数学理卷·2018届西藏自治区拉萨中学高二下学期期末考试（第八次月考）（2017-07）

数学理卷·2018届西藏自治区拉萨中学高二下学期期末考试（第八次月考）（2017-07）

拉萨中学高二年级（2018届）第八次月考理科数学试卷 ‎（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）‎ 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．（1+i）（2+i）=‎ A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i ‎3．已知命题， ，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 不存在 ‎4．已知为锐角，且，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列是递增等比数列，，则公比 A. B‎.4 C.-2 D.2‎ ‎7．已知平面向量与的夹角等于，，则=‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎8．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. 2+ D. ‎ ‎9．执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=‎ ‎ ‎ A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎ 10．过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），为C的准线，点N在上且MN⊥，则M到直线NF的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．若函数为偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知三次函数的图象如图所示，则=（ ）‎ ‎ ‎ A.-1 B‎.2 C.-5 D.-3‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若实数满足条件，则的最大值是________.‎ ‎14．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ ‎ ‎ ‎1‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为__________．‎ ‎0‎ ‎15．已知幂函数的图像过点（9，3），则 ‎ ‎16．已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若， ，求.‎ ‎18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和.‎ ‎19．随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查50人,并将调查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎10‎ 赞成人数 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎ （1）世界联合国卫生组织规定: 岁为青年， 为中年，根据以上统计数据填写以下列联表：‎ 青年人 中年人 合计 不赞成 赞 成 合 计 ‎ ‎ ‎（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关？‎ 附： ，其中 独立检验临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ （3）若从年龄,的被调查中各随机选取1人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20．如图，菱形与四边形BDEF相交于BD， 平面ABCD，DE//BF,BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点， ．‎ ‎（I）求证：GM／／平面CDE；‎ ‎（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎21．如图，椭圆的离心率为点（）为椭圆上的一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于、两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值.‎ ‎22．设函数， .‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，使得成立，求的取值范围.‎ 理数参考答案 ‎1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C ‎13． 14． 15．2/3 16．‎ ‎17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形， 可化为，由于待证的是，所以将换成，然后根据公式展开， ，于是有，所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当， 时， ，于是根据余弦定理可以求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得． ‎ ‎（Ⅱ）由，且， ，得， ‎ 由余弦定理， ，‎ 所以．‎ ‎18．（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析： (1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;‎ ‎(2)利用裂项相消法求和.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知： ‎ 解得，故数列； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ‎ 则 ‎ 点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数据填写列联表；‎ ‎（2）计算，对照数表即可得出结论；‎ ‎（3）的可能取值为，分别计算概率即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)‎ 青年人 中年人 合计 不赞成 赞成 合计 ‎ ‎ ‎(2)由（1）表中数据得 ‎. ，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关.‎ ‎（3）的可能取值为， ，‎ ‎，所以随机变量的分布列：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以数学期望.‎ ‎20．（I）见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：(I) 取的中点，连接，要证平面，只需证平面平面，又， 可得；‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量求解即可.‎ 试题解析：‎ 证明：（Ⅰ）取的中点，连接.‎ 因为为菱形对角线的交点，所以为中点，又为中点，所以，‎ 又因为分别为的中点，‎ 所以，又因为，所以，‎ 又，所以平面平面，‎ 又平面，所以平面； ‎ ‎（Ⅱ）连接，设菱形的边长，则由，得，‎ 又因为，所以，‎ 则在直角三角形中， ，所以，且由平面， ，得平面.‎ ‎ ‎ 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则 ‎ 则，设为平面的一个法向量，则即令，得，所以，‎ 又，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎21．(Ⅰ)∵e=3√3,∴c=3√‎3a,∴a2=b2+(3√‎3a)2①，‎ 又椭圆过点(3√,2√),∴‎3a2+2b2=1②‎ 由①②解得a2=6,b2=4，‎ 所以椭圆E的标准方程为x26+y24=1；‎ ‎(Ⅱ)证明：设直线l:y=kx+1，‎ 联立x26+y24=1y=kx+1得：(3k2+2)x2+6kx−9=0，‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2)，‎ 则有x1+x2=−6k3k2+2,x1x2=−93k2+2.‎ 易知B(0,−2)，‎ 故kBC⋅kBD=y1+2x1⋅y2+2x2=kx1+3x1⋅kx2+3x2=k2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2‎ ‎=k2+3k(x1+x2)x1x2+9x1x2=k2+3k⋅2k3−(3k2+2)=−2，为定值。‎ ‎22．（1）的极大值为，极小值为0；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导，令得或，进而列表讨论单调性即可得极值；‎ ‎（2），使得，等价于当时， ，进而求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，令得或.‎ 当变化时， 与的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 递减 极小值0‎ 递增 极大值 递减 ‎ ‎ 故函数的极大值为，极小值为0.‎ ‎(2) ，使得，等价于当时，‎ ‎，‎ 由得，‎ 当时， ， 递减，当时， ， 递增，‎ 所以当时， .‎ 由(1)知，解得.‎ 故的取值范围是.‎ 点睛：解决本题的关键是确定两个函数的关系，此题中不等式的变量是无关的，所以在找最值时可以淡化一个，只考虑一个就行,对于，要求存在都要满足不等式，故转化成求在的最大值满足不等式即可，而对于是要求存在满足不等式，故转化为满足不等式即可，即得.‎