨论 ()fx的单调性； （2）若 有两个极值点 ( )1 2 1 2,x x x x ，求 ( ) ( )212f x f x− 的最大值． 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2019-2020 年高二上学期期末考试数学联考试卷参考答案 一：选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） BCDAA BBDDB CC 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13. 013, 2 +− xxRx 使 14. 0.3 15 )22,2(  16. ),4 5( + 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析：（1） 32)()( 2' −−= xxxfxf 的导数 ………………1 分 3)1(,4)1(' −=−= ff 又 ， 所以 )(xf 在点 ))1(,1( fP 处的切线方程为 014 =−+ yx （也可写成 14 +−= xy ）…………… 4 分 （2） )3)(1(32)()( 2' −+=−−= xxxxxfxf 的导数 令 0)(' =xf 可得 3,1 21 =−= xx ……………5 分 当 x 变化时， )(),(' xfxf 的变化如下表 )1,( −− -1 )3,1(− 3 ),3( + )(' xf + 0 _ 0 + )(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 ……………8 分 所以 在 =-1 处取得极大值 3 7)1( =−f 在 =3 处取得极小值 3 25)3( −=f ……………10 分 18.解析：(1)∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴BD⊥PA. 又 tan∠ABD＝AD AB＝ 3 3 ，tan∠BAC＝BC AB＝ 3. ………2 分 ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ………………4 分 ∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC. ………………………6 分 (用坐标法各点坐标见（2），条件完整亦给分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，B( 3 ，0,0)，C( ，3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，CD→＝(－ 3，－2,0)，PD→ ＝(0,1，－2)，BD→＝(－ 3，1,0)， 设平面 PCD 的法向量为 n ＝(x，y,1)，则CD→· ＝0，PD→· ＝0， ∴    =+− =+ 02 023 zy yx ，可取 ,4=x 即 )3,32,4( −−=n ………………8 分 由(1)知平面 PAC 的一个法向量为 m ＝BD→＝(－ 3，1,0)，………………10 分 ∴cos〈 ， 〉＝ |||| nm nm    ＝ 8＋4 93 3 ×4 ＝3 93 31 ，………………………………11 分 由题意可知二面角 APCD 为锐二面角， ∴二面角 APCD 的余弦值为3 93 31 .……………………………………………12 分 19.解析：(1)这 100 人月薪收入的样本平均数 x 是 0.02 1.7 0.10 1.8 0.24 1.9 0.31 2x =  +  +  +  0.2 2.1 0.09 2.2 0.04 2.3 2+  +  +  = .………5 分 (2)方案一：月薪落在区间 左侧收活动费用约为( )0.02 0.10 400 50 10000 0.24+    = （万元）； 月薪落在区间 收活动费用约为( )0.24 0.31 0.20 600 50 10000 2.25+ +    = （万元）； 月薪落在区间 右侧收活动费用约为( )0.09 0.04 800 50 10000 0.52+    = （万 元）； 因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01（万元）；………………………9 分 方案二：这 50 人共收活动费用约为50 0.03 3x  = （万元）；………………11 分 故方案一能收到更多的费用. ……………………12 分 20.解析：（1）因为直线 MF  平面 ABFE ， 故点G 在平面 内也在平面 ADE 内， 所以点 在平面 与平面 的交线上（如图所示） ………………………………………………………………2 分 因为 BFAG // ， M 为 AB 的中点，所以 MBFGAM  ， 所以 MFGM = ， BFAG = ，所以点 在 EA 的延长线上，且 2=AG 连结 DF 交 EC 于 N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以 是 的中点…………………4 分 连结 MN ，因为 为 DGF 的中位线，所以 GDMN // ， 又因为 MN  平面 EMC ，所以直线 EMCGD 面// .