甘肃省兰州市2020届高三诊断考试数学（理）试题

甘肃省兰州市2020届高三诊断考试数学（理）试题

‎2020年兰州市高三诊断考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义求解．‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A. 5 B. C. 13 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先进行除法运算化简，再求模即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.‎ ‎3.已知非零向量，给定，使得，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各个命题中向量，的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．‎ ‎【详解】，使得，则，共线，‎ 等价于，同向，‎ 因此是的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎4.若，则（ ）‎ A 4 B. ‎3 ‎C. -4 D. -3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对等式两边分别化简，然后可求值．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎∴，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键．‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线yx上，得到a＝2b，再根据e求解.‎ ‎【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线yx上，‎ 所以a＝2b，即a2＝4b2，‎ 所以e，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎6.已知集合，从中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率．‎ ‎【详解】，，，，因此 这一对正弦值相等，这三个中任取2个共有三对，它们正弦值相等，‎ 共有4对正弦值相等，而从5个角中任取2个有10种取法，‎ ‎∴概率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，可用列举法写出基本事件．‎ ‎7.已知函数，且，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0和1比较幂和对数的的大小，最后可得结论．‎ ‎【详解】由题意知是偶函数，由复合函数单调性知在上，函数单调递增，‎ ‎，，，，‎ 又，∴．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．‎ ‎8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：‎ 年份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 羊只数量（万只）‎ ‎1.4‎ ‎0.9‎ ‎0.75‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ 草地植被指数 ‎1.1‎ ‎4.3‎ ‎15.6‎ ‎31.3‎ ‎49.7‎ 根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．‎ ‎【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误；‎ 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，∵第一组数据是离群值，去掉后得到的相关系数为，其相关性更强，∴，②正确；‎ 对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；‎ 综上可知正确命题个数是1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题．‎ ‎9.已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥高和底面的半径相等，且点D为底面圆周上的一点，∠ABD＝60，可知D为的中点，则以底面中心为原点，分别以OD，OE，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量，的坐标，代入公式cos，求解.‎ ‎【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB.‎ ‎∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，‎ ‎∴AB＝AD＝DB；‎ ‎∴D为的中点 建立如图所示空间直角坐标系，‎ 不妨设OB＝1.‎ 则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），‎ ‎∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），‎ ‎∴cos，，‎ ‎∴异面直线AM与PB所成角的大小为.‎ ‎∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数（），若函数的图象与直线在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程在上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得的范围.‎ ‎【详解】，‎ 的图象与直线在上有3个不同交点，‎ 即方程在上有3个实根，‎ 由得，所以，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.‎ ‎11.已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过做，点为垂足，过作抛物线的切线，交轴于点，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出焦点坐标，设，由导数知识得出切线斜率，计算斜率，结合抛物线定义得 为的垂直平分线．这样，问题可转化为求抛物线上点到焦点和抛物线外一定点距离和的最小值．‎ ‎【详解】由已知，设，，，则过的切线斜率为，点坐标为，，，根据抛物线定义有， 为的垂直平分线． ，‎ ‎∴，当且仅当共线时等号成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的切线，抛物线上的点到焦点与定点距离和的最小值问题．解题关键是得出切线是线段的垂直平分线，从而进行问题的转化．‎ ‎12.对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ）‎ A. ② B. ③ C. ①③ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据函数单调性定义和“保值函数”的概念判断即可，②结合函数的图象可得结论，③由导数确定函数在是单调递增的，而方程有两个解（），构造新函数，由零点存在定理确定的零点即可．‎ ‎【详解】由“保值函数”定义可知为区间上的“保值函数”则在上是单调函数且在区间时其值域也为，那么当函数为增函数时满足条件在上有两个不同的实数解，的函数就是“保值函数”，‎ 命题①中，虽满足在上单调但值域为，不是，故①为假命题；‎ ‎②中由的图象可知，函数在上单调且值域为，其为区间上的“保值函数”故②为真命题；‎ ‎③中，则由在成立，所以为上的增函数，再由解得有两个根，，构造函数，是减函数，，，由零点存在性定理知存在，使 成立，故③为真命题．综上所有真命题的序号为②③，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义“保值函数”，围绕在上单调，且在区间上，其值域也是是解题关键，考查转化与化归思想，属于难题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知函数，则_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义域，先求，再求的值.‎ ‎【详解】∵函数，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（）＝2.‎ ‎.故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，满足，向量，夹角为，且，则向量________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由垂直得数量积为0，从而得，得，然后把模的运算转化为数量积运算即得．‎ ‎【详解】由得，，即，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系．‎ ‎15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蜂房的表面积是_____.‎ ‎【答案】216‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，‎ ‎∵四边形OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，‎ ‎∴OC′＝226，B′C′＝3，‎ ‎∴CC′＝BB′4，‎ ‎∴S梯形BB′CC′27，‎ ‎∴S表面积＝63216.‎ 故答案为：216.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，点是的内心，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用余弦定理求得角，求出，从而得和，再在中应用正弦定理可得．‎ ‎【详解】由余弦定理得，，‎ 同理，‎ 故．‎ ‎∵，得，在中，由正弦定理，‎ 得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，在已知三角形的三条边时，一般用余弦定理求得三角形内角，如果只已知一边及三角形的两内角，则一般用正弦定理求解．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在等差数列中，，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，若，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由等差数列的基本量法求得通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用裂项相消法求得数列的前项和，然后解方程可得．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差是，由，得：‎ 解得，所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），‎ 得到．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，掌握等差数列的基本量法是解题基础．数列求和除公式法外还有错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法等．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点在面内的射影为，，点到平面的距离为，且直线与垂直．‎ ‎（Ⅰ）在棱上找一点，使直线与平面平行，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）点为中点时直线与平面平行，证明详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）点为中点时，连接，交于点，可得，从而得线面平行；‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，利用已知垂直可证平面，从而有，，得二面角的平面角为，它与互补，结论可得．