2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学理试题 Word版

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‎2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知命题，则为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ A． 1 B．‎2 C. 3 D．4‎ ‎5.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．内切 B．相交 C. 外切 D．相离 ‎7.“”是“方程表示双曲线”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A．且，则 B．且，则 ‎ C. ，则 D．，则 ‎10. 设分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 在正方体中，分别是中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（ ）‎ A． B． C. 4 D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于 ．‎ ‎14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为‎6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过‎4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米．‎ ‎15.已知是球的球面上两点，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 ．‎ ‎16.已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的最大值与最小值之和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知圆，直线．‎ ‎（1）当为何值时，直线与圆相切；‎ ‎（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．‎ ‎18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求证：面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎19. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若为真命题，求实数的取值集合．‎ ‎20. 已知四棱锥，四边形是正方形，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积．‎ ‎22.椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCCB 6-10: AABBD 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 32 15. 16. 4‎ 三、解答题 ‎17.解：将圆的方程化成标准方程为，‎ 则此圆的圆心为，半径为2．‎ ‎（1）若直线与圆相切，则有，解得；‎ ‎（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，‎ 得，解得或，故所求直线方程为或．‎ ‎18.解：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，‎ ‎∴，平面平面，∴面；‎ ‎（2）证明：∵面，平面，∴，‎ 又∵是的直径，∴，‎ 又，∴面，‎ ‎∵，∴面；‎ ‎（3）∵，∴，‎ 在中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎19.解：真：，，∴或，‎ 真：∵与不平行，‎ 则与平行或与平行或三条直线交于一点，‎ 若与平行，由得，‎ 若与平行，由得，‎ 若三条直线交于一点，由，得，‎ 代入得，‎ ‎∴真，或或，‎ ‎∵真，∴至少有一个为真，‎ ‎∴的取值集合为．‎ ‎20.解：（1）证明：∵，‎ ‎∴，即，‎ 又∵为正方形，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面；‎ ‎（2）‎ 解：设的中点为，∵，∴，‎ 由（1）可知平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 在平面内，过作直线，则两两垂直．‎ 以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，即，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，即，取，‎ ‎，由图可知，二面角的余弦值为．‎ ‎21.解：（1）∵在抛物线上，∴，‎ 由题意可知，，解得，‎ 所以抛物线的方程为；‎ ‎（2）设直线方程为：，∵与圆相切，‎ ‎∴，整理得，①‎ 依题意直线与抛物线相切，‎ 由得 （*）‎ ‎ ②‎ 由①②解得或，‎ 此时方程（*）化为，解得，∴点，‎ ‎∴，‎ 直线为：或，‎ 到的距离为，‎ ‎∴．‎ ‎22.解：（1）∵，∴，‎ 椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，‎ ‎∴，解得，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，‎ 由得，，‎ 设，‎ 假设存在定点符合题意，∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，‎ 当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，‎ 显然此时，综上，存在定点满足题意．‎