数学（理）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第六次摸底考试（2017

数学（理）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第六次摸底考试（2017

吉林省吉林大学附属中学 2017 届高三第六次摸底考试 数学理 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 命题人： 审题人： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 铅笔填涂；非选择题必须使用 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题（本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）已知 则 （A） （B） （C） 或 （D） 或 （2）已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第 三象限 （D）第四象限 （3）在等差数列 中， 则 （A） （B） （C） （ D ） 2B 0.5 { | 1 2} { | 3}U M x x N x x= = − =R ， ≤ ≤ ， ≤ ， ( )U M N = { | 2 3}x x≤ ≤ { | 2 3}x x< ≤ { | 1x x −≤ 2 3}x≤ ≤ { | 1x x < − 2 3}x< ≤ 2 i 1 iz += + z { }na 1 5 48 7a a a+ = =， ， 5a = 11 10 7 3 （4）平面向量 与 的夹角为 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （5）执行下列程序后，输出的 的值是 （A）5 （B）4 （C）10 （D）11 （6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器—— 商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（单位：立方 寸），则图中的 为 （A）1.2 （B）1.6 （C）1.8 （D）2.4 （7）2014 年 5 月 12 日，国家统计局公布了《2013 年农民工监测调查报告》，报告显示： 我国农 民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图 1， 并将人均月收入绘制成如 图 2 的不完整的条形统计图． a b 60° | | 2 | | 1= =，a b | 2 |+ =a b 3 2 3 4 12 i π x i＝1 WHILE i＜＝10 i＝i＋5 WEND PRINT i END 图 1 图 2 根据以上统计图来判断以下说法错误的是 （A）2013 年农民工人均月收入的增长率是 （B）2011 年农民工人均月收入是 元 （C）小明看了统计图后说：“农民工 2012 年的人均月收入比 2011 年的少了” （D）2009 年到 2013 年这五年中 2013 年农民工人均月收入最高 （8）函数 是 上的偶函数，且在 上为增函数．若 ，则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 或 （9）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两 点， ，则 的实轴长为 （A） （B） （C）4 （D） （10）在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车 和 8 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙 型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最 少运输费用为 （A）2000 元 （B）2200 元 （C）2400 元 （D）2800 元 （11）已知 、 、 是球 的球面上三点， ， ，且棱锥 5 2010 2011 2012 2013 年份 增长率% 10 15 20 25 30 2009 农民工人均月收入增长率统计图 0 500 2010 2011 2012 2013 年份 收入（元） 1000 1500 2000 2500 3000 2009 农民工人均月收入统计图 0 1470 1764 2205 2911 10% 2205 ( )y f x= R ( 0]−∞， ( ) (2)f a f≤ a 2a ≤ 2a −≥ 2 2a− ≤ ≤ 2a −≤ 2a≥ C x C 2 16y x= A B、 | | 4 3AB = C 2 2 2 8 A B C O 2 2 3AB AC= =， 60ABC∠ = ° 的体积为 ，则球 的表面积为 （A） （B） （C） （D） （12）已知函数 ， （ 是常数），若 在 上 单调递减，则下列结论中：① ；② ； ③ 有最小值. 正确结论的个数为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线 上）． （13）已知函数 ，则 ________. （14）若 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系 数　　． （15）已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ， 则 的最小值　　　　． （16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 与两直线 及 所围成 的阴 影部分的面积 .