2017年高考试题——数学理（山东卷）解析版

2017年高考试题——数学理（山东卷）解析版

绝密★启用前 【试卷点评】 【命题特点】 2017 年山东高考数学试卷，文理科试卷结构总体保持了传统的命题风格，以能力立意，注重考查考生 的基础知识、基本技能和基本数学素养，符合考试说明的各项要求，贴近中学教学实际，是一份知识与能 力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.与 2016 年相比，文理科相同题目减少为 3 个，注重姊妹题的 设计.试题的顺序编排，基本遵循由易到难，符合学生由易到难的答题习惯，理科 20 题两层分类讨论，其难 度估计比 21 题要大.从命题内容来看，既突出热点内容的年年考查，又注意了非热点内容的考查，对教学工 作有较好的导向性.纵观近四年的高考命题，基本围绕“基础考点”命题.同以往相比，今年对直线与圆没有独 立的考题，文理均在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系，对基本不等式有独立考查， 与往年突出考查等差数列不同，今年对此考查有所淡化. 2017 年山东数学试卷“以稳为主”、“稳中有新”，试卷结构平稳，无偏怪题，个人感觉难度控制较为理 想，特别是在体现文理差别方面，更为符合中学实际. 1.体现新课标理念，保持稳定，适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》，重点内容重点考查，试题注重 考查高中数学的基础知识，并以重点知识为主线组织全卷，在知识网络交汇处设计试题内容，且有适度难 度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识，难度不大.文科第 10 题考查函数性质的创新题，以函数 为增函数定义函数的新性质，选择支以考生熟悉的初等函数为素材，为考生搭建问题平台，展示研究函数 性质的基本方法；理科第 14 题与文科第 15 题相同，将双曲线、抛物线内容综合考查，理科第 19 题将数列 与解析几何相结合，体现创新. 2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能 力考查为目的的命题要求. 数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识最高层次的概括与提炼，也是试卷考 查的核心.通过命题精心设计，较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想. 利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程，将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致. 3.体现数学应用，关注社会生活.文理科均通过概率统计问题考查考生应用数学的能力，以学生都熟悉的内 容为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向. 【命题趋势】 2018 年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测教学、复习备考时应注 意一下几个方面. 1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多于单调性相关；对具体函数的基本性质（奇偶性、周 期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数考查依然是重点. 导数的几何意义，利用导数研究函 数的性质，命题变换空间较大，直接应用问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，其难度 应会保持在中档以上. 2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查， 预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数 与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是，考查平面向 量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问 题，其难度不会增大. 3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不 等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的 单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综 合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合. 4.数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解 策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征， 确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现. 5.立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考 查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明，理科则倾向于证算并重， 理科将更倾向于利用空间向量方法解题. 6.解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查 椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为 辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等， 因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化. 6.概率与统计知识：概率统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多考查基础知识、基本应用 能力的内容应包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图 （表）、正态分布、假设性检验、回归分析等，而对随机变量分布列、期望等的考查，则易于增大难度，在 分布列的确定过程中，应用二项分布、超几何分布等. 【试卷解析】 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）设函数 的定义域 ，函数 的定义域为 ,则 （A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1) 【答案】D 【考点】 1.集合的运算 2.函数的定义域 3.简单不等式的解法. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. （2）已知 ,i 是虚数单位，若 ，则 a= （A）1 或-1 （B） （C）- （D） 【答案】A 【解析】试题分析：由 得 ，所以 ，故选 A. 【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算. 【名师点睛】复数 的共轭复数是 ，据此结合已知条件，求得 的方程即可. （3）已知命题 p: ；命题 q：若 a＞b，则 ，下列命题为真命题的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】试题分析：由 时 有意义，知 p 是真命题，由 可知 q 是假命题，即 均是真命题，故选 B. 【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题. 【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表， 进一步作出判断. x2y= 4- A y=l n( 1- x) B A B = (1, 2 a R 3 , 4z a i z z    7 - 7或 3 3 3 , 4z a i z z    2 3 4a   1a   i( , )a b a b R i( , )a b a b R a  x x ＞0, l n 1 ＞0 a b2 2＞ p q p q  p q  p q 0x  1 1,ln( 1)x x   2 2 2 22 1,2 1 ; 1 2,( 1) ( 2)        ,p q （4）已知 x,y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值是 （A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6 【答案】C 【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． （5）为了研究某班学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名 学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 ， ， ．该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C x y 3x y           3 0 + 5 0 3 0x x y y x ˆˆ ˆy bx a  10 1 225i i x   10 1 1600i i y   ˆ 4b  160 163 166 170 【解析】试题分析：由已知 ,选 C. 