【数学】广东省肇庆市2020届高三第一次统考试题（文）（解析版）

【数学】广东省肇庆市2020届高三第一次统考试题（文）（解析版）

广东省肇庆市2020届高三第一次统考数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，集合，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎2.已知复数z＝1+i，则z•（　 　）‎ A. B. 2 C. ﹣2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵z＝1+i，∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B.‎ ‎3.设，向量，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知，则，‎ 可得．故本题答案应选B．‎ ‎4.已知，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得,‎ 所以.‎ 故答案为C.‎ ‎5.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ 的共轭复数为的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以，，共轭复数为，的虚部为，‎ 所以真命题为选C.‎ ‎6.设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（ ）‎ A. －7 B. －4 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】增函数且，所以A错误.‎ 为增函数且，故，即，‎ 所以，所以B错误；‎ 为减函数且，所以D错误.‎ 为增函数且，故 故选C.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，输出为数列的前三项和，而 ‎，∴，故选B.‎ ‎9.“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不一定成立．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎10.由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），（其中a为常数且a＞0）的图象，需要将f（x）的图象（　 　）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），‎ 则函数的周期相同即a＝2，‎ 则g（x）＝cos（2x）＝sin（2x）＝sin（2x）＝sin2（x），‎ 则需要将f（x）的图象向向左平移个单位，‎ 故选：B．‎ ‎11.已知函数f（x）＝x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x1，x2∈（），且f（x1）＜f（x2），则（　　 ）‎ A. x1＞x2 B. x1+x2＞0 C. x1＜x2 D. x12＜x22‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数f（x）＝x•sinx，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣x•sin（﹣x）＝x•sinx＝f（x），‎ ‎∴函数f（x）＝x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．‎ 且当x时，函数f（x）＝x•sinx是增函数，‎ ‎∵x1，x2∈（），函数f（x）＝x•sinx是偶函数，且f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴ ，又当x时，函数f（x）＝x•sinx是增函数，‎ ‎∴，‎ 即x12＜x22‎ 故选：D．‎ ‎12.已知函数f（x）＝ex，g（x）＝42，若在[0，+∞）上存在x1，x2，使得f（x1）＝‎ g（x2），则x2﹣x1的最小值是（　 　）‎ A. 1+ln2 B. 1﹣ln2 C. D. e﹣2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f（x1）＝g（x2），‎ 可得，‎ 设x2﹣x1＝t，（t＞0）‎ 可得x2＝t+x1，‎ 即方程0．‎ 那么（ex+2）2＝16（t+x）‎ ‎∴t，‎ 令y，（x≥0）‎ 可得y′‎ 令y′＝0，‎ 可得x＝ln2，‎ ‎∴在区间（0，ln2）时函数y递减，（ln2，+∞）时函数y递增；‎ 当x＝ln2，可得y的最小值为1﹣ln2．‎ 即t的最小值为1﹣ln2．‎ 故选：B．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若等差数列和等比数列满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，‎ 求得，，那么，故答案为.‎ ‎14.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.‎ 又＝＋λ，∴ λ＝.‎ ‎15.已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为等差数列中，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．‎ 故答案为：6.‎ ‎16.已知△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosC﹣ccosBa2，tanB ‎＝3tanC，则a＝_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据题意，△ABC中，tanB＝3tanC，即3，‎ 变形可得sinBcosC＝3sinCcosB，‎ 又由bcosC﹣ccosBa2，由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosBsinA×a，‎ 变形可得：sinBcosC﹣sinCcosBsin（B+C）×a，‎ 即sinBcosC﹣sinCcosBa×（sinBcosC+sinCcosB），‎ 又由sinBcosC＝3sinCcosB，则2sinCcosB＝sinCcosB×a，‎ 由题意可知：，即sinCcosB≠0，‎ 变形可得：a＝2；‎ 故答案为：2．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知f（x）sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）当x∈[]时，求函数f（x）的最小值．‎ 解：（1）f（x）sinωx﹣22sin（）﹣1，‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为3π，‎ ‎∴ω，‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝2sin（）﹣1，‎ ‎∵x∈[]，∴，‎ ‎∴当，即x时，f（x）min＝21．‎ ‎18.已知△内角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ 解：（1）由于，所以，．‎ 因为，故． ‎ ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． ‎ 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为．‎ ‎19.已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N*，且n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ 解：（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①‎ ‎，（n∈N*，且n≥2）②‎ ‎①÷②可得：1，‎ 则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，‎ 则1+（n﹣1）＝n，‎ 则Sn＝n2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，‎ a1＝1也符合该式，‎ 则an＝2n﹣1；‎ ‎（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，‎ 则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；‎ 则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；‎ 则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；‎ ‎③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，‎ 变形可得：Tn．‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．‎ ‎（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）当λ＝2时，求数列{}的前n项和．‎ ‎（1）证明：数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．‎ n＝1时，a1＝1+λa1，λ≠1，解得a1．‎ n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1+λan﹣（1+λan﹣1），化为：．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为：．‎ ‎∴an•，‎ ‎（2）解：当λ＝2时，an＝﹣2n﹣1．‎ ‎2．‎ ‎∴数列{}的前n项和＝2[‎ ‎＝2（）1．‎ ‎21.已知函数f（x）＝lnx，a∈R．‎ ‎（1）若x＝2是函数f（x）的极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若x＞1时，f（x）＞0，求a的取值范围．‎ 解：（1）∵f′（x），‎ 由x＝2是函数f（x）极值点，可得，f′（2）＝0，‎ ‎∴a，‎ ‎∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1），‎ 又f（1）＝0‎ 故y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y即x+8y﹣1＝0，‎ ‎（2）若a≤2，x＞1时，f′（x）0，‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）＝0，符合题意，‎ 若a＞2，方程x2+（2﹣2a）+1＝0的△＝4a2﹣8a＞0，‎ ‎∴x2+（2﹣2a）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x1，x2，且x1＜x2，‎ ‎∵x1+x2＝2a﹣2，x1•x2＝1，‎ ‎∴0＜x1＜1＜x2，＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 当x∈（1，x2）时，x2+（2﹣2a）+1＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ f（x）＜f（1）＝0，不符合题意，‎ 综上可得，a的范围（﹣∞，2]．‎ ‎22.设函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＞0时，证明f（x）≥ln（ae2）﹣2a（e为自然对数的底数）．‎ 解：（1）f'（x）＝2ax+（1﹣2a），x＞0，‎ ‎①当a≥0时，令f'（x）＞0得：x＞1；令f'（x）＜0得：0＜x＜1，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），‎ ‎②当a＜0时，若1，即a时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），‎ 若1即a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（，+∞），‎ 单调递增区间为（1，），‎ 若1即a时，f（x）的单调递减区间为（0，），（1，+∞），‎ 单调递增区间为（，1）；‎ ‎（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，‎ 令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，‎ ‎∴g'（a）＝1，‎ ‎∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；‎ 当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎∴g（a）最小值为g（1）＝0，‎ ‎∴g（a）≥0，‎ ‎∴1﹣a≥lnae2﹣2a，‎ 即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．‎