2014高考数学百题精练分项解析14

2014高考数学百题精练分项解析14

‎2014高考数学百题精练之分项解析14‎ 一、选择题（每小题6分，共42分）‎ ‎1.已知下列各式：①a2-|a|2；②；③（a·b）2=a2·b2；④（a-b）2=a2‎-2a·b+b2，其中正确的个数为（）‎ A.1个B.2个C.3个D.4个 答案：B 解析：①④正确，②③错误.‎ ‎2.已知平面向量与向量a=（3，1），b=（x，-3），且a⊥b，则x等于（）‎ A.3B‎.1C.-1D.-3‎ 答案：B 解析：a⊥ba·b=03x-3=0,x=1.‎ ‎3.已知a=（1，2），b=（x,1），且a+2b与‎2a-b平行，则x等于（）‎ A.1B‎.2C.D.‎ 答案：D 解析：∵a+2b=（1+2x，4），‎2a-b=（2-x，3）.‎ ‎∴（1+2x）×3-4（2-x）=0即x=.‎ ‎4.已知向量a=（1，0），b=（1，1），c=（-1，0），若c=λa+μb,则λ，μ的值分别为（）‎ A.1，0B.1，‎1C.0，1D.-1，0‎ 答案：D 解析：∵λa+μb=（λ+μ,μ）,c=(-1,0)‎ ‎∴即λ=-1,μ=0.‎ ‎5.直线l的方向向量为（-1，2），直线l的倾斜角为α，则tan2α等于()‎ A.B.-C.D.-‎ 答案：A 解析：由已知得tanα==-2，则tan2α==.‎ ‎6.已知向量a=（m，），b=（-2，-2），那么向量a-b的模取最小值时，实数m的取值与a-b的模的最小值分别是()‎ A.-B.‎ C.-D.‎ 答案：C 解析：a-b=（m+2，）.‎ ‎∴|a-b|=.‎ 当m=-时，|a-b|取最小值.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β,其中α，β∈R,且α+β=1，则点C的轨迹方程为()‎ A.3x+2y-11=0B.2(x-1)+2(y-2)=5‎ C.2x-y=0D.x+2y-5=0‎ 答案：D 解析：由题设知，A、B、C三点共线，故点C的轨迹为直线AB，故选D.‎ 二、填空题（每小题5分，共15分）‎ ‎8.已知a=6i+j，b=-2i+2j，若单位向量e与‎2a+3b共线，则向量e的坐标是__________.（i，j为互相垂直的单位向量）‎ 答案：（）或（-）‎ 解析：因a=（6，1），b=（-2，2），故‎2a+3b=（6，8）.‎ 设e=（x，y），则x2+y2=1且8x-6y=0.‎ 解得 ‎9.已知向量a=（6，2），b=（-4，-），直线l过点A（3，-1）且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为________________.‎ 答案：y=2x-7‎ 解析：由a+2b=（-2，1），可知l的方向向量为v=（1，2）.可得直线的方程为y=2x-7.‎ ‎10.设m=（a，b），n=（c，d）规定两向量m与n之间的一个运算“”为mn=（ac-bd，ad+bc），若已知p（1，2），pq=（-4，-3），则q=________________.‎ 答案：（-2，1）‎ 解析：设q=（x，y），p=（1，2），‎ pq=（-4，-3）=（x-2y，2x+y），‎ 即即q=（-2，1）.‎ 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）‎ ‎11.已知=（2，1），=（1，7），‎ ‎=（5，1），设M是直线OP上一点（O为坐标原点）.‎ ‎（1）求使·取最小值时的；‎ ‎（2）对（1）中求出的点M，求∠AMB的值.‎ 解析：（1）M是直线OP上的一点，‎ ‎∴∥，设=λ=(2λ,λ),‎ 则=-=（1，7）-（2λ,λ）=(1-2λ,7-λ),‎ ‎=-=(5,1)-(2λ,λ)=(5-2λ,1-λ),‎ ‎∴·=5λ2-20λ+12,‎ ‎∴当λ=2时取最小值，此时=（4，2）.‎ ‎（2）由（1）知=（-3，5），=（1，-1），‎ ‎∴cosAMB=.‎ ‎∴∠AMB=π-arccos.‎ ‎12.如下图，=（6，1），=（x，y），=（-2，-3）.‎ ‎（1）若∥，求x与y间的关系式；‎ ‎（2）若∥，且⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积.‎ 解析：（1）=++=（x+4，y-2），‎ ‎∵∥，‎ ‎∴（x+4）y=x（y-2）.∴x=-2y.‎ ‎（2）=+=（x+6，y+1），‎ ‎=-=（x+4，y-2）-（6，1）=（x-2，y-3）.‎ ‎∵⊥，‎ ‎∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，‎ ‎∴（-2y+6）（-2y-2）+（y+1）（y-3）=0，5（y+1）（y-3）=0.‎ ‎∴y=-1，此时x=2或y=3，此时x=-6.‎ ‎∴x=2，y=-1或x=-6，y=3，‎ S四边形ABCD=||·||=×4×8=16.‎ ‎13.设a=（cos23°,cos67°）,b=(cos68°,cos22°),‎ μ=a+tb(t∈R).‎ ‎(1)求a·b；‎ ‎（2）求μ的模的最小值.‎ 解析：（1）a·b=cos23°·cos68°+cos67°·cos22°‎ ‎=cos23°·cos68°+sin23°·sin68°‎ ‎=cos(23°-68°)=.‎ ‎(2)μ＝a+tb ‎=(cos23°,cos67°)+t(cos68°,cos22°)‎ ‎=(cos23°+tcos68°,cos67°+tcos22°),‎ ‎∴|μ|2=(cos23°+tcos68°)2+(cos67°+tcos22°)2‎ ‎=cos223°+2tcos23°cos68°+t2cos268°+cos267°+2tcos67°cos22°+t2cos222°‎ ‎=1+t2+t=(t+)2+,‎ ‎∴当t=-时，|μ|min=.‎ ‎14.设向量a=（1，cos2θ）,b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1),其中θ∈(0,).‎ ‎(1)求a·b-c·d的取值范围；‎ ‎(2)若函数f(x)=|x-1|,比较f(a·b)与f(c·d)的大小.‎ 解析：(1)∵a·b=2+cos2θ,c·d=2sin2θ+1=2-cos2θ ‎∴a·b-c·d=2cos2θ.‎ ‎∵0＜θ＜,∴0＜2θ＜.‎ ‎∴0＜2cos2θ＜2,‎ ‎∴a·b-c·d的取值范围是（0，2）.‎ ‎（2）∵f(a·b)=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos2θ,‎ f(c·d)=|2-cos2θ-1|=|1-cos２θ|=2sin2θ,‎ ‎∴f(a·b)-f(c·d)=2（cos2θ-sin2θ）=2cos2θ.‎ ‎∵0＜θ＜,∴0＜2θ＜,‎ ‎∴2cos2θ＞0.∴f(a·b)＞f(c·d).‎