2018届二轮复习 圆锥曲线 教案（全国通用）

2018届二轮复习 圆锥曲线 教案（全国通用）

春季课程: 圆锥曲线 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟）‎ ‎120‎ 知识点 椭圆的定义、标准方程与几何性质,涉及的考点包括：(1)椭圆的定义、标准方程与几何性质；(2)双曲线的定义、标准方程与几何性质；(3)抛物线的定义、标准方程与几何性质；(4)曲线与方程(轨迹问题)． ‎ 教学目标 以椭圆的定义、标准方程与几何性质为突破口,通过类比与对比的方法把握双曲线与抛物线．从思想方法的高度把握圆锥曲线问题． ‎ 教学重点 ‎ 椭圆的定义、标准方程与几何性质. 数形结合思想的应用.尤其注重韦达定理在大题中的运用.‎ 教学难点 综合运用数形结合法、分类讨论法和函数与方程思想(解方程与根与系数的关系)解决问题是本专题的难点．‎ 教学过程 一、考纲解读 通常设置一个小题与一个大题,约占20分．其规律是涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质一个小题,直线、圆与圆锥曲线(特别是椭圆)的综合问题一个大题．在解答题中,以“交汇型问题”、“参数问题”和“轨迹问题”为主要题型,需要重视与加强．‎ 复习中,要以椭圆的定义、标准方程与几何性质为突破口,通过类比与对比的方法把握双曲线与抛物线．从思想方法的高度把握圆锥曲线问题．其涉及的主要思想方法有：(1)待定系数法；(2)数形结合法；(3)分类讨论法；(4)函数与方程思想．‎ 二、复习预习 圆锥曲线与方程 ‎　　① 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.‎ ‎　　② 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.‎ ‎　　③ 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.‎ ‎　　④ 理解数形结合的思想.‎ ‎　　⑤ 了解圆锥曲线的简单应用.‎ 三、知识讲解 考点1 椭圆 椭圆的定义、几何图形、标准方程 椭圆简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、通径）.‎ ‎　　‎ 考点2 双曲线 双曲线的定义、几何图形、标准方程 双曲线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线、通径）‎ ‎　　‎ 考点3 抛物线 抛物线的定义、几何图形、标准方程 抛物线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径公式）‎ 考点4 直线与圆锥曲线位置关系 ‎1.解答题中侧重用代数方法解题，考查直线与圆锥曲线的位置关系(解答题中直线与双曲线位置关系几乎不考),有关轨迹问题、最值问题、参数范围问题、定值问题等.‎ ‎2.韦达定理在解决直线与圆锥曲线的位置关系的应用,应注意考虑这几个方面：‎ ‎（1）设交点坐标，设直线方程；（2）联立直线与椭圆方程，消去x或y，得到一个关于y或x一元二次方程，利用韦达定理；（3）利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题。解答题以考查学生的运算求解能力、推理论证能力，常涉及函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等基本数学思想，用到待定系数法、代入法、消元法等。坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法，近几年都考查了坐标法。‎ 四、例题精析 例1 [2014全国大纲卷] 已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若△的周长为，则C的方程为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【规范解答】解法：选（A）.（求解对照）由椭圆定义有，又，得,则椭圆C为： 选（A）.‎ ‎【总结与反思】　本题考查椭圆的标准方程和几何性质、离心率、斜率公式等知识，考查考生将椭圆的几何性质转化为数量关系的能力，考查数形结合的思想方法，考查考生知识的综合运用能力和运算求解能力。‎ 例2 [2014全国1卷]已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= ( )‎ ‎. . .3 .2‎ ‎【规范解答】解法1：选C （相似比和定义）‎ 过Q作QM⊥直线L于M，∵‎ ‎∴，又，∴，由抛物线定义知 解法2：选C （向量运算）‎ 由题意知：，可设点为， ,而 ‎，则点，因为在抛物线上，所以满足抛物线方程，可得，解得 ‎，则 ‎【总结与反思】　本题结合几何图形的性质考查抛物线及向量的基本知识,解题的关键是将向量运算转化为坐标运算,‎ ‎ 再结合抛物线的性质将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为中档题。解法一利用相似三角形的相似比和抛物线的定义来解决问题，解法二通过向量的基本运算求出点坐标。从近几年的高考题来看，抛物线与直线、函数、不等式、平面向量、最值问题相结合,是高考中命制圆锥曲线的综合题的重要形式。‎ 例3 [2014全国2卷] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范解答】解 设点A、B分别在第一和第四象限，AF＝2m，BF＝2n，则由抛物线的定义和直角三角形的知识可得，‎ ‎2m＝2·＋m，2n＝2·＋n，解得m＝（2＋），n＝（2－），则m＋n＝6．‎ ‎∴　 S△OAB＝·（ m＋n） ＝，故选D ‎【总结与反思】　⑴ 考查圆锥曲线——抛物线的性质；‎ ‎ ⑵ 考查直线的方程；‎ ‎ ⑶ 考查弦长公式，由于本题的特殊性（倾斜角为30°），可以不用弦长公式．‎ 例4[2014北京卷] 设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 .‎ ‎【规范解答】由题意结合双曲线的性质：，，由双曲线的关系=1，再由双曲线的焦点在x轴上，故该双曲线的方程为.‎ ‎【总结与反思】　本题主要考查圆锥曲线中的双曲线方程的性质和运算，考察了学生计算和运用性质求解的能力.是“大概念、小计算”的类型，主要考查了思维能力．‎ 例5 [2014辽宁卷] 已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范解答】解法1选（D）（求解对照）‎ 抛物线C：的准线方程为，焦点F（2,0），而点在准线上，所以解得p=4，设B（m，n），抛物线在第一象限的方程为，所以，所以过点B的切线斜率为，而切线又过点A，所以①，而点B又在满足方程，即②，将其代入到①‎ 式中，解得m=n=8，所以BF的斜率为.