河北省石家庄市辛集中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

河北省石家庄市辛集中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

数学 一.选择题（共 14 小题，每题 5 分）‎ 1. 在下列四个命题中，正确的共有 ‎ ‎ 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率； 直线的倾斜角的取值范围是 ；‎ ‎ 若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为 ； 若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 ．‎ A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ‎【答案】A 2. 已知直线 经过一、二、三象限，则有 ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C 3. 已知点 ， ，直线 l 的方程为 ，且与线段 AB 相交， 则直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 解： 直线 l 的方程 可化为，‎ 直线 l 过定点 ，且与线段 AB 相交，如图所示：‎ 则直线 PA 的斜率是 ， 直线 PB 的斜率是 ，‎ 则直线 l 与线段 AB 相交时，它的斜率 k 的取值范围是：‎ ‎ 或 ‎．‎ 故选 A．‎ ‎4.方程 表示的曲线是 A. 一个圆 ‎【答案】D B. 两个半圆 C. 两个圆 D. 半圆 解： 方程 等价于 ‎，‎ 表示的曲线是半个圆．‎ 故选 D．‎ ‎5.已知圆的方程为 ，过点 的该圆的所有弦中，最短弦的长为 ‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C 解：由 ，得 ， 圆心坐标为 ，半径为 3，‎ 如图：当过点 的直线与连接 P 与圆心的直线垂直时，弦 AB 长度最短，‎ 则最短弦长为 ‎．‎ 故选 C．‎ ‎6. 直线 l：‎ A. ‎ ‎【答案】D 上的点到圆 C：‎ B. ‎ C. 1‎ 上的点的最近距离为 ．‎ D. ‎ 解：由题知圆 C 可化为： ，则圆心为 ，半径 ，‎ 距离为：‎ ‎．‎ 圆心 到直线 ，‎ 因此，圆上点到直线的最短距离为故选 D．‎ ‎7.已知圆 ，直线 l： ，若圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距离都等于 1，则 b 的取值范围为 ‎ A. ‎ B. ‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D 解：由圆的方程：‎ ‎，‎ 可得圆的圆心为原点 ‎，半径为 2，‎ 若圆上恰有 4 个点到直线 l 的距离等于 1，则 O 到直线 l：的距离 d 小于 1， 直线 l 的一般方程为： ， ，‎ 解得 ，即 b 的取值范围为 ‎ 故选 D．‎ ‎8. 等差数列 中，若 ‎，‎ 是 的两根，则数列 的前 11 项和 A. 22‎ ‎【答案】D B.‎ C.‎ D. 11‎ 解：等差数列 中，若 ， 是方程 的两根， 则 ，‎ ‎ ， 的前 11 项的和为 ‎．‎ 故选 D．‎ 9. 数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则数列 的前 100 项的和为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解： ，‎ ‎ ，又 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， 数列 的 前 100 项的和为：‎ ‎ ． 故选 B．‎ 10. 满足条件 ， ， 的 的个数是 ‎ A. 1 B. 2 C. 无数个 D. 不存在 ‎【答案】D 解： ， ， ，‎ 由正弦定理可得： ，不成立，‎ 所以这样的三角形不存在． 故选 D．‎ 11. 中，a，b，c 分别为 ， ， 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，‎ ‎， 的面积为 ，那么 b 等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 解： ，b，c 成等差数列， ， 平方得 ，‎ 又 的面积为 ，且，‎ 由 ‎ ，解得 ‎，‎ 代入 式可得 ‎，‎ 由余弦定理得 解得 故选 B．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 9. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若， ，则的面积的最大值为 ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A 解： 在 中， ， ， 由正弦定理可得： ，‎ ‎ ，‎ ‎，即 ， 可得 ，‎ ‎， ，‎ 由余弦定理可得 ，‎ ‎ ，当且仅当 时取等号， 的面积 ．‎ 故选 A．‎ ‎‎ ìïy≥0‎ ‎‎ y－1‎ 9. 若实数 x、y 满足不等式组íx－y≥0‎ ïî2x－y－2≥0‎ ‎，则 ω＝x＋1的取值范围是( )‎ A．[－1 1‎ ‎B．[ 1 1‎ ‎C．[ 1‎ ‎∞) D．