内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题

内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题

内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校 ‎2018-2019学年高二下学期期中考试 数学（文）试题 ‎（命题人：张海燕 审核人：刘江泉 分值 150 时间 120分钟 ）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎2. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）‎ ‎1.已知全集,集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由及可得,所以 ,故选A.‎ 考点：集合的交集与补集运算.‎ ‎2.复数z=的虚部为（ ）‎ A. 2 B. ﹣‎2 ‎C. 2i D. ﹣2i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：z=,其虚部为，故选B.‎ 考点：复数的基本运算.‎ ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为 即，‎ 利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，‎ 故选C．‎ 考点：分式不等式的解法.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是 A. [–3,0] B. [–3,2] C. [0,2] D. [0,3]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点 处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是[–3,2].‎ 所以选B ‎【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.‎ ‎5.若a=log2，b=0.48，c=ln2，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，再根据大小判断关系即可。‎ ‎【详解】 ， ， ‎ 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查比较大小，属于基础题。‎ ‎6.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先从对数式有意义，需要真数大于零，再利用偶次根式有意义，需要被开方式大于等于零，列出满足条件的不等式组，最后求得结果.‎ ‎【详解】函数，所以，‎ 解得，所以函数的定义域是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查是有关求函数的定义域的问题，涉及到的考点就是有关函数定义域的求法，对应特殊式子有意义的条件即可.‎ ‎7.设函数，则的表达式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，知，令，则，先求出，由此能求出.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数解折式的求解及常用方法，解题时要认真审題,仔细解答，注意合理地进行等价转化.‎ ‎8.如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则= （ ）‎ A. 2 B. 12‎ C. 8 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为切点在曲线上，所以，根据导数几何意义，等于曲线在点的切线斜率，即，‎ 考点：导数的几何意义 ‎9.函数y=log（5+4x-x2）的单调递增区间为 A. (2, 5) B. (-1, 2)‎ C. (-∞, 2) D. (2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出定义域，再由复合函数的单调性“同增异减”判断即可 ‎【详解】解 ，解得 ‎ 内层函数在上单调递增，在上单调递减。‎ 外层函数单调递减 所以的单调递增区间 ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要注意是定义域优先原则，属于基础题。‎ ‎10.已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意：函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，‎ ‎∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴是增函函，故得对称轴x=﹣≥1，解得：a≤﹣2．‎ 反比例函数在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；‎ 又∵函数f（x）是增函数，‎ 则有：，解得：a≥﹣3．‎ 所以：a的取值范围[﹣3，﹣2]．故选D．‎ ‎11.为了得到函数y=9×3x+5的图象，可以把函数y=3x的图象 A. 向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B. 向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简后根据左加右减原则判断即可。‎ ‎【详解】化简 ‎ 将函数向左平移2个单位得到，再向上平移5个单位得到 故选C ‎【点睛】本题考查函数的平移变换，属于基础题。‎ ‎12.若函数为奇函数，且在上是增函数，又的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性性质，结合特殊值，在坐标系中作出函数简图，由奇函数性质化简不等式，借助图像即可求出解集.‎ ‎【详解】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：‎ 由奇函数定义化简解析式：，即与x异号即可，‎ 由图像可知当或时与x异号.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义以及图像特点，由题意作出图像可极大降低题目的难度，便于快速求出结果.‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数 对于任意实数满足条件，若f(1)=－5，则f[f(5)]＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题干中说明的周期为4，利用周期性化简即可得出答案。‎ ‎【详解】因为，，即函数 的周期为4.‎ 当时，，‎ 所以 故填 ‎【点睛】本题考查周期函数，属于基础题。‎ ‎14.函数的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设，设，即，可得函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值，此时最小值．‎ 考点：函数的最值．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到式子的构造、基本不等式的应用、函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及推理与运算能力，本题的解答中通过构造函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ ‎15.函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，所以当即时，，所以定点。设，将代入有，解得 所以，则 ‎16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时， f（x）=2x-x2 则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017） =__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等式知道函数的周期为4，计算出一个周期内的函数值之和，‎ 再计算有多少个周期余几项即可得出答案。‎ ‎【详解】因为 ‎ 所以，即函数的周期为4‎ 又，‎ 所以 ‎ ，‎ 即 故填1‎ ‎【点睛】本题考查周期函数，属于基础题。‎ 三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。)‎ ‎17.在中 若，求的面积；‎ 若，求的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理求得，可得，求出后可得面积；（Ⅱ）根据，利用余弦定理建立方程，求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理得： ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，则 根据 可得：‎ 解得：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题；关键是能够通过互补角的余弦值互为相反数的关系建立起方程，从而求得结果.‎ ‎18.已知f（x）是二次函数，且f（-1）=4，f（0）=1，f（3）=4．‎ ‎（1）求f（x）的解析式．‎ ‎（2）若x∈[-1，5]，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设二次函数 ，将三个点代入解方程组即可 ‎（2）判断函数在区间上的单调性，即可求出其值域。‎ ‎【详解】（1）设二次函数为 ，将三个点代入有 ‎ 解得，‎ 所以函数 ‎（2）函数，开口向上，对称轴 ，‎ 即函数在 单调递减，在单调递增 所以，即 ‎【点睛】本题考查二次函数的解析式，与定区间上的值域，属于基础题。‎ ‎19.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人．女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动．‎ ‎（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；‎ ‎（2）判断性别与休闲方式是否有关系．‎ 下面临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=）‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）有的把握认为休闲方式与性别有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数据建立表格即可。‎ ‎（2）根据公式计算出与6.635比较，若大于等于则有的把握认为休闲方式与性别有关系，反之则无。‎ ‎【详解】（1）2×2的列联表：‎ 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 男 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎50‎ ‎60‎ ‎110‎ ‎（2）根据列联表中的数据，计算的观测值为 ‎=≈7.822＞6.635，‎ 所以有99%的把握认为休闲方式与性别有关系．‎ ‎【点睛】本题考查列联表与检验，属于基础题。‎ ‎20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎21.设函数在及时取得极值．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，‎ 的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