2020届二轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）

2020届二轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）

‎2020届二轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用 学案（全国通用）‎ 高频考点一　平面向量数量积的运算 例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．‎ 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．‎ ·＝||||cosθ，‎ ‎||＝2，||＝，‎ cosθ＝＝，‎ 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.‎ 点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．‎ 所以·的最大值为2＋4＝6.‎ ‎【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)‎ A．20 B.15 C．9 D．6‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案　(1)C　(2)1　1‎ 解析　(1)＝＋，‎ ＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(4－3)‎ ‎＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，‎ 故选C.‎ ‎(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，‎ 方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ ‎【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．‎ ‎【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________.‎ ‎ (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 答案　(1)22　(2)2‎ 解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.‎ ‎(2)由题意知：·＝(＋)·(－)‎ ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝2－·－2＝4－0－2＝2.‎ 高频考点二　用数量积求向量的模、夹角 例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|‎2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π 答案　B 解析　由题意，得|‎2a＋b|2＝4＋‎4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.‎ ‎ 【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A.－8 B.－6‎ C.6 D.8‎ ‎(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.‎ 答案　(1)D　(2)∪ ‎【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；‎ ‎②|a±b|＝＝；‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ ‎(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 答案　(1)A　(2)－2‎ ‎【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；‎ ‎(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．‎ ‎【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)‎ A. B．2‎ C. D．6‎ 答案　(1)　(2)C ‎ ‎ ‎(2)∵·＝－1，‎ ‎∴||·||·cos120°＝－1，‎ 即||·||＝2，‎ ‎∴||2＝|－|2＝2－2·＋2‎ ‎≥2||·||－2·＝6，‎ ‎∴||min＝.‎ 高频考点三　平面向量与三角函数 例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tanx的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，‎ 所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sinx－cosx＝，所以sin＝，‎ 因为0

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