【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用． 【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断； （2）将相关数据代入相关系数 公式求出 ，然后根据 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照 公式求解时，一定要注意计算的准确性． （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 ，第二次输入的 的值为 ，则第一次、 第二次输出的 的值分别为 （A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0 【答案】D 【考点】程序框图，直到型循环结构 【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图 中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；第三，按 照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若 ，且 ，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】试题分析：因为 ，且 ，所以 22.5, 160, 160 4 22.5 70, 4 24 70 166x y a y           r r r x 7 x 9 a 0a b  1ab   2 1 log2a ba a bb     2 1log2a b a b a b     2 1 log 2a ba a bb     2 1log 2a ba b a b    0a b  1ab  2 21,0 1, 1,log ( ) log 2 1,2a ba b a b ab        ，所以选 B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调 性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、 对数函数的性质及基本不等式作出判断. （8）从分别标有 ， ， ， 的 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则抽到的 2 张卡片 上的数奇偶性不同的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考点】古典概型 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概 率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树 形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件. （9）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 为锐角三角形，且满足 ，则下列等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】试题分析： 所以 ，选 A. 【考点】1.三角函数的和差角公式 2.正弦定理. 【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公 式转化为含有 ， ， 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到 .解答三角形中的问题时，三角 形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. （10）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数 1 2 1 12 log ( )a b a a b a a bb b          1 2  9 9 5 18 4 9 5 9 7 9 CA A  C a b c CA  sin 1 2cosC 2sin cosC cos sin C   A  A 2a b 2b a 2A   2  A sin( ) 2sin cos 2sin cos cos sinA C B C A C A C    2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a     A  C 2a b  0,1x  21y mx  y x m  m 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第 II 卷 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 （11）已知 的展开式中含有 项的系数是 ，则 . 【答案】 【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式 ，令 得： ，解 得 ． 【考点】二项式定理 【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问 题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查 考生的思维能力、基本计算能力等. （12）已知 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，则实数 的值是 . 【答案】 【解析】试题分析： ，   0,1 2 3,     0,1 3,  0, 2 2 3,      0, 2 3,    1 3 nx 2x 54 n  4  1 C 3 C 3rr r r r r n nx x     2r  2 2C 3 54n   4n  1 2,e e 1 23 e e 1 2e e 60  3 3     2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 23 3 3 3e e e e e e e e e e                       ， ， ，解得： ． 【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 【名师点睛】 1.平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围： . 2.由向量的数量积的性质有 ， ， ，因此，利用平面向量的数量积可 以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立 的方程. (13)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 . 【答案】 【解析】试题分析：该几何体的体积为 ． 【考点】1.三视图.2.几何体的体积. 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原 几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．3.利用面积或体积公式计算.  2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 23 3 3 2 3 2e e e e e e e e                2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 22 1e e e e e e e e                     2 23 2 1 cos60 1         3 3  a b · cosa b a b    ＝  a b 0 180    | |=a a a·   ·cos a b a b       · 0a b a b    ＝  1 4 2 2  21V 1 1 2 2 1 1 24 2          （14）在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为 的抛物线 交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1) 掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线 与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ， 时为椭圆，当 时为双 曲线. 2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． （15）若函数 （ 是自然对数的底数）在 的定义域上单调递增，则称函数 具 有 性质.下列函数中所有具有 性质的函数的序号为 . ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【解析】试题分析：① 在 上单调递增，故 具有 性质； ② 在 上单调递减，故 不具有 性质； ③ ，令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递 xOy   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    F  2 2 0x px p  ,A B 4AF BF OF  2 2y x  122  ByAx 0A 0B BA  0AB  xe f x 2.71828e    f x  f x M M   2 xf x    3 xf x    3f x x   2 2f x x    2 2 x x x x ee f x e         R   2 xf x     3 3 x x x x ee f x e         R   3 xf x     3x xe f x e x    3xg x e x     3 2 23 2x x xg x e x e x x e x        2x     0g x  2x     0g x     3x xe f x e x   , 2   2,  增，故 不具有 性质； ④ ，令 ，则 ， 在 上单调递增，故 具有 性质． 【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】 1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力， 考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个 载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的解集． (4)由 f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单 调区间． 3.由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是 否可以取到． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 16.设函数 ，其中 .已知 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原学科*网来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象 向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值. 【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）得最小值 . 从而 . 根据 得到 ，进一步求最小值.   3f x x     2 2x xe f x e x     2 2xg x e x       22 2 2 1 1 0x x xg x e x e x e x               2 2x xe f x e x  R   2 2f x x   ( ) sin( ) sin( )6 2f x x x      0 3  ( ) 06f    ( )y f x 4  ( )y g x ( )g x 3[ , ]4 4   2  3 2 ( ) 3sin( ) 3sin( )4 3 12g x x x       3[ , ]4 4x    2[ , ]12 3 3x      试题解析：（Ⅰ）因为 ， 所以 即 时， 取得最小值 . 【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式 化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的 范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的， 是 的中点. （Ⅰ）设 是 上的一点，且 ，求 的大小； ( ) sin( ) sin( )6 2f x x x      3 1( ) sin cos cos2 2f x x x x     3 3sin cos2 2x x   1 33( sin cos )2 2x x   3(sin )3x   4x   ( )g x 3 2 ABCD AB 120 G DF P CE AP BE CBP （Ⅱ）当 ， ，求二面角 的大小. 【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ） . 据相关数据即得所求的角. 思路二： 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 写出相关点的坐标，求平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 3AB  2AD  E AG C  30CBP   60 B BE BP BA x y z AEG 1 1 1( , , )m x y z ACG 2 2 2( , , )n x y z 计算 即得. 取 的中点 ，连接 ， ， . 因为 ， 所以四边形 为菱形， 所以 . 取 中点 ，连接 ， ， . 则 ， ， 所以 为所求二面角的平面角. 又 ，所以 . 在 中，由于 ， 1cos , | | | | 2 m nm n m n    EC H EH GH CH 120EBC   BEHC 2 23 2 13AE GE AC GC      AG M EM CM EC EM AG CM AG EMC 1AM  13 1 2 3EM CM    BEC 120EBC   由余弦定理得 ， 所以 ，因此 为等边三角形， 故所求的角为 . 解法二： 设 是平面 的一个法向量. 由 可得 取 ，可得平面 的一个法向量 . 所以 . 因此所求的角为 . 2 2 22 2 2 2 2 cos120 12EC         2 3EC  EMC 60 2 2 2( , , )n x y z ACG 0 0 n AG n CG        2 2 2 2 3 0, 2 3 0, x y x z      2 2z   ACG (3, 3, 2)n    1cos , | | | | 2 m nm n m n    60 【考点】1.垂直关系.2. 空间角的计算. 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平 面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、 空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能 力转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分 12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体 方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过 对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4， A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 的频率。 （II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX. 【答案】（I） (II)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X 的数学期望是 . 得 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 进一步计算 X 的数学期望. 试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 M，则 (II)由题意知 X 可取的值为： .则 1B 5 .18 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 2EX  1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 1A 1B 4 8 5 10 5( ) .18 CP M C  0,1,2,3,4 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X 的数学期望是 = 【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布. 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期 望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本 题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分 12 分） 已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0， 所围成的区域的面积 . 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) 4 ( 4)EX P X P X P X P X P X               1 5 10 5 10 1 2 3 4 2.42 21 21 21 42          1 1nx x x x  , nT 【答案】(I) （II） 因为 ,所以 ， 因此数列 的通项公式为 （II）过 …… 向 轴作垂线，垂足分别为 …… , 由(I)得 记梯形 的面积为 . 