‎ 解法2 选（D）（求解对照）‎ 的准线方程为，焦点F（2,0），而点在准线上，所以解得p=4，‎ 设直线AB的方程为，与方程联立，得，化简，，所以k=2，（或k=-1舍去），将k=2代入中，可求得y=8，从而解得x=8，故B（8,8），所以BF的斜率为.‎ ‎【总结与反思】　（1）本题涉及了抛物线的方程和性质，导数的几何意义、斜率公式等知识点；‎ ‎（2）解法1涉及到4步：求抛物线方程，求斜率，求点B的坐标，求BF斜率；解法2涉及到了：求p，设直线方程，联立求k,求B，求斜率；‎ ‎（3）涉及方程思想，数形结合思想等基本思想；‎ ‎（4）与前几年圆锥曲线内容类似，基本都是围绕圆锥曲线与直线位置关系，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线与圆位置关系等设置问题，以考查对圆锥曲线基本概念和基本方法的掌握和理解程度.‎ 例6[2014全国2卷] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且│MN│＝5│F1N│，求a，b．‎ ‎【规范解答】（Ⅰ） ∵ 由题知，＝ ∴·＝，且a2＝b2＋c2．‎ 联立整理得：2 e2＋3e－2＝0，解得e＝ ∴ C的离心率为 ‎（Ⅱ）由三角形中位线知识可知，MF2＝2·2，即＝4．设F1N＝m，由题可知MF1＝4m，由三角形相似，可得M、N两点横坐标分别为c，－c，由焦半径公式可得：│MF1│＝a＋ec，│NF1│＝a＋e（－c），且MF1∶NF1＝4∶1，‎ e＝，a2＝b2＋c2．联立解得：a＝7，b＝2‎ ‎【总结与反思】　⑴ 本题涉及椭圆的定义及标准方程，焦点、离心率、直线与椭圆的位置关系等知识点；‎ ‎⑵ 本题涉及数形结合、转化与化归、方程，设而不求等基本数学思想，用到代入法、待定系数法等基本数学的方法．用到了代入法、消元法．掌握通法通性是关键．‎ ‎⑶ 与前3年高考相比，难度稳定．也可以看出运算量并不大，力求对基本知识，基本方法要求掌握熟练．试题设计围绕解析几何的思想方法展开，突出了数形结合的思想，侧重于对思想方法的理解和应用，同时还强调了良好的运算求解能力，全面体现了考试大纲对解析几何的考查目标.‎ 例7[2014全国1卷] 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎【规范解答】解：(Ⅰ) 设()，由条件知，得= 又，所以a=2=， ,故的方程. ‎ ‎（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，当，‎ 即时，‎ 从而=.‎ 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. ‎ ‎【总结与反思】　本题考查了直线与圆锥曲线的关系、椭圆的标准方程以及圆锥曲线中的面积最值与范围问题，有一定的运算量，还考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题。第一小问中，由已知条件的斜率、离心率建立方程组求得，。第二小问中，先对直线斜率进行分类讨论，设点、两点的坐标及直线的方程，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出面积，通过换元转化为面积关于的函数最值关系，最后通过基本不等式来求函数的最值。‎ 例8[2014北京卷] 已知椭圆C：.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ （2） 设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.‎ ‎【规范解答】试题分析：（1）直接由椭圆的方程来求解离心率；（2）通过椭圆的形结合其性质来求解.‎ ‎（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．‎ 因此，．故椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，其中．因为，所以，‎ 即，解得．又，‎ 所以 ‎．‎ 因为，且当时等号成立，所以．‎ 故线段长度的最小值为．‎ ‎【总结与反思】　本题涉及椭圆的标准方程与几何性质，两点距离公式，函数最值的求解，基本不等式，试题侧重考查知识点间的融合，有一定的综合性．这是本卷中运算量相对大的一道题，本题涉及函数与方程、数形结合、化归与转化等基本数学思想，用到待定系数法、代入法、消元法（要消去点坐标、点坐标、及等多个字母，很容易走弯路）．‎ 例9[2014安徽卷] 如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点. ‎ (1) 证明：‎ (2) 过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记∆A1B1C1与的∆A2B2C2面积分别为与,求的值. ‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）由题意知直线和的斜率都存在且非零，设，联立的方程得:. ‎ 设，同理可得 ‎ ∵‎ ‎ ‎ ‎ ∴ 由此证得：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）同理可证得：,,∴与中，，∴∽， ∴‎ ‎【总结与反思】‎ ‎　本题以二次曲线中的抛物线和直线相关知识为背景，考察学生的运算和推演能力，考查转化化归思想的运用.‎ 例10[2014全国大纲卷] 已知抛物线C：(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且。‎ ‎(Ⅰ)求C的方程；‎ ‎(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程。‎ ‎【规范解答】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【总结与反思】　本题主要考查了抛物线方程的求法，接着考查四点共圆问题，涉及抛物线的标准方程，直线方程。‎ 课程小结 圆锥曲线与方程 ‎　　① 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.‎ ‎　　② 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.‎ ‎　　③ 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.‎ ‎　　④ 理解数形结合的思想.‎ ‎　　⑤ 了解圆锥曲线的简单应用.‎ 圆锥曲线在选择填空题中主要考查椭圆、双曲线、抛物线的基本量的关系、定义、几何性质（如离心率）.解答题中侧重用代数方法解题，考查圆锥曲线定义、直线与圆锥曲线的位置关系(解答题中直线与双曲线位置关系几乎不考)、有关轨迹问题、最值问题、参数范围问题、定值问题等。属于难题，这几年都以倒数第二题出现（注意以几类曲线的组合为载体命题）。‎