2021高考数学大一轮复习单元质检六数列B理新人教A版

2021高考数学大一轮复习单元质检六数列B理新人教A版

单元质检六　数列(B)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第12页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=‎5‎‎2‎,则a1=(　　)‎ A.2 B.4 C.‎2‎ D.2‎‎2‎ 答案:B 解析:设{an}的公比为q.由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=‎5‎‎2‎,‎ ‎∴q+‎q‎3‎q‎2‎‎=‎‎5‎‎2‎,q2-‎5‎‎2‎q+1=0,∴q=‎1‎‎2‎(q=2舍去),‎ ‎∴a1=4.‎ ‎2.设an=-n2+9n+10,则数列{an}前n项和最大时n的值为(　　)‎ A.9 B.10 C.9或10 D.12‎ 答案:C 解析:令an≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.‎ 令an+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.∴9≤n≤10.‎ ‎∴前9项和等于前10项和,它们都最大.‎ ‎3.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于(　　)‎ A.18 B.24 C.30 D.60‎ 答案:C 解析:设等差数列{an}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),化为2a1+3d=0,①‎ ‎∵S8=16,∴8a1+‎8×7‎‎2‎×d=16,②‎ 联立①②解得a1=-‎3‎‎2‎,d=1.‎ 则S10=10×‎-‎‎3‎‎2‎‎+‎‎10×9‎‎2‎×1=30.‎ 6‎ ‎4.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若{Sn+λ}为等比数列,则λ=(　　)‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ 答案:B 解析:由题意,得{an}是等比数列,公比为2,∴Sn=2n-1,Sn+λ=2n-1+λ.‎ ‎∵{Sn+λ}为等比数列,∴-1+λ=0,‎ ‎∴λ=1,故选B.‎ ‎5.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,现自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为(　　)‎ A.‎13‎‎3‎升 B.‎17‎‎6‎升 C.‎19‎‎9‎升 D.‎25‎‎12‎升 答案:B 解析:设自上而下各节的容积分别为a1,a2,…,a9,公差为d,‎ ‎∵上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,‎ ‎∴a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎=4a‎1‎+6d=3,‎a‎9‎‎+a‎8‎+a‎7‎=3a‎1‎+21d=4,‎解得a‎1‎‎=‎13‎‎22‎,‎d=‎7‎‎66‎,‎ ‎∴自上而下取第1,3,9节,这3节的容积之和为a1+a3+a9=3a1+10d=3×‎13‎‎22‎+10×‎7‎‎66‎‎=‎‎17‎‎6‎(升).‎ ‎6.(2019浙江,10)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=an‎2‎+b,n∈N*,则(　　)‎ A.当b=‎1‎‎2‎时,a10>10 B.当b=‎1‎‎4‎时,a10>10‎ C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10‎ 答案:A 解析:当b=‎1‎‎2‎时,a2=a‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎≥‎‎1‎‎2‎,a3=a‎2‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎≥‎‎3‎‎4‎,a4=a‎3‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎≥‎‎17‎‎16‎≥1,当n≥4时,an+1=an‎2‎‎+‎1‎‎2‎≥‎an‎2‎≥1,则log‎17‎‎16‎an+1>2log‎17‎‎16‎an⇒log‎17‎‎16‎an+1>2n-1,则an+1≥‎17‎‎16‎‎ ‎‎2‎n-1‎(n≥4),则a10≥‎17‎‎16‎‎ ‎‎2‎‎6‎=1+‎1‎‎16‎64=1+‎64‎‎16‎‎+‎64×63‎‎2‎×‎‎1‎‎1‎‎6‎‎2‎+…>1+4+7>10,故选A.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ 6‎ ‎7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三个数成等差数列.