①利用计算机先产生 组均匀随机数 ， ；②生成 个点 ，并统计满足条件 的点的个数 ，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当 时， O ABC− 4 6 3 O 10π 24π 36π 48π 3 2( )f x x ax bx c= + + + 2( ) 3 2g x x ax b= + + a b c，， ( )f x (0 1)， (0) (1) 0f f⋅ ≤ (0) (1) 0g g⋅ ≥ 2 3a b− 0 1 2 3 2(3 1) 3 2f x x x+ = + + (4)f = 1( )nx x + 3 7 2 1 x { }na 7 6 52a a a= + m na a， 14m na a a⋅ = 1 4 m n + 2 2 xy = 2x = 0y = S N ( ) ( 1, 2 , 3 )i ix y i N= ， [ ] [ ]0 , 2 0 , 2i ix y∈ ∈， N ( )i ix y， 2 2 i i xy < 1N 1000N = x y O A(2，0) B C(0，2) f (x) 2 x2 2 1 3 ，则据此可估计 的值为__________． 三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤）． （17）（本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形 中， ， . （Ⅰ）设 、 的面积分别为 ，求证： ； （Ⅱ）求 和 的长. （18）（本小题满分 12 分） 在等腰 中， ，腰长为 ， 、 分别是边 、 的中点，将 沿 翻折，得到四棱锥 ，且 为棱 中点， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求二面角 的余弦值，若不存在，请说明理由． （19）（本小题满分 12 分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某 1 332N = S ABCD 2 6 2 2 3AB AD BC= = + =， ， 120ABC∠ = °， 75DAB∠ = ° ABC△ ABD△ 1 2S S， 2 1S S> BD DC D C BA Rt ABC△ 90BAC∠ = ° 2 D E AB BC BDE△ DE B ADEC− F BC 2BA = EF ⊥ BAC AD Q //AF BEQ Q BE A− − B D A C E B D E C F A Q 医院抄录了 至 月份每月 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资 料： 日期 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 昼夜温差 就诊人数 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 组（每个有序数对 叫作一组）数据中随机选 取 组作为检验数据，用剩下的 组数据求线性回归方程. （Ⅰ）求选取的 组数据恰好来自相邻两个月的概率； （Ⅱ）若选取的是 月和 月的两组数据，请根据 至 月份的数据，求出 关于 的线性 回归方程； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过 人，则认为 得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？ 参考公式： . 1 6 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 ( C)x  10 11 13 12 8 6 ( )y 个 22 25 29 26 16 12 6 ( )x y， 2 4 2 1 6 2 5 y x 2 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) ˆˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx = = = =  − − −  = = − −  = − ∑ ∑ ∑ ∑ （20）（本小题满分 12 分） 如图，设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， ， ， 的面积为 . （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆 有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆 的方程，若不存在，请说明理由. （21）（本小题满分 12 分） 函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，且 . （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）证明： （ 为 的导函数）. （Ⅲ）设点 在函数 图象上，且 为等腰直角三角形，记 ，求 的值. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系中，椭圆 的参数方程为 ( 为参数)，已知以坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （Ⅰ）把椭圆 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）设 分别为椭圆 上的两点，且 ，求 的值. 