…………………5 分 （2）由已知可得， EF AE⊥ ， EF DE⊥ ，所以 EF ⊥ 平面 ， 所以 GDEABEF 平面平面 ⊥ ，取 AE 的中点 H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系， 所以 ( 1,0,0)E − ， (0,0, 3)D ， (0,4, 3)C ， ( 1,4,0)F − ，…………………7 分 所以 (1,0, 3)ED = ， (1,4, 3)EC = ， 设 (1, ,0)(0 4)M t t ，则 (2, ,0)EM t= ， 设平面 的法向量 ( , , )m x y z= ，则 200 0 4 3 0 x tym EM m EC x y z  +=== + + =  ， 取 2y =− ，则 xt= ， 8 3 tz −= ，所以 8, 2, 3 tmt −=− ，…………………9 分 DE 与平面 所成的角为60 ，所以 2 2 83 2(8 )243 tt = −++ ， 所以 2 2 3 3 24 19tt = −+ ，所以 2 4 3 0tt− + = ，解得 1t = 或 3t = ，…………………11 分 此时 4 1=AB AM 或 4 3=AB AM 所以存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 。…………………12 分 21.解析：（1）由条件可知 2, 3ab==， 故所求椭圆方程为 134 22 =+ yx .…………………………4分 （2）设过点 2 (1,0)F 的直线l 方程为： )1( −= xky . 由 22 ( 1), 143 y k x xy =− += 可得： 01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk 因为点 2 (1,0)F 在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交，即 0 恒成立. 设点 1 1 2 2( , ), ( , )E x y D x y ， 则 34 124,34 8 2 2 212 2 21 + −=+=+ k kxxk kxx . ……………………………………………6 分 因为直线 AE 的方程为： )2(21 1 −−= xx yy ，直线 AD 的方程为： )2(22 2 −−= xx yy ， 令 3x = ，可得 )2,3( 1 1 −x yM ， )2,3( 2 2 −x yN ，所以点 P 的坐标 12 12 1(3, ( ))2 2 2 yy xx+−− . ……8 分 直线 2PF 的斜率为 12 12 1 ( ) 02 2 2' 31 yy xxk +−−−= − 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 2( ) 4 x y x y y y x x x x + − += − + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 ( ) 41 4 2( ) 4 kx x k x x k x x x x − + += − + + 22 22 22 22 4 12 82 3 41 4 3 4 3 4 12 84 244 3 4 3 kkk k kkk kk kk − −  +++= − −  +++ 3 4k=− ， 所以 为定值 4 3− . …………………………………………………………………12 分 22. 解析：（1） 21 2 2 1( ) 2 2 x axf x x a xx  −+= − + = ， 0x  ，…………………1 分 A B C D E F G N M 第 20 题图 l 令 22 2 1y x ax= − + ， 当 24 8 0a = −  ，即 22a−   时， 0y≥ ，此时 ()fx在 (0, )+ 上单调递增；………2 分 当 2a − 时， 22 2 1 0x ax− + = 有两个负根，此时 在 上单调递增；………3 分 当 2a  时， 有两个正根，分别为 2 1 2 2 aax −−= ， 2 2 2 2 aax +−= ， 此时 在( )10, x ，( )2 ,x + 上单调递增，在( )12,xx 上单调递减．………………………5 分 综上可得: 2a  时， 在 上单调递增， 时， 在 2 20, 2 aa−− ， 2 2 ,2 aa+−+ 上单调递增，在 2222,22 a a a a− − + − 上单调递 减．………………………………………………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）可得 1 2 1 2 1, 2x x a x x+ =  = ， ， 2 112 2 1ax x=+， 2 222 2 1ax x=+， ∵ ， 2 22 a  ，∴ 1 20, 2x ， 2 2 ,2x  +， ∴ ( ) ( ) ( )22 2 1 2 2 2 1 1 12 2 ln 2 2 lnf x f x x ax x x ax x− = − + − − + 22 2 1 2 12 ln 2ln 1x x x x= − + + − + 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 32 ln 2ln 1 ln 1 2ln 22 2 2 2x x x xx x x = − + + − + = − + + + +  …………………8 分 令 2 2tx= ，则 1 2t  13( ) ln 1 2ln 222g t t tt= − + + + + 2 2 2 2 1 3 2 3 1 (2 1)( 1)( ) 1 2 2 2 2 t t t tgt t t t t  − + − − − −= − − + = = ……………………………………10 分 当 1 12 t时， ( ) 0gt  ；当 1t  时， ( ) 0gt  ∴ ()gt 在 1 ,12  上单调递增，在 (1, )+ 单调递减 ∴ max 1 4ln 2( ) (1) 2g t g +== ∴ ( ) ( )212f x f x− 的最大值为 1 4ln 2 2 + ．………………………………………………………12 分