若中间项减去6,则三个数成等比数列,则此未知数是　　　　　　　　. ‎ 答案:3或27‎ 解析:设此三数为3,a,b,则‎2a=3+b,‎‎(a-6‎)‎‎2‎=3b,‎ 解得a=3,‎b=3,‎或a=15,‎b=27.‎ 故这个未知数为3或27.‎ ‎8.(2019广东深圳二模)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=3,当n≥2时,有Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan.则使得S1S2·…·Sm≥2 019成立的正整数m的最小值为　　　　　. ‎ 答案:1 009‎ 解析:∵Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan,‎ ‎∴Sn+Sn-1-2SnSn-1=2n(Sn-Sn-1),‎ ‎∴2SnSn-1=(2n+1)Sn-1-(2n-1)Sn,‎ ‎∴‎2n+1‎Sn‎-‎‎2n-1‎Sn-1‎=2.‎ 令bn=‎2n+1‎Sn,则bn-bn-1=2(n≥2),‎ ‎∴数列{bn}是以b1=‎3‎S‎1‎‎=‎‎3‎a‎1‎=1为首项,公差d=2的等差数列,‎ ‎∴bn=2n-1,即‎2n+1‎Sn=2n-1,∴Sn=‎2n+1‎‎2n-1‎,‎ ‎∴S1S2·…·Sm=3×‎5‎‎3‎×…×‎2m+1‎‎2m-1‎=2m+1,‎ 由2m+1≥2019,解得m≥1009,‎ 即正整数m的最小值为1009.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且‎1‎‎2‎,an,Sn成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列‎1‎bn的前n项和Tn.‎ 6‎ 解:(1)∵‎1‎‎2‎,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+‎1‎‎2‎.‎ 当n=1时,2a1=S1+‎1‎‎2‎,即a1=‎1‎‎2‎;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即anan-1‎=2,‎ 故数列{an}是首项为‎1‎‎2‎,公比为2的等比数列,即an=2n-2.‎ ‎(2)∵bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)‎ ‎=(2n-1)(2n+1),‎ ‎∴‎1‎bn‎=‎1‎‎2n-1‎×‎1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎.‎ ‎∴Tn=‎‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎5‎+…+‎‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎ ‎=‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎2n+1‎‎=‎n‎2n+1‎.‎ ‎10.(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,2an+1=an,b1+‎1‎‎2‎b2+‎1‎‎3‎b3+…+‎1‎nbn=bn+1-1.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ 解:(1)∵2an+1=an,∴{an}是公比为‎1‎‎2‎的等比数列.‎ 又a1=2,∴an=2·‎1‎‎2‎n-1‎‎=‎‎1‎‎2‎n-2‎.‎ ‎∵b1+‎1‎‎2‎b2+‎1‎‎3‎b3+…+‎1‎nbn ‎=bn+1-1,①‎ ‎∴当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.‎ 当n≥2时,b1+‎1‎‎2‎b2+‎1‎‎3‎b3+…+‎1‎n-1‎bn-1=bn-1,②‎ ‎①-②,得‎1‎nbn=bn+1-bn,‎ 得bn+1‎n+1‎‎=‎bnn,故bn=n.‎ ‎(2)由(1)知anbn=n·‎1‎‎2‎n-2‎‎=‎n‎2‎n-2‎.‎ 6‎ 故Tn=‎1‎‎2‎‎-1‎‎+‎‎2‎‎2‎‎0‎+…+n‎2‎n-2‎,‎ 则‎1‎‎2‎Tn=‎1‎‎2‎‎0‎‎+‎‎2‎‎2‎‎1‎+…+n‎2‎n-1‎.‎ 以上两式相减,得‎1‎‎2‎Tn=‎1‎‎2‎‎-1‎‎+‎‎1‎‎2‎‎0‎+…+‎1‎‎2‎n-2‎‎-n‎2‎n-1‎=‎2‎‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎-‎n‎2‎n-1‎,‎ 故Tn=8-n+2‎‎2‎n-2‎.‎ ‎11.(15分)(2019天津,理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=‎1,‎2‎k

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