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2F F， D 1 1 2DF F F⊥ 1 2 1 | | 2 2| | F F DF = 1 2DF F△ 2 2 y x ( ) e ( )xf x ax a a= − + ∈R x 1( 0)A x ， 2( 0)B x ， 1 2x x< a 1 2( ) 0f x x′ < ( )f x′ ( )f x C ( )f x ABC△ 2 1 1 1 x tx − =− ( 1)( 1)a t− − C 2cos 3sin x y α α = = ， ， α x C A B， C OA OB⊥ 2 2 1 1 | | | |OA OB + F1 F2 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 的解集不是空集，求参数 的取值范围. ( ) | 3| | | ( )f x x x m x= − + + ∈R 1m = ( ) 6f x ≥ ( ) 5f x ≤ m 参考答案 一、选择题（本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）已知 则 （A） （B） （C） 或 （D） 或 解析：（D） （2）已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第 三象限 （D）第四象限 解析：（D） （3）在等差数列 中， 则 （A） （B） （C） （ D ） 解析：（B） （4）平面向量 与 的夹角为 ， ，则 （A） （B） （C） （D） 解析：（B） （5）执行下列程序后，输出的 的值是 （A）5 （B）4 （C）10 （D）11 解析：（D） （6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器—— 商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（单位：立方 寸），则图中的 为 { | 1 2} { | 3}U M x x N x x= = − =R ， ≤ ≤ ， ≤ ， ( )U M N = { | 2 3}x x≤ ≤ { | 2 3}x x< ≤ { | 1x x −≤ 2 3}x≤ ≤ { | 1x x < − 2 3}x< ≤ 2 i 1 iz += + z { }na 1 5 48 7a a a+ = =， ， 5a = 11 10 7 3 a b 60° | | 2 | | 1= =，a b | 2 |+ =a b 3 2 3 4 12 i π x i＝1 WHILE i＜＝10 i＝i＋5 WEND PRINT i END （A）1.2 （B）1.6 （C）1.8 （D）2.4 解析：（B） （7）2014 年 5 月 12 日，国家统计局公布了《2013 年农民工监测调查报告》，报告显示： 我国农 民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图 1， 并将人均月收入绘制成如 图 2 的不完整的条形统计图． 图 1 图 2 根据以上统计图来判断以下说法错误的是 （A）2013 年农民工人均月收入的增长率是 （B）2011 年农民工人均月收入是 元 （C）小明看了统计图后说：“农民工 2012 年的人均月收入比 2011 年的少了” （D）2009 年到 2013 年这五年中 2013 年农民工人均月收入最高 解析：（C） （8）函数 是 上的偶函数，且在 上为增函数．若 ，则实数 的取值范围是 （A） （B） 5 2010 2011 2012 2013 年份 增长率% 10 15 20 25 30 2009 农民工人均月收入增长率统计图 0 500 2010 2011 2012 2013 年份 收入（元） 1000 1500 2000 2500 3000 2009 农民工人均月收入统计图 0 1470 1764 2205 2911 10% 2205 ( )y f x= R ( 0]−∞， ( ) (2)f a f≤ a 2a ≤ 2a −≥ （C） （D） 或 解析：（D） （9）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两 点， ，则 的实轴长为 （A） （B） （C）4 （D） 解析：（C） （10）在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车 和 8 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙 型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最 少运输费用为 （A）2000 元 （B）2200 元 （C）2400 元 （D）2800 元 解析：（B） （11）已知 、 、 是球 的球面上三点， ， ，且棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为 （A） （B） （C） （D） 解析：（D） （12）已知函数 ， （ 是常数），若 在 上单调递减，则下列结论中： ① ；② ；③ 有最小值.