北京市大兴区2020届高三第一次模拟考试数学试题

北京市大兴区2020届高三第一次模拟考试数学试题

‎2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 数学 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集运算，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式可求得的值，再代入前项和公式，即可得答案；‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；‎ ‎【详解】对A，方程无解，不存在零点，故A错误；‎ 对B，无解，不存在零点，故B错误；‎ 对D，在单调递减，在单调递增，在不具有单调性，故D错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.‎ ‎5.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项的系数等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开式的第三项的二项式系数最大可得，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案；‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 含项的系数等于，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.‎ ‎6.若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，根据焦半径公式可求得的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；‎ ‎【详解】设点，为抛物线的焦点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.已知数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据这一关系，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎，，“数列为递增数列”，‎ 若“数列为递增数列”，则，‎ ‎“对任意，”是“数列为递增数列”的充分必要条件，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查与的关系、充分必要条件的判断，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的最长棱的棱长为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥 ‎，再计算各条棱的长度，即可得答案；‎ ‎【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥 ‎，，，，，，‎ 该几何体的最长棱的棱长为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.‎ ‎9.已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案；‎ 详解】令，，，‎ 的图象如图所示，‎ 关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，‎ 在上有且仅有两个不相等的实根，‎ ‎，‎ 的最大整数值为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元取值范围.‎ ‎10.如图，假定两点，以相同的初速度运动．点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()．令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为，再利用做匀速运动，利用路程除以速度可得时间.‎ ‎【详解】设运动点三等分点的时间为，此时运动的距离为，运动点中点的时间为，此时运动的距离为，‎ 两点，以相同的初速度运动，设点的运动速度为，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11.已知向量，， 若，则_______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎12.若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是_______；‎ ‎【答案】（答案不唯一，只要）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得在区间上恒成立，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 在区间上恒成立，‎ 在区间上恒成立，‎ 取，显然恒成立，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.‎ ‎13.若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数的范围是_______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的最小值，即可得到答案；‎ ‎【详解】，，等号成立当且仅当，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.‎ ‎14.已知为函数图象上两点，其中．已知直线AB的斜率等于2，且，则_______；______；‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案；‎ ‎【详解】直线AB的斜率等于2，且，‎ 且，‎ 解得：，‎ ‎，；‎ ‎；‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用.‎ ‎15.在直角坐标系中，双曲线（）离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：‎ ‎① ；‎ ‎②存在最大值；‎ ‎③ ．‎ 则正确结论的序号为_______.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；‎ 对②，，由于，没有最大值，没有最大值，‎ 故②错误；‎ 对③，当时，，‎ ‎，又，，‎ ‎，故③正确；‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16.在中，，，且的面积为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若D为BC上一点，且 ，求的值．‎ 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ ‎【答案】（1）；（2）选①，；选②，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理，即可得答案；‎ ‎（2）①当时，由正弦定理，可求得，再由，可求得答案；②当时，由余弦定理和诱导公式，可求得答案；‎ ‎【详解】（1） 由于 ，，，‎ 所以，‎ 由余弦定理 ，‎ 解得．‎ ‎（2）①当时，‎ 在中，由正弦定理， ‎ 即，所以． ‎ 因为，所以． ‎ 所以， ‎ 即． ‎ ‎②当时，‎ 在中，由余弦定理知，‎ ‎． ‎ 因为，所以， ‎ 所以， ‎ 所以 ， ‎ 即．‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎17.