2020届二轮复习数列的概念与通项公式课件（31张）（全国通用）

2020届二轮复习数列的概念与通项公式课件（31张）（全国通用）

课标要求 : 1. 通过实例 , 了解数列的概念 .2. 掌握数列的两种分类 , 能对具体数列作出判断 .3. 理解数列通项公式的概念 , 能根据数列的前几项写出数列的通项公式 .4. 能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题 . 自主学习 知识探究 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 . 2.数列的表示 数列中的每一项都和它的 有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号,所以,数列的一般形式可以写成a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,…,简记为{a n },例如,数列1,2,3,4,…,n,…,可以简记为{n}. 我们还应注意到这里{a n }与a n 是不同的:{a n }表示数列a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,…;而a n 只表示这个数列的第n项.这里{a n }是数列的简记符号,并不表示一个集合. 项 序号 (1) 数列与集合的区别 数列 集合 示例 区 别 数列中的项是有序的 集合中的元素是无序的 数列 1,2,3,4 与 4,3,2,1 是不同的数列 ;{1,2,3,4} 与 {4,3,2,1} 是相同的集合 数列中的项可以重复 集合中的元素不能重复 数列 1,-1,1,-1, … , 构成集合的元素则不可以重复 数列的各项必须是数 集合中的元素可以是数、图形、字母等 a,b,c 不一定构成数列 , 但可以构成集合 (2) 数列与函数的区别与联系 区别 数列 函数 数列的定义域是正整数集 函数的定义域是实数集 数列的图象是孤立的点 函数的图象是光滑的曲线 联系 对于函数 y=f(x), 如果 f(i)(i=1,2,3, … ) 有意义 , 那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3), … ,f(n), … 3. 数列的分类 序号 分类标准 名称 含义 例子 1 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,4, … ,100 无穷数列 项数无限的数列 1,4,9, … ,n 2 , … 2 按项的变 化趋势 递增数列 从第 2 项起 , 每一项都大于它的前一项的数列 3,4,5, … ,n 递减数列 从第 2 项起 , 每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 6,6,6,6, … 摆动数列 从第 2 项起 , 有些项大于它的前一项 , 有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4, … 3 按项的 绝对值 有界数列 项的绝对值小于某一正值 1,-1,1,-1,1, -1, … 无界数列 不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它 1,2,3,4, … 4.通项公式的定义 如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做这个数列的通项公式.如数列2,4,6,8的通项公式是a n =2n(1≤n ≤4,n∈ N * );全体正偶数组成数列的通项公式是a n =2n(n∈ N * ). 5.对数列通项公式的理解 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N * 或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数表达式. (2)正如有些函数关系不一定有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.例如,的不同近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式. (3)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如:数列-1,1,-1, 1,…的通项公式可以写成a n =(-1) n (n∈ N * ),也可以写成a n = (4)数列通项公式的作用 依次用1,2,3,…代替公式中的n就可以求出数列的各项;用数列的通项公式可以判断某数是否是数列中的项;借助通项公式能有利于对数列各种性质的研究. (5) 掌握以下数列的通项公式 自我检测 1. 下面三个结论 : ①1,1,1,1, … 是数列 ; ②cos 0,sin 1,tan 2 不是数列 ; ③-3,-2,1,x,2,3,y,6 是一个项数为 8 的数列 . 其中正确的有 ( 　 　 ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 B 解析: ①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.②错误.cos 0, sin 1,tan 2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误.因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故 选B. C C 5. 若数列 {a n } 的通项公式是 a n =(-1) n (3n-2), 则 a 1 +a 2 +…+a 10 = 　　　　 .   解析: 法一 　 a 1 =(-1) 1 ×(3×1-2)=-1,a 2 =(-1) 2 ×(3×2-2)=4,a 3 =(-1) 3 × (3×3-2)=-7,a 4 =(-1) 4 ×(3×4-2)=10,a 5 =(-1) 5 ×(3×5-2)=-13,a 6 = (-1) 6 ×(3×6-2)=16,a 7 =(-1) 7 ×(3×7-2)=-19,a 8 =(-1) 8 ×(3×8-2)=22, a 9 =(-1) 9 ×(3×9-2)=-25,a 10 =(-1) 10 ×(3×10-2)=28,则a 1 +a 2 + … +a 10 = -1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+ (-19+22)+(-25+28)=3×5=15. 法二 　事实上,a n+1 =(-1) n+1 [3(n+1)-2],则a n +a n+1 =3(n为奇数),从而a 1 +a 2 =a 3 +a 4 = … =a 9 +a 10 =3,则a 1 +a 2 + … +a 10 =5×3=15. 答案: 15 题型一 数列的概念与分类 课堂探究 解析 : 分析可知 :(1) 是有穷递增数列 ; (3) 是无穷递减数列 ; (4) 是摆动数列 , 是无穷数列 ; (5) 是摆动数列 , 是无穷数列 ; (6) 是常数列 , 是有穷数列 . 答案 : (1)(6) 　 (2)(3)(4)(5) 　 (1)(2) 　 (3) 　 (6) 　 (4)(5) 方法技巧 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的. (2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系. 解: (2),(4)是有穷数列,(1),(3),(5),(6)是无穷数列,(4)是递增数列(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,(6)是常数列. 题型二 根据数列的前几项写出通项公式 方法技巧 (1)根据数列的前几项写通项公式的方法 ①统一项的结构,如都化成分数、根式等. ②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式. ③对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1) n 或(-1) n+1 (n∈ N * )调节符号. ④对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项. (2)熟练掌握一些基本数列的通项公式 ①数列-1,1,-1,1 … 的通项公式是a n =(-1) n . ②数列1,2,3,4, … 的通项公式是a n =n. ③数列1,3,5,7, … 的通项公式是a n =2n-1. ④数列 2,4,6,8, … 的通项公式是 a n =2n. ⑤ 数列 1,2,4,8, … 的通项公式是 a n =2 n-1 . ⑥ 数列 1,4,9,16, … 的通项公式是 a n =n 2 . (7)0,1,0,1,0,1,…;(8)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (9)2,-6,12,-20,30,-42,…. (9) 将数列变形为 1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6, … , 所以 a n =(-1) n+1 n (n+1)(n∈ N * ). 题型三 数列通项公式的应用 (3) 求证 : 数列中的各项都在区间 (0,1) 内 . 方法技巧 (1) 数列的通项公式给出的是第 n 项 a n 与它的位置序号 n 之间的关系 , 只要用序号代替公式中的 n, 就可以求出数列的相应项 ; 反过来 , 判断一个数是不是该数列的某一项 , 只要看以 n 为未知数的方程有没有正整数解 , 若有就是 , 否则就不是 . (2) 解决是否存在型问题 , 可先假设存在 , 然后代入条件或参数的值或范围 , 若符合题意 , 则存在 ; 若不合题意 , 则不存在 .