正确结论的个数为 （A） （B） （C） （D） 解 析 ： （ C ） 由 题 意 ， 得 ， 若 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则 即 所以 ，故②正确；不妨设 2 2a− ≤ ≤ 2a −≤ 2a≥ C x C 2 16y x= A B、 | | 4 3AB = C 2 2 2 8 A B C O 2 2 3AB AC= =， 60ABC∠ = ° O ABC− 4 6 3 O 10π 24π 36π 48π 3 2( )f x x ax bx c= + + + 2( ) 3 2g x x ax b= + + a b c，， ( )f x (0 1)， (0) (1) 0f f⋅ ≤ (0) (1) 0g g⋅ ≥ 2 3a b− 0 1 2 3 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + ( )f x (0 1)， (0) 0 (1) 0 f f ′  ′ ≤ ， ≤ ， 0 3 2 0 b a b   + + ≤ ， ≤ ， (0) (1) (3 2 ) 0g g b a b⋅ = + + ≥ ，则 ，故①错；画出不等式组 表示的平面区域，如图所示，令 ，则 ，当 ，即 时，抛物线 与直线 有公共点，联立两个方程消去 得 ， ，所以 ；当 ，即 时，抛物线与平 面区域必有公共点，综上所述， ，所以 有最小值，故③正确，故选 C． 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线 上）． （13）已知函数 ，则 ________. 解析： . . （14）若 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系 数　　． 解析：56.因为 ，所以 . ，令 ，解得 . 所以系数为 . （14）已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ， 则 的最小值　　　　． 3 2( ) 2 3 5f x x x x= − − + (0) (1) 5 (1 2 3 5) 0f f⋅ = ⋅ − − + > 0 3 2 0 b a b   + + ≤ ， ≤ 2 3z a b= − 21 3 3 zb a= − 33 z− > − 9z < 21 3 3 zb a= − 2 3 0a b+ + = b 2 6 9 0a a z+ + − = 2( 3) 0z a= + ≥ 0 9z <≤ 33 z− −≤ 9z≥ 0z≥ 2 3z a b= − 2(3 1) 3 2f x x x+ = + + (4)f = 6 (4) (3 1 1) 1 3 2 6f f= × + = + + = 1( )nx x + 3 7 2 1 x 2 6C Cn n＝ 8n = 8 1 8 1C ( )r r r rT x x − + = = 8 2 8Cr rx − 8 2 2r− = − 5r = 5 8C 56＝ { }na 7 6 52a a a= + m na a， 14m na a a⋅ = 1 4 m n + 解析： . （16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 与两直线 及 所围成 的阴 影部分的面积 . ①利用计算机先产生 组均匀随机数 ， ；②生成 个点 ，并统计满足条件 的点的个数 ，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当 时， ，则据此可估计 的值为__________． 解析： 三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤）． （17）（本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形 中， ， . （Ⅰ）设 、 的面积分别为 ，求证： ； （Ⅱ）求 和 的长. 解析：（Ⅰ）∵ ； 又 ， ∴ ， ∴ ，∴ . （Ⅱ）在 中，由余弦定理得 3 2 2 2 xy = 2x = 0y = S N ( ) ( 1, 2 , 3 )i ix y i N= ， [ ] [ ]0 , 2 0 , 2i ix y∈ ∈， N ( )i ix y， 2 2 i i xy < 1N 1000N = 1 332N = S 1.328 ABCD 2 6 2 2 3AB AD BC= = + =， ， 120ABC∠ = °， 75DAB∠ = ° ABC△ ABD△ 1 2S S， 2 1S S> BD DC D C BA 1 1 1 3sin120 2 2 3 32 2 2ABCS S BA BC= = ⋅ ⋅ ° = × × × =△ 6 2sin sin75 sin(45 30 ) 4DAB +∠ = ° = ° + ° = 2 2 1 1 6 2 ( 6 2)sin75 2 ( 6 2) 2 32 2 4 4ABDS S AB AD + += = ⋅ ⋅ ° = × × + × = = +△ 2 1 3 1 0S S− = − > 2 1S S> DAB△ 2 2 2 cos75BD AB AD AB AD= + − ⋅ ° x y O A(2，0) B C(0，2) f (x) 2 x2 2 1 3 ， ∴ ，∴ ，∴ ， 在 ，由余弦定理得 . 所求 和 的长分别为 和 . （18）（本小题满分 12 分） 在等腰 中， ，腰长为 ， 、 分别是边 、 的中点，将 沿 翻折，得到四棱锥 ，且 为棱 中点， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求二面角 的余弦值，若不存在，请说明理由． 