2017-2018学年福建省莆田市第二十五中学高二第二次月考数学（理）试题

2017-2018学年福建省莆田市第二十五中学高二第二次月考数学（理）试题

莆田第二十五中学2017-2018学年上学期第二次月考试卷 高二理科数学 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列说法正确的是　(　　)‎ A.命题“若x2=1,则x=‎1”‎的否命题为“若x2=1,则x≠‎‎1”‎ B.命题“∀x≥0,x2+x-1<‎0”‎的否定是“∃x0<0, +x0-1<‎‎0”‎ C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题 ‎2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(　　)‎ A．12 B．‎10 C．8 D．2‎ ‎3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝(　　)．‎ A. B. C. D. ‎4．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）‎ A．60° B．30°或150° C． 60°或120° D．120°‎ ‎7．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C.或 D.或7‎ ‎8.命题“对于正数a,若a>1,则lga>‎0”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎9．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 ‎11. “a>‎1”‎是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的　(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．双曲线－＝1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离为____________．‎ ‎14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．‎ ‎15、如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________‎ ‎16．若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．‎ ‎17．(本小题满分10分)椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且椭圆经过点.‎ ‎(1)求椭圆标准方程；‎ ‎(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ ‎18.( 12分)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q: ∀x∈R,x2+mx+1≥0.‎ ‎(1)写出命题q的否定“q”.‎ ‎(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎19．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）当时，求a的值； （2）当的面积为3时，求a+c的值。‎ ‎20．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，‎ 已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1、F2‎ ‎，它们的离心率之和为2，‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ ‎ ‎ ‎22．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.‎ ‎(1)求an，bn；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列说法正确的是　(　　)‎ A.命题“若x2=1,则x=‎1”‎的否命题为“若x2=1,则x≠‎‎1”‎ B.命题“∀x≥0,x2+x-1<‎0”‎的否定是“∃x0<0,+x0-1<‎‎0”‎ C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题 ‎【解析】选D.“若x2=1,则x=‎1”‎的否命题为“若x2≠1,则x≠‎1”‎,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“∀x≥0,x2+x-1<‎0”‎的否定是“∃x0≥0,+x0-1≥‎0”‎,故B错;‎ 命题“若A,则B”的逆否命题是“若B,则A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p与q中至少有一个为真命题.‎ ‎2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(　　)‎ A．12 B．‎10 ‎‎ C．8 D．2‎ 答案　B 解析　画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，‎ 作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大．‎ 解方程组得A(2,1)，∴zmax＝10.‎ ‎3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝(　　)．‎ A. B. C. D. 答案D ‎4．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 解析：∴3(a1＋an)＝180.‎ ‎∴a1＋an＝60.‎ ‎∵(a1＋an)＝390，∴n＝13.‎ 答案：A ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设数列{an}的公差为d，由a5＝5，S5＝15得，解得，从而an＝n，‎ ‎∴＝＝－，从而S100＝＋＋…＋＝1－＝.‎ 答案：A ‎6．ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）‎ A．60° B．30°或150° C． 60°或120° D．120°‎ ‎【解析】因为由正弦定理可知 ‎∠B等于60°或120°，选C ‎7．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C.或 D.或7‎ 解析：因4，m,9成等比数列，则m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时圆锥曲线为椭圆＋y2＝1，其离心率为；当m＝－6时圆锥曲线为双曲线y2－＝1，其离心率为，故选C.‎ 答案：C ‎8.命题“对于正数a,若a>1,则lga>‎0”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>‎0”‎是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>‎1”‎是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤‎0”‎是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤‎1”‎是真命题.‎ ‎9．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由已知，点P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P，∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，－＝－，b＝c，‎ ‎∴该椭圆的离心率e＝，选C.‎ 答案：C ‎10．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为 M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 ‎9．解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆的定义知，点P的轨迹是椭圆．故选B.‎ 答案：B ‎11. “a>‎1”‎是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的　(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选A.2x+≥1,x>0,则a≥-2x2+x对x>0恒成立,而-2x2+x=-2+,所以a≥,“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充要条件是“a≥”,故“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎12．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．解析：设左焦点为F，连接AF1，BF1.则四边形BF‎1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|，所以|AF|＋|AF1|＝4＝‎2a，所以a＝2，设M(0，b)则≥，故b≥1，从而a2－c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A 答案：A 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．双曲线－＝1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离为____________．‎ ‎[答案]　2或22‎ ‎13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．‎ 解析　∵e2＝＝＝1＋＝，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案　y＝±x ‎15、【答案】 y=-0.5x+4‎ ‎16．若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为__________．‎ 解析：由题意：2x＋y－3＝0⇒＋＝1，‎ ‎∴＝＋＝·＝＋≥·2＋＝3，‎ 当且仅当x＝y＝1时取得最小值．‎ 答案：3‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．‎ ‎17．(本小题满分10分)椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且椭圆经过点.‎ ‎(1)求椭圆标准方程；‎ ‎(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．‎ 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 则‎2a＝ ＋＝‎ ‎2，即a＝，‎ 又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)得：椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率e＝＝.‎ ‎18.( 12分)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q: ∀x∈R,x2+mx+1≥0.‎ ‎(1)写出命题q的否定“q”.‎ ‎(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)q:∃x0∈R,+mx0+1<0.‎ ‎(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=‎4m2-4m<0,解得0|PF2|‎ 由定义可知|PF1|＋|PF2|＝10①‎ ‎|PF1|－|PF2|＝4②‎ 由①、②得|PF1|＝7，|PF2|＝3‎ 又∵|F‎1F2|＝8，在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴cos∠F1PF2的值为－.‎ ‎22．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.‎ ‎(1)求an，bn；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)由Sn＝2n2＋n，可得 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，‎ 当n＝1时，a1＝3符合上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．‎ 由an＝4log2bn＋3，(4分)‎ 可得4n－1＝4log2bn＋3，‎ 解得bn＝2n－1(n∈N*)．(6分)‎ ‎(2)anbn＝(4n－1)·2n－1，‎ ‎∴Tn＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n－1)×2n－1，①‎ ‎2Tn＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n－1)×2n.②‎ ‎①－②可得 ‎－Tn＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n－1)－(4n－1)×2n ‎＝3＋4×－(4n－1)×2n ‎＝－5＋(5－4n)×2n，‎ ‎∴Tn＝5＋(4n－5)×2n.(12分)‎