为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现从校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记表示成绩不低于90分的人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理，理由详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图知，，解方程可得的值；‎ ‎（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为，由已知的所有可能取值为，再根据二项分布，即可得答案；‎ ‎（3）机构M抽测的不达标率为 ，机构N抽测的不达标率为，再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知，， ‎ 解得． ‎ ‎（2）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ， ‎ 由已知，的所有可能取值为， ‎ 则，‎ ‎，‎ ‎． ‎ 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ 所以． ‎ ‎（3）机构M抽测的不达标率为 ， ‎ 机构N抽测的不达标率为． ‎ ‎（以下答案不唯一，只要写出理由即可）‎ ‎①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理． ‎ 理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布． ‎ ‎②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理． ‎ 理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.‎ ‎18.如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点．‎ ‎（1）若E是棱的中点，证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在，理由详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点为，连结，证明，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；‎ ‎（2）先证明两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量为，再利用向量的夹角公式，即可得答案；‎ ‎（3）设，由，解得与假设矛盾，从而得到结论.‎ ‎【详解】（1）证明：取中点为，连结，‎ 在中，因为为的中点，‎ 所以且．‎ 又因为是的中点，，‎ 所以且，‎ 所以为平行四边形 所以． ‎ 又因为平面， ．‎ 平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（2）连结，‎ 因为是等边三角形，是的中点，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以．‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 所以两两垂直．‎ 如图，建立空间直角坐标系， ‎ 则，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则， ‎ 即， ‎ 令，则，，‎ 所以． ‎ 平面ABC的法向量为，‎ ‎．‎ 又因为二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为． ‎ ‎（3），，‎ 设，‎ 则，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 假设，‎ 则，解得， ‎ 这与已知矛盾．不存在点E.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为椭圆经过点，所以，再根据离心率，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）①若直线的斜率存在时，，，，与椭圆方程联立，由可得，从而得到的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；②若直线的斜率不存在，则有，可证结论也成立.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，‎ 又因为，则，由，得，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①若直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立得：‎ ‎，有， ‎ 由题意，，设，，‎ 所以，． ‎ 因为以为直径的圆过原点，‎ 由，得 ， ‎ 即，整理得，‎ ‎， ‎ 而 ‎ 设h为到的距离，则 所以，‎ 而，‎ 所以． ‎ ‎②若直线的斜率不存在，则有， ‎ 不妨设，设，有，‎ 代入椭圆方程得，，‎ ‎，‎ 即，‎ 综上．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：函数有且只有一个零点．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；‎ ‎（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解，利用导数可得函数在单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）当时，函数，，， ‎ ‎，，‎ 所以函数在点处的切线方程是．‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，‎ 即只需关于x的方程在上有且只有一个解．‎ 设函数， ‎ 则， ‎ 令，‎ 则， ‎ 由，得． ‎ x 单调递减 极小值 单调递增 由于， ‎ 所以，‎ 所以在上单调递增， ‎ 又，， ‎ ‎①当时， ，函数在有且只有一个零点，‎ ‎②当时，由于，所以存在唯一零点．‎ 综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.‎ ‎21.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．‎ ‎（1）对于数列：，写出集合及；‎ ‎（2）求证：不可能为18；‎ ‎（3）求的最大值以及的最小值．‎ ‎【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）的最大值为17， 的最小值为16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意易得，，． ‎ ‎（2）利用反证法，假设，可推出，这一集合元素互异性的矛盾；‎ ‎（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再证明：的最小值为16．‎ ‎【详解】（1）由题意易得，，.‎ ‎（2）证明：假设，‎ 设，‎ 则=，‎ 即，因为，所以，‎ 同理，设，可以推出，‎ 中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，‎ 不可能为18． ‎ ‎（3）的最大值为17，的最小值为16．‎ ‎①首先求，由（2）知，而是可能的．‎ 当时， ‎ 设 则=‎ 即， ‎ 又 得，即．‎ 同理可得：． ‎ 对于数列：‎ 此时，，满足题意．‎ 所以的最大值为17； ‎ ‎②现证明：的最小值为16．‎ 先证明为不可能的，假设． ‎ 设，‎ 可得，即，元素最大值为10，所以．‎ 又，‎ 同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以．‎ 数列为：时，‎ ‎，，中元素的最大值为16．‎ 所以的最小值为16．‎ ‎【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.‎