北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

北京市海淀区2019-2020学年度第二学期首师附中高一数学第二次月考考试试卷 一、单选题（共40分，每小题4分，共10小题）‎ ‎1.函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.‎ ‎【详解】 ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎2.用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为，那么的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．‎ 考点：函数零点存在性定理的应用．‎ ‎3.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，当x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．‎ ‎【详解】∵二次函数f（x）＝x2+bx+c＝+c﹣，对称轴x＝﹣，‎ ‎①﹣＜﹣1即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]递增，‎ f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣b+c，f（x）max＝f（1）＝1+b+c，‎ 故f（﹣1）﹣f（1）＝﹣2b，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得 ，‎ ‎②﹣＞1时，即b＜﹣2时，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，‎ ‎③当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，函数f（x）在[﹣1，-]递减，函数f（x）在[﹣，1]递增，‎ ‎|f（1）﹣f（﹣）|≤6，且|f（﹣1）﹣f（﹣）|≤6，‎ 即|+b+1|≤6，且|﹣b+1|≤6，解得：﹣3≤b≤3，又﹣2≤b≤2，‎ 故b的取值范围是 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.‎ ‎4.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后求两个集合的交集.‎ ‎【详解】依题意，故，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎5.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数有意义，则：，求解不等式组可得：，‎ 据此可得函数的定义域为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6.设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{mR|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列说法正确的是 A. P是Q 的真子集 B. Q是P的真子集 C. P＝Q D. P∩Q＝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合，在根据集合之间的关系，即可求解.‎ ‎【详解】当m＝0时，－4＜0对任意实数x恒成立；‎ 当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立可得，‎ 解得－1＜m＜0．综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以P＝Q，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的判定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.‎ ‎7.已知是第二象限的角，角终边经过点，则为第几象限的角：‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据所在的象限，判断出的符号，由此判断出点所在象限，进而求得终边所在象限.‎ ‎【详解】由于是第二象限角，所以，所以在第四象限，故为第四象限角，故选:D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.‎ ‎8.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.‎ ‎9.已知正实数，满足，则的最小值（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，再利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】当且仅当时取等.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2等于( )‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反比例函数的解析式可得，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影部分的面积，求得的值.‎ ‎【详解】∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向轴、轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查反比例函数的图像与性质，考查矩形面积的计算，属于基础题.‎ 二、填空题（共25分，每小题5分，共5小题）‎ ‎11.已知向量，且与共线，则x的值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，由与共线得，解得．‎ 考点：向量的共线．‎ ‎12.若a10=，am=，则m=______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎13.如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：‎ 给出下列说法：（1）图②的建议：提高成本，并提高票价；（2）图②的建议：降低成本，并保持票价不变；（3）图③的建议：提高票价，并保持成本不变；（4）图③的建议：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是______．‎ ‎【答案】（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知图像反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图像进行说明．‎ ‎【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故（2）正确；‎ 由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故（3）正确.‎ 故答案为（2）（3）‎ ‎【点睛】本题考查用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．‎ ‎14.复数的值是____________.‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．‎ ‎【详解】复数 ‎ 故答案为-1‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎15.已知函数（且）恒过定点，则________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.‎ ‎【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.‎ 三、解答题（共6小题，共85分）‎ ‎16.设为常数．‎ ‎（1）若为奇函数，求实数的值；‎ ‎（2）判断在上单调性，并用单调性的定义予以证明;‎ ‎（3）求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）函数在上是减函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，函数为奇函数，则，或根据奇函数的定义可求实数的值；（2）利用函数单调性的定义，计算 ‎，判断其符号正负，即可判断并证明在上的单调性；（3）由（2）易得在上的最小值．‎ 试题解析：（1）法一：由函数为奇函数，得即，‎ 所以 法二：因为函数为奇函数，所以，‎ 即 ‎∴‎ ‎，‎ 所以 ‎（2）证明：任取，且 则有 ‎∵，∴，∴，∴，‎ ‎，即 所以，对任意的实数，函数在上是减函数 ‎（3）∵函数在上为减函数，‎ ‎∴函数在上为减函数，‎ ‎∴当时，‎ 考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值 ‎17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.‎ ‎（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？‎ ‎【答案】（1），定义域（2）先在DE上截取线段，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.‎ ‎（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.‎ ‎【详解】（1）依据题意并结合图形,可知：‎ ‎①当点落在线段上 即时,；‎ ‎②当点在线段上,‎ 即时,由,‎ 得.‎ 于是.‎ 所以 定义域.‎ ‎（2）由（1）知,当时,；‎ 当时,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 因此,y的最大值为.‎ 答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于基础题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（I）求的值和函数的最小正周期；‎ ‎（II）求的单调递减区间及最大值，并指出相应的x的取值集合.‎ ‎【答案】（I）；（II），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.‎ ‎【详解】（I）， ‎ ‎,‎ 函数的最小正周期；‎ ‎（II）由（I）知，函数的最大值为2，‎ 相应x的集合为,‎ ‎，‎ ‎∴的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度.‎ ‎19.解关于不等式.‎ ‎【答案】当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．‎ ‎【详解】解：原不等式可化为，即，‎ ‎①当时，原不等式化为，解得，‎ ‎②当时，原不等式化为，‎ 解得或，‎ ‎③当时，原不等式化为.‎ 当，即时，解得；‎ 当，即时，解得满足题意；‎ 当，即时，解得.‎ 综上所述，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.‎ ‎20.已知，函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的最大值及此时的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）时，函数有最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求 ‎（2）由已知可求，结合二次函数的性质可求函数的最值及相应的x．‎ ‎【详解】解：（1），．‎ 由题意可得，，‎ 解可得，‎ 即函数的定义域；‎ ‎（2），‎ 设，则，‎ 而在单调递增，‎ 当，即时，函数有最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数的定义域是容易出错点．‎ ‎21.设“关于的不等式的解析为”，“函数在区间上有零点”.‎ ‎（1）若为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若为假，为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由命题为真，则，即可求解实数的取值范围.‎ ‎（2）根据为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数是增函数，所以若为真，则，解得.‎ ‎（2）若为真，则，即，解得，‎ 因为为假，为真，所以中一真一假，‎ 若真假，则；‎ 若假真，则，‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎ ‎