安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三4月调研考试数学（文）试题

安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三4月调研考试数学（文）试题

‎2020届高三下学期4月调研 ‎ 文科数学 全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.已知为实数集，集合，，则集合为 A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数是虚数单位，，则＝‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎3.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是 ‎ A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分 B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D. 甲乙两队得分的极差相等 ‎4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为若，，‎ 成等差数列，则数列的公比为 ‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，输出的值为 A. B. C. D. ‎ ‎6.已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数 A. 2 B. C. 或2 D. 1‎ ‎9.椭圆的左、右顶点分别为，点在上，且直线 的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数， ， 的部分图像如图所示， 分别为该图像的最高点和最低点，点垂轴于， 的坐标为，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知 ，则 __________．‎ ‎14.已知正数满足，则的最小值是____________.‎ ‎15.已知双曲线（， ）的左右焦点分别为， ，点在双曲线的左支上， 与双曲线右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是__________．‎ ‎16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，边长为，都在圆上，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥，则该四棱锥体积为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. （本题满分12分）某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的指数与当天的空气水平可见度（单位： ）的情况如表1：‎ 该省某市2016年11月指数频数分布如表2：‎ 频数 ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（1）设，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（附参考公式： ，其中， ）‎ ‎（2）小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与指数由相关关系，如表3：‎ 日均收入（元）‎ 根据表3估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．‎ ‎18. （本题满分12分）已知数列中， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19. （本题满分12分）如图所示，三棱柱中，已知侧面， ， ， .‎ 求证： 平面；‎ ‎ 是棱上的一点，若三棱锥的体积为，求的长.‎ ‎20.（本题满分12分）已知函数， （为自然对数的底数）.‎ ‎ (Ⅰ)讨论的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的值.‎ ‎21. （本题满分12分）已知抛物线C： 的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于， 两点，弦的中点为，求的值.‎ ‎23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为，求的值 ．‎ ‎ 参考答案 ‎1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.A 11.D 12.B ‎13. 14.. 15. 16.‎ ‎17.(1) (2)2400元 解析：（1）， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴， ，‎ 所以关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天亏损约1000元，有12天每天收入约2000元，有6天每天收入约6000元，有3天每天收入约8000元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为元．‎ ‎18.（1）；（2）.‎ 解析：（1）由可得，‎ 又由，∴是公差为2的等差数列，‎ 又，∴，∴.‎ ‎（2） ，‎ ‎ .‎ ‎19.解析： 证明：因为平面， 平面，所以，‎ 在中， ， ， ，‎ 由余弦定理得： ，‎ 所以，‎ 故，所以，‎ 又，∴平面.‎ ‎ 面，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴为所求.‎ ‎20.（Ⅰ）当时， 在上为减函数；当时，则在上为减函数；在上为增函数；（Ⅱ） .‎ 解析：(Ⅰ) ，令； ‎ ‎①时，则（当且仅当时取等号）在上为减函数；‎ ‎②当时，则在上为减函数； 在上为增函数；‎ ‎ (Ⅱ) ， ‎ 由于不等式恒成立，说明的最小值为，‎ 当 时， 说明；下面验证：‎ 当时，由(Ⅰ)可知： 在上为减函数； 在上为增函数；‎ ‎ 当时， 有最小值，即有.故适合题意. ‎ ‎21.（1）；（2）直线的方程为或．‎ 解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则 ‎．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．‎ 由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得 或．所求直线的方程为或．‎ ‎22.(Ⅰ)曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为： .(Ⅱ) .‎ 解析： 由题意的方程为： 可得的普通方程为： ， ‎ 将代入曲线方程可得： .‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以.‎ 又， ， .‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为： ‎ ‎.‎ 因为点，化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得： ，‎ 所以由韦达定理： ， ，‎ 所以.‎ ‎23.（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 解析：（Ⅰ）当时， ‎ 当时，由得，解得，‎ 当时， 无解，‎ 当时，由得，解得，‎ 所以的解集是，‎ ‎（Ⅱ）记，则 由解得，又已知的解集为，‎ 所以于是．‎