2020届高三数学（理）“大题精练”7

2020届高三数学（理）“大题精练”7

‎2020届高三数学（理）“大题精练”7‎ ‎17．设的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求边长的值；‎ ‎（2）若的面积，求的周长.‎ ‎18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎19．已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）谈论函数的零点个数 ‎20．已知椭圆的焦距为4，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.‎ ‎21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.‎ ‎（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 第 12 页 共 12 页 ‎，记为锐角的内角，求证：‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ 第 12 页 共 12 页 ‎23．设函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”7（答案解析）‎ ‎17．设的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求边长的值；‎ ‎（2）若的面积，求的周长.‎ 第 12 页 共 12 页 解：解：（1）‎ 过作于，则由，‎ 在中，‎ ‎（2）由面积公式得得，‎ 又，得，‎ 由余弦定理得：，‎ 的周长．‎ ‎18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ 证明：证明：连接交于点，‎ 则为的中点．又是的中点，‎ 连接，则．‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）由，可得：，即 所以 又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，‎ 设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为， ‎ 同理可得平面的一个法向量为， ‎ 则 ‎ 第 12 页 共 12 页 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）谈论函数的零点个数 解：（1）∵， ‎ 故， ‎ ‎∵‎ ‎∴时，，故单调递减， ‎ 时，，故单调递增， ‎ 所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当时，在处取最小值， ‎ 当时，，在其定义域内无零点 第 12 页 共 12 页 当时，，在其定义域内恰有一个零点 当时，最小值，因为，且在单调递减，故函数在上有一个零点，‎ 因为，，，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点； ‎ 当时，在定义域内无零点； ‎ 当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点 综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.‎ ‎20．已知椭圆的焦距为4，且过点.‎ 第 12 页 共 12 页 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.‎ 解：（1）因为焦距为4，所以，又因为椭圆过点，‎ 所以，故，，从而椭圆的方程为 已知椭圆的焦距为4，且过点. ‎ ‎（2）由题意，点坐标为，设，则，，再由知，，即. ‎ 由于，故，因为点是点关于轴的对称点，所以点.‎ 故直线的斜率. ‎ 又因在椭圆上，所以.①‎ 从而，故直线的方程为② ‎ 将②代入椭圆方程，得 第 12 页 共 12 页 ‎③ ‎ 再将①代入③，化简得：‎ 解得，，即直线与椭圆一定有唯一的公共点.‎ ‎21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.‎ ‎（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：‎ 解：（1）依题意，可知可取： ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 第 12 页 共 12 页 ‎∴. ‎ ‎（2）∵是锐角三角形，∴，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：‎ 由概率的定义可知：，故有：‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：（1）由题，得，则，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得点到坐标原点的距离为，由此的轨迹过坐标原点．‎ 试题解析：（1）由题意有，，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）．‎ ‎（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．‎ 第 12 页 共 12 页 ‎23．设函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 解：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.‎ 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.‎ ‎（2）因为，所以 ‎，解得：.‎ 第 12 页 共 12 页