解析：（Ⅰ）证明：取 中点 ，连结 、 ， 因为在等腰 中， ， ， 、 分别是边 、 的中点， 所以 ，又因为翻折后 ，所以翻折后 ， 且 为等腰直角三角形，所以 ， 因为翻折后 ， ，且 ，所以 平面 ，因为 ， 所以 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ， 又因为 ，且 ，所以 是平行四边形，所以 ， 2 2 6 22 ( 6 2) 2 2 ( 6 2) 6 24 −= + + − × × + = + BD BA= 75DBA DAB∠ = ∠ = ° 120 75 45DBC∠ = ° − ° = ° BDC△ 2 2 2 cos45DC BD BC BD BC= + − ⋅ ° 2 2 2( 6 2) (2 3) 2( 6 2) 2 3 2 22 = + + − + × × = BD DC 6 2+ 2 2 Rt ABC△ 90BAC∠ = ° 2 D E AB BC BDE△ DE B ADEC− F BC 2BA = EF ⊥ BAC AD Q //AF BEQ Q BE A− − B D A C E B D E C F A Q AB H DH HF Rt ABC△ 90BAC∠ = ° 2AB AC= = D E AB BC 1AD BD= = 2AB = AD BD⊥ ADB△ DH AB⊥ DE AD⊥ DE BD⊥ AD BD D= DE ⊥ ADB DE AC∥ AC ⊥ ADB AC DH⊥ AB AC A= DH ⊥ ABC HF AC DE AC∥ ， ∥ 1 2HF AC DE= = DEFH EF DH∥ 所以 平面 ； （Ⅱ）以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， 设 ，则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则由 且 ，得 令 ，则 ，要使 平面 ，则须 ， 所以 ，即线段 上存在一点 ，使得 平面 ，此时 ， 设平面 的一个法向量为 ，则由 ，且 ，得 令 ，则 ，所以 ， 因为二面角 为锐二面角，所以其余弦值为 ， 即线段 上存在一点 （点 是线段 上的靠近点 的一个三等分点）， 使得 平面 ，此时二面角 的余弦值为 . （19）（本小题满分 12 分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某 医院抄录了 至 月份每月 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资 料： EF ⊥ ABC D D xyz− 1 1(0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (2 1 0) (1 )2 2A B E C F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (0 0)(0 1)Q t t， ， ≤ ≤ (0 1)BQ t= − ， ， ( 1 0)EQ t= − ， ， 1 1(1 )2 2AF = − ， ， BQE ( )x y z= ， ，n 0BQ =  ，n 0EQ = n 0 0 yt z x ty − = − + = ， ， 1y = ( 1 )t t= ， ，n AF∥ BEQ 1 1 02 2AF t t= − + = n 1 3t = AD 1(0 0)3Q ， ， AF∥ BEQ 1 1( 1 )3 3 = ， ，n BAE 1 1 1( )x y z= ， ，m 0AB = m 0AE = m 1 1 1 1 0 0 y z x y − + =  − = ， ， 1 1y = (1 1 1)= ， ，m 1 11 5 5 333 3cos 3311 3339 + + 〈 〉 = = = ⋅ ，m n Q BE A− − 5 33 33 AD Q Q AD D AF∥ BEQ Q BE A− − 5 33 33 B D E C F A Q x z yH 1 6 10 日期 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 昼夜温差 就诊人数 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 组（每个有序数对 叫作一组）数据中随机选 取 组作为检验数据，用剩下的 组数据求线性回归方程. （Ⅰ）求选取的 组数据恰好来自相邻两个月的概率； （Ⅱ）若选取的是 月和 月的两组数据，请根据 至 月份的数据，求出 关于 的线性 回归方程； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过 人，则认为 得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？ 参考公式： . 解析：（Ⅰ）设选取的 组数据恰好是相邻两个月为事件 ，因为从 组数据中选取 组数 据共有 种情况，每种情况都是等可能出现的. 其中选取的 组数据恰好是相邻两个月的情况有 种. 所以 . （Ⅱ）由数据求得 . 由公式求得 ，再由 求得： . 所以 关于 的线性回归方程为 . （Ⅲ）当 时， ；当 时， . 