‎ ‎【详解】（Ⅰ）点为中点时直线与平面平行，‎ 证明：连接，交于点，则点为的中点，因为点为中点，‎ 故为的中位线，则，平面，平面，所以与平面平行．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，底面，底面，则有，‎ ‎，所以平面，‎ 由（Ⅰ）可知，又，所以，‎ 平面，平面，所以，‎ 取中点，连接，由于是中点，则，，‎ ‎∴为二面角的平面角，其为钝角，‎ 那么，所成的角即为二面角的补角，‎ 等腰直角中，，‎ 因此二面角的大小为．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角．求二面角时关键是作出二面角的平面角，从而利用等角定理得解．本题考查了学生的空间想象能力，逻辑思维能力，属于中档题．‎ ‎19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于‎30”‎的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：‎ 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关?‎ ‎（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表详见解析，有的把握认为，数据标记“*’与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ），‎ ‎，该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图可得所求概率；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图填写列联表，计算，对照临界值表可得结论；‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图计算出和，计算，可得结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设“坡腰处—个插钎风蚀值小于‎30”‎为事件 ‎（Ⅱ）完成列联表如下：‎ 标记 不标记 合计 坡腰 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 坡顶 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 根据列联表，计算得：‎ 所以有的把握认为，数据标记“*’与沙丘上插钎所布设的位置有关．‎ ‎（Ⅲ）∵‎ ‎，该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，考查运算求解能力．属于中档题．‎ ‎20.已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有求解.‎ ‎（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，解得，‎ ‎∴b2＝a2﹣c2＝3，‎ ‎∴椭圆标准方程为：；‎ ‎（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），‎ 设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，‎ 故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，‎ 由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴，‎ 由得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴k1k2•，‎ 又∵，‎ ‎∴k1•k2＝e2﹣1.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数（a∈R且a≠0）.‎ ‎（1）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；‎ ‎（3）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.‎ ‎【答案】（1）x+y﹣21＝0.（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据a，得到求导，再利用导数的几何意义求切线方程.‎ ‎（2）根据f′（x）＝2，由﹣x2+2x﹣a＝0，根据定义域，分△＝12﹣‎4a＞0且，a＜0，△≤0，三种情况讨论求解.‎ ‎（3）根据y＝f（x）有两个极值点x1，x2，由（2）知，﹣x2+2x﹣a＝0有两个正根x1，x2，△＝12﹣‎4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，然后将f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，转化为alna﹣lna﹣a+2＞0，a∈（0，3）成立，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，利用导数法求其最小值即可.‎ ‎【详解】（1）因为a时，，‎ 所以f′（x）＝2x，f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，‎ 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），‎ 即x+y﹣21＝0.‎ ‎（2）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 因为f′（x）＝2，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣‎4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，‎ 当a∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，‎ 所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ 即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数.‎ 又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数.‎ 当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，‎ 综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；‎ 当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞‎ ‎）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；‎ 当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数.‎ ‎（3）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，‎ 则f′（x）0有两个正根x1，x2，即﹣x2+2x﹣a＝0有两个正根x1，x2，可得：△＝12﹣‎4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，‎ 即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，‎ 若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，‎ 构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，‎ 又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，‎ 所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，‎ 即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），‎ 又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），‎ 所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式证明等，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为.‎ ‎（1）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；‎ ‎（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线l的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长.‎ ‎（2）将曲线C2的直角坐标方程转换为参数方程为（0≤θ≤π），由A（1，0），B（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到，的坐标，再利用数量积公式得到，然后用正弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，‎ 得直角坐标方程为x+y﹣1＝0，‎ 因为曲线C1的极坐标方程为，‎ 所以 所以直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，‎ 标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，‎ 所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，‎ 所以弦长|MN|＝2.‎ ‎（2）因为曲线C2的直角坐标方程为.‎ 所以x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）.‎ 因为A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），‎ 所以，，（0≤θ≤π），‎ 所以，‎ 因为 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣‎2a|+a.‎ ‎（1）求不等式f（x）＞4解集；‎ ‎（2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）[﹣4，0]‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值，再分类解不等式f（x）＞4.‎ ‎（2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，则f（x）min≥g（x）min，由（1）知， f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣‎2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣‎2a）|+a＝|‎2a+2|+a，解不等式2≥|‎2a+2|+a即可.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以f（x）＞4即为或或，‎ 解得或x＞1，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣‎2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣‎2a）|+a＝|‎2a+2|+a，‎ 由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，‎ 故f（x）min≥g（x）min，‎ 即2≥|‎2a+2|+a，‎ 所以 解得﹣4≤a≤0，‎ 所以实数a的取值范围为[﹣4，0].‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎ ‎