2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期期中考试数学试题 Word版

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‎2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期期中考试试题 ‎ 数 学 ‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试卷满分150分,考试时间120分钟；‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用黑色的钢笔或签字笔填写在答题卷密封线内相应的位置；‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效，考试结束后，只交答题卷，务必用黑色的钢笔或签字笔填写在各题指定答题处。‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 2‎ ‎3．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则命题p的否定为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1‎ ‎4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，则的值是( )‎ A. 1 B. 0 C. 3 D. ‎ ‎5.与向量平行的一个向量的坐标是(　　)‎ A. B. (-1,-3,2) C. D. ‎ ‎6.已知双曲线C: (‎ ‎)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若，则λ等于(　　)‎ A. 28 B. －28 C. 14 D. －14‎ ‎8.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. - C. D. -‎ ‎9、双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量是,则平面α与β所成的角等于(　　)‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎11. 如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(　　)‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）‎ ‎13.已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为__________．‎ ‎14.在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．‎ ‎15.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________.‎ ‎16.已知斜率为－的直线L交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于___________ .‎ 三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)求平面A1B1C的法向量;‎ ‎(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. ‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎ (2)过点M作MN⊥ FA，垂足为N，求点N的坐标. ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，‎ E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.‎ ‎(1)求证：BE⊥平面ACF；‎ ‎(2)求点E到平面ACF的距离．‎ ‎20.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求二面角F-BE-D的余弦值;‎ ‎(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．‎ 儋州一中2020届高二年级第一学期期中数学试题参考答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B D C A D A B D B C 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13、(，0,0) 14、 15、2 16、 三、解答题（共70分）‎ ‎17、【详解】(1)由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),‎ 设v=(x0,y0,z0)为平面A1B1C的法向量,则 v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,‎ v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,‎ 即令z0=1,则v=(-2,-2,1).‎ ‎(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ,而=(1,0,0),‎ 所以直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值sinθ ‎=.‎ ‎18、[解]　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，‎ 于是4＋＝5，p＝2，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．‎ 又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．‎ 因为MN⊥FA，所以kMN＝－，‎ 则MN的方程为y＝－x＋2.‎ 解方程组，得，‎ 所以N.‎ ‎19、(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．‎ ‎∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．‎ ‎∵·＝0，·＝0，‎ ‎∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.‎ ‎∴BE⊥平面ACF.‎ ‎(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，‎ ‎∴点E到平面ACF的距离d＝＝.‎ 故点E到平面ACF的距离为.‎ ‎20、（1）因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.‎ 因为DE⊥平面ABCD,‎ 所以BE与平面ABCD所成角为∠DBE，故∠DBE =60°,‎ 所以.‎ 由AD=3可知DE=3,AF=.‎ 则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),‎ 所以=(0,-3,),=(3,0,-2),‎ 设平面BEF的法向量为,‎ 则 令z=,则.‎ 同理得平面BDE的法向量为,(也可证AC⊥平面BDE,得即为法向量).‎ 所以cos<,>=.‎ 由图形得二面角F-BE-D为锐角,‎ 所以二面角F-BE-D的余弦值为.‎ ‎(2)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).‎ 则=(t-3,t,0),‎ 因为AM∥平面BEF,‎ 所以，‎ 解得t=2.‎ 此时,点M坐标为(2,2,0),BM=BD,符合题意.‎ 所以当BM=BD 时，满足AM∥平面BEF．‎ ‎21、解：（1）设C方程为，则．由，得a=4 ∴椭圆C的方程为．……4分 ‎（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0 由△＞0，解得﹣4＜t＜4‎ 由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12． ……………………6分 ‎ ‎∴==．‎ 由此可得：四边形APBQ的面积 ‎∴当t=0时，． ………………8分 ‎22、解：（1）由题设，得＋＝1， ①‎ 且＝， ②‎ 由①、②解得a2＝6，b2＝3， 椭圆C的方程为＋＝1． ‎ ‎（2）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．‎ 设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得 ‎(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，‎ ‎－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．‎ 设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，‎ 同理得x2＝． ‎ 因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，‎ 故kPQ＝＝＝＝＝1，‎ 因此直线PQ的斜率为定值．‎