由题意 ， 所以 ……+ = ……+ ① 12 .n nx  (2 1) 2 1.2 n n nT    0q  12, 1q x  { }nx 12 .n nx  1 2 3, , ,P P P 1nP  x 1 2 3, , ,Q Q Q 1nQ  1 1 1 2 2 2 .n n n n nx x        1 1n n n nP P Q Q  nb 1 2( 1) 2 (2 1) 22 n n n n nb n       1 2 3nT b b b    nb 1 0 13 2 5 2 7 2      3 2(2 1) 2 (2 1) 2n nn n      又 ……+ ② 【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问 题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起 来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. （20）（本小题满分 13 分） 已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）综上所述： 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 函数 有极小值，极小值是 ； 当 时，函数 在 和 和 上单调递增，在 上单调递减，函数 有 极大值，也有极小值， 极大值是 极小值是 ； 当 时，函数 在 上单调递增，无极值； 0 1 22 3 2 5 2 7 2nT        2 1(2 1) 2 (2 1) 2n nn n        2 2cosf x x x     cos sin 2 2xg x e x x x    2.71828e    y f x   , f        h x g x af x a R    h x 22 2y x    0a   h x  ,0  0,  h x  0 2 1h a   0 1a   h x  ,ln a  0,ln a  0,  ln ,0a  h x      2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a         0 2 1h a   1a   h x  ,  当 时，函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减，函数 有极大值，也有极小值， 极大值是 ； 极小值是 . 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率 ，由点斜式写出直线方程. ， 即 . （Ⅱ）由题意得 ， 因为 ， 令 则 所以 在 上单调递增. 1a   h x  ,0  ln ,a   0,ln a  h x  0 2 1h a        2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a          2f       2 2 2y x      22 2y x    2( ) (cos sin 2 2) ( 2cos )xh x e x x x a x x             cos sin 2 2 sin cos 2 2 2sinx xh x e x x x e x x a x x              2 sin 2 sinxe x x a x x      2 sinxe a x x     sinm x x x    1 cos 0m x x     m x R 因为 所以 当 时， 当 时， (1)当 时， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 当 时 取得极小值，极小值是 ； 极大值为 ， 当 时 取到极小值，极小值是 ； ②当 时， ， 所以 当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值； ③当 时， 所以 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以 当 时 取得极大值，极大值是 ； (0) 0,m  0x  ( ) 0,m x  0x    0m x  0a  xe a 0 0x    0h x   h x 0x    0h x   h x 0x   h x  0 2 1h a        2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a        0x   h x  0 2 1h a   1a  ln 0a   ,x     0h x   h x  ,  1a  ln 0a   ,0x  ln 0x ae e     0,h x h x   0,lnx a ln 0x ae e     0,h x h x   ln ,x a  ln 0x ae e     0,h x h x  0x   h x  0 2 1h a   当 时 取得极小值. 极小值是 . 综上所述： 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 函数 有极小值，极小值是 ； 当 时，函数 在 和 和 上单调递增，在 上单调递减，函数 有 极大值，也有极小值， 【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想. 【名师点睛】1.函数 f (x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)的几何意义是曲线 y＝f (x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率．相 应地，切线方程为 y−y0＝f ′(x0)(x−x0)．注意：求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的不 同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考 生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨 论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能 力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； lnx a  h x      2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a        0a   h x  ,0  0,  h x  0 2 1h a   0 1a   h x  ,ln a  0,ln a  0,  ln ,0a  h x xOy E 2 2 2 2 1x y a b   0a b  2 2 2 E （Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条 切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率. 【答案】（I） . （Ⅱ） 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 . 试题解析：（I）由题意知 ， ， 所以 ， 因此 椭圆 的方程为 . （Ⅱ）设 ， 联立方程 l 1 3 2y k x  E ,A B C E OC 2k 1 2 2 4k k  M OC : 2:3MC AB  M MC ,OS OT M ,S T SOT l 2 2 12 x y  SOT 3  l 1 2 2k   2 2 ce a  2 2c  2, 1a b  E 2 2 12 x y     1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 1,2 3 ,2 x y y k x       得 ， 由题意知 ， 且 ， 所以 . 由题意可知圆 的半径 为 由题设知 ， 所以 而 ， 令 ， 则 ，  2 2 1 14 2 4 3 1 0k x k x    0    1 1 2 1 22 2 1 1 2 3 1,2 1 2 2 1 kx x x xk k      2 2 1 12 1 1 2 2 1 1 1 81 2 2 1 k kAB k x x k       M r 2 2 1 1 2 1 1 1 82 2 3 2 1 k kr k    1 2 2 4k k  2 1 2 4k k 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 1 4 1 1 82 2 3 2 1 k OC k r k k k      2 1 2 2 1 1 1 23 2 4 1 4 1 k k k    2 11 2t k   11, 0,1t t  因此 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ， 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 的关系，确定椭圆 （圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与 系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数 等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运 算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 2 2 2 3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4 OC t r t t t t t               1 1 2t  2t  1 2 2k   , , ,a b c e