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. （20）（本小题满分 12 分） 如图，设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 ( C)x  10 11 13 12 8 6 ( )y 个 22 25 29 26 16 12 6 ( )x y， 2 4 2 1 6 2 5 y x 2 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) ˆˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx = = = =  − − −  = = − −  = − ∑ ∑ ∑ ∑ 2 A 6 2 15 2 5 5 1( ) 15 3P A = = 11 24x y= =， 18ˆ 7b = ˆˆa y bx= − 30ˆ 7a = − y x  18 30 7 7y x= − 10x = 150 150 4| 22 | 27 7 7y = − = <， 6x = 78 78 6| 12 | 27 7 7y = − = <， 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2F F， D ， ， 的面积为 . （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个 交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明 理由. 解析：（1）设 ， ，其中 ，由 得 ，从而 ，故 .从而 ， 由 得 ，因此 .所以 ， 故 .因此，所求椭圆的标准方程为 . （2）如图，设圆心在 轴上的圆 与椭圆 相交， 是两个交 点， ， ， 是圆 的切线，且 由圆和椭圆的对称性，易知 ， 由（1）知 ，所以 ， 再由 得 ， 由椭圆方程得 ，即 ，解得 或 . 1 1 2DF F F⊥ 1 2 1 | | 2 2| | F F DF = 1 2DF F△ 2 2 y x F1 F2 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， 2 2 2c a b= − 1 2 1 | | 2 2| | F F DF = 1 2 1 | | 2| | 22 2 F FDF c= = 1 2 2 1 1 2 1 2 2| | | |2 2 2DF FS DF F F c= ⋅ = =△ 1c = 1 2| | 2DF = 1 1 2DF F F⊥ 2 2 2 2 1 1 2 9| | | | | | 2DF DF F F= + = 2 3 2| | 2DF = 1 22 | | | | 2 2a DF DF= + = 2 2 22 1a b a c= = − =， 2 2 12 x y+ = y C 2 2 12 x y+ = 1 1 1 2 2 2( ) ( )P x y P x y， ， ， 1 20 0y y> >， 1 1F P 2 2F P C 1 1F P ⊥ 2 2F P 2 1 1 2x x y y= − =， 1 2 12| |PP x= 1 2( 1 0) (1 0)F F− ， ， ， 1 1 1 1 2 2 1 1( 1 ) ( 1 )F P x y F P x y= + = − − ， ， ， 1 1F P ⊥ 2 2F P 2 2 1 1( 1) 0x y− + + = 2 21 11 ( 1)2 x x− = + 2 1 13 4 0x x+ = 1 4 3x = − 1 0x = 当 时， 重合，此时题设要求的圆不存在. 当 时，过 分别与 ， 垂直的直线的交点即为圆心 ，设 由 得 ，而 ，故 ， 圆 的半径 ， 综上，存在满足条件的圆，其方程为 . （21）（本小题满分 12 分） 函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，且 . （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）证明： （ 为 的导函数）. （Ⅲ）设点 在函数 图象上，且 为等腰直角三角形，记 ，求 的值. 解析： 因为 ，所以 ，若 ，则 ，则函数 是单调增函数，这与题设矛盾.所以 ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 是单调递增函数，于是当 时， 取得极小值.因为函数 的图象与 轴交于两点 ， 所以 ，即 ，此时，存在 ， ，存在 ， ，又由 在 及 上的单调性及曲线在 上不间 断，可知 为所求取值范围． （Ⅱ） ， 两式相减得 ．记 （ ）， 则 ， 设 则 ， 是单调减函数， 1 0x = 1 2P P， 1 4 3x = − 1 2P P， 1 1F P 2 2F P C 0(0 )C y， 1 1 1CP F P⊥ 1 0 1 1 1 11 y y y x x − ⋅ = −+ 1 1 1| 1| 3y x= + = 0 5 3y = C 2 2 1 4 1 5 4 2( ) ( )3 3 3 3CP = − + − = 2 25 32( )3 9x y+ − = ( ) e ( )xf x ax a a= − + ∈R x 1( 0)A x ， 2( 0)B x ， 1 2x x< a 1 2( ) 0f x x′ < ( )f x′ ( )f x C ( )f x ABC△ 2 1 1 1 x tx − =− ( 1)( 1)a t− − ( ) e ( )xf x ax a a= − + ∈R '( ) exf x a= − 0a≤ '( ) 0f x > ( )f x 0a > '( ) 0f x = lnx a= '( ) 0f x < lnx a< ( )f x '( ) 0f x > lnx a> ( )f x lnx a= ( )f x ( )f x x 1 2 1 2( 0) ( 0)( )A x B x x x<， ， ， (ln ) (2 ln ) 0f a a a= − < 2a e> 1 lna< (1) e 0f = > 3ln lna a> 3 2(3ln ) 3 0f a a a a> − + > ( )f x ( ln )a−∞， (ln )a + ∞， R 2ea >  1 2 1 2 e 0 e 0 x x ax a ax a  − + = − + = ∴ 2 1 2 1 e ex x a x x −= − 2 1 2 x x s − = 0s > 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 e e e( ) e [2 (e e )]2 2 x x x x x x s sx xf sx x s + + −+ −′ = − = − −− ( ) 2 (e e )s sg s s −= − − '( ) 2 (e e ) 0s sg s −= − + < ∴ ( )g s 则有 ，而 ， ． 又 是单调增函数，且 ． （Ⅲ）依题意有 ，则 . 于是 ，在等腰三角形 ，显然 ，所以 ， 即 ，由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，所以 ， 即 ，所以 ，即 ，因为 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，所以 . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系中，椭圆 的参数方程为 ( 为参数)，已知以坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （Ⅰ）把椭圆 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）设 分别为椭圆 上的两点，且 ，求 的值. 解析：（Ⅰ）∵椭圆 的参数方程为 ( 为参数)， ∴椭圆 的普通方程为 ，∴ . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，可设 ， ∴ ( ) (0) 0g s g< = 1 2 2e 02 x x s + > ∴ 1 2( ) 02 x xf +′ < ( ) exf x a′ = − 1 2 1 22 x x x x + > ∴ 1 2( ) 0f x x′ < e 0ix iax a− + = ( 1) e 0 1( 1 2)ix i ia x x i− = > > =， ， 1 2 2 1 2e ( 1)( 1) x x a x x + = − − ABC 90C = ° 1 2 0 1 2( )2 x xx x x += ∈ ， 0 0( ) 0y f x= < 2 1 02 x x y − = − 2 1 0 02 x xy −+ = 1 2 2 12 1 2e ( ) 02 2 x x a x xx x a + −− + + + = 2 1 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 02 2 a x xa x x x x a −− − − + + + = 2 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1)( 1)( 1) [( 1) ( 1)] 02 2 a x xa x x x x − − −− − − − + − + = 1 1 0x − ≠ 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1(1 ) 01 2 1 2 x x a x xa x x − −− − −− + + =− − 2 1 1 1 x tx − =− 2 21(1 ) ( 1) 02 2 aat t t− + + − = 21 1a t = + − ( 1)( 1) 2a t− − = C 2cos 3sin x y α α = = ， ， α x C A B， C OA OB⊥ 2 2 1 1 | | | |OA OB + C 2cos 3sin x y α α = = ， ， α C 2 2 14 3 x y+ = 2 2( cos ) ( sin ) 14 3 ρ θ ρ θ+ = 2 2 2 1 cos sin 4 3 θ θ ρ = + 1 1( )A ρ θ， ， 2 1( )2B πρ θ +， 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 cos ( ) sin ( )cos sin1 1 1 1 2 2 | | | | 4 3 4 3OA OB π πθ θθ θ ρ ρ + + + = + = + + + . ∴ 的值是 . （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 的解集不是空集，求参数 的取值范围. 解析：（Ⅰ）解： （Ⅱ） ，所以 所以 解得 . 2 2 2 2 1 1 1 1cos sin sin cos 4 3 4 3 θ θ θ θ= + + + 1 1 7 3 4 12 = + = 2 2 1 1 | | | |OA OB + 7 12 ( ) ( )3f x x x m x= − + + ∈R 1m = ( ) 6f x ≥ ( ) 5f x ≤ m { | 2 4}x x x−≤ 或 ≥ | 3| | | | ( 3) ( ) | | 3|x x m x x m m− + + − − + = +≥ min( ) | 3 |f x m= + | 3| 5m + ≤ { | 8 2}m m− ≤ ≤