[ 1 1)‎ ‎，3]‎ ‎－2，3]‎ ‎－2，＋‎ ‎－2，‎ 解析 所求问题转化为求动点(x，y)与定点(－1,1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目 y－1‎ 标函数 ω＝ 表示阴影部分的点与定点(－1,1)的 x＋1‎ 连线的斜率，由图可见，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于 1，但永远达不到，故 ‎1‎ ‎－2≤w<1.‎ 答案：D ìïf(x)＋f(y)≤0， 14.已知函数 f(x)＝x2－2x，则满足条件í ïîf(x)－f(y)≥0‎ ‎‎ 的点(x，y)所在区域的面积为( )‎ A．4 π B．π ìïf(x)＋f(y)≤0，‎ 解析：í ïîf(x)－f(y)≥0，‎ ‎ 3π C. 2‎ ìï(x－1)2＋(y－1)2≤2，即í ïî(x－y)(x＋y－2)≥0.‎ ‎‎ D．2 π 区域为圆面(x－1)2＋(y－1)2≤2 和平面区域(x－y)(x＋y－2)≥0 的公共部分，如图．‎ 答案：B 二. 填空题（共 4 小题，每题 5 分）‎ ‎15. 若三点 ， ， C(8,10)‎ ‎【答案】-8‎ 由 得答案为-8．‎ ‎‎ 在同一直线上，则实数 b 等于 ．‎ 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎【答案】 ‎ 解：因为直线 恒过点 ， 所以当点 为切点时，半径最大，‎ 此时半径 ，故所求圆的标准方程为 ． 故答案为： ．‎ 17. 正项等比数列 中，存在两项 、 使得 ，且 ，则 ‎ 的最小值是 ．‎ 解：设正项等比数列 的公比为 q， ，‎ ‎， ，即 ，解得 或 舍去 ，‎ ‎， ， ，‎ ‎，‎ 当且仅当 ，即 时等号成立，‎ ‎，且 n 和 m 为正整数， 等号无法成立，‎ 经检验，当 ， 时， 最小值为： ，‎ 故答案为 .‎ ‎18.在△ABC 中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；‎ ‎②△ABC 一定是钝角三角形；‎ ‎③sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3；‎ ‎15 3‎ ‎2‎ ‎④若 b＋c＝8，则△ABC 的面积是 .‎ 其中正确结论的序号是 ．‎ 解析:由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，可设 a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，a，b，c 随着 k 的变化而变化，可知结论①错误．‎ k 2＋ k 2－ k 2‎ ‎∵cos A＝‎ ‎2×5k×3k <0，∴结论②正确．‎ ‎∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3，∴结论③正确．‎ ‎3‎ ‎15 3‎ ‎1‎ ‎∵cos A＝－‎ ‎，∴sin A＝ ，若 b＋c＝8，则 b＝5，c＝3，a＝7，则 S△ABC＝‎ ‎，∴结 ‎2 2 4‎ 论④不正确．‎ ‎【答案】 ②③‎ 三. 解答题（共 5 小题，每题 12 分）‎ 19. 设关于 x 的不等式的解集为 ．‎ ‎ 设不等式 的解集为 A，集合 ，求 ；‎ 若 ，求 的最小值．‎ 解：关于 x 的不等式的解集为 ‎ ‎ ，解得 ；‎ ‎ 不等式 可化为 ，‎ 由 解得 或 ，即 ； 又 ， ；‎ ‎ ， ，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当 时等号成立，‎ 即 的最小值为 3．‎ 19. 已知 O 为坐标原点，倾斜角为 的直线 l 与 x，y 轴的正半轴分别相交于点 A，B， 的面积为 ．‎ ‎ Ⅰ 求直线 的方程；‎ ‎ Ⅱ 直线 过点 O 且与 l 平行，点 P 在 上，求 的最小值．‎ 解： 由题意可得：直线 l 的斜率， 设直线 l 的方程为：．‎ 可得直线 l 与坐标轴的正半轴交点为， ，其中 ．‎ ‎ ，解得 ．‎ 直线 l 的方程为： ．‎ ‎ 由 可得： ， 直线 的方程为： 设点 A 关于直线 的对称点 ，‎ 则 ，解得 ，‎ ‎ 取得最小值．‎ ‎‎ ‎， 当 ，B，P 三点共线时，‎ ‎．‎ 19. 已知直线 l： 和圆 C： 当直线 l 与圆 C 相切时，求实数 m 的值；‎ ‎ 当直线 l 与圆 C 相交，且所得弦长为 时，求实数 m 的值．‎ 解： 由 得， ， 圆心 C 为 ， ；‎ 直线 与圆 C 相切， ‎ 解得 或 ；‎ 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，且弦长为， 由勾股定理得： ，‎ 由点到直线的距离公式得， ，‎ ‎，解得 ． 所以实数 m 的值为 3 或．‎ 19. 设 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 设 S 为 的面积，满足．‎ ‎ Ⅰ 求 B；‎ ‎ Ⅱ 若 ，求 的最大值．‎ 解： Ⅰ ， ，即 ， 由 变形得： ，‎ 整理得： ，又 ；‎ Ⅱ ， ，‎ 由正弦定理知 ， ，‎ ‎ ，‎ 当且仅当 时取最大值，故 的最大值为 ．‎ 19. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ． 求数列 的通项公式；‎ 若 ，设数列 的前 n 项和为 ，证明 ．‎ 解：‎ 当 时，‎ ‎，得 ‎，‎ 当 时，‎ ‎，‎ 则 ，即 ，‎ 所以数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 ； 由 得 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 两式相减得 ，‎ 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 即 ．‎