2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

第五章 平面向量 第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示 题型59 向量的概念及共线向量 ‎1.（2016北京理4）设是向量，则“”是“”的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎1. D 解析 因为，‎ 所以由此可知，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.‎ 题型60 平面向量的线性表示 ‎1.（2013浙江理17）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.‎ ‎2.（2014 浙江理 8）记，，设为平面向量，则（ ）.‎ ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C.‎ ‎ D. ‎ 题型61 向量共线的应用 ‎1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为 .‎ ‎2．（2015全国2理13）设向量不平行，向量与平行，则实数 ‎ ．‎ ‎2.解析 根据向量平行的条件，因为向量与平行，‎ 所以，则有解得，所以．‎ ‎3.（2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.‎ A．3 B． C. D．2‎ ‎3.解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点 为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ‎．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，‎ 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．‎ 设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，‎ 而，，．‎ 因为，‎ 所以，．‎ 两式相加得 ‎ (其中，)，‎ 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.‎ 解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3.‎ ‎2.(2017浙江理15)已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .‎ 解析 解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．‎ 易知当，B，C三点共线时，最小，此时；‎ 当时，最大，此时． ‎ 解法二:‎ ‎(是向量，的夹角).‎ 所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.‎ 题型62 平面向量基本定理及应用 ‎1.(2013天津理12）在平行四边形中，， ，为的中点． 若， 则的长为 ．‎ ‎2．（2013江西理12）设，为单位向量．且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为 ．‎ ‎3．（2013四川理12）在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________．‎ ‎4.（2014 大纲理 4） 若向量满足：，，，则（ ）.‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎5.（2014 广东理 5）已知向量则下列向量中与成夹角的是（ ）.‎ A．　 B. 　C. 　D. ‎ ‎6.（2014 天津理 8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上， ，.若，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014 新课标2理3）设向量满足，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎8.（2014 江苏理 12） 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．‎ ‎9.（2014 江西理 14）已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则 .‎ ‎10.（2014 山东理 12）在中，已知，当时，的面积为.‎ ‎11.（2014 新课标1理15）已知是圆上的三点，若，则与的夹角为 .‎ ‎12．（2015全国1理7）设为所在平面内一点，，则（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．解析 由题可得，所以，‎ 所以．故选A．‎ ‎13．（2015北京理13）在中，点，满足，.‎ 若，则 ； .‎ ‎13．解析 在中，点满足，点满足，‎ 则，‎ 因此，.‎ ‎14.（2016四川理10）在平面内，定点，，，满足，=﹒=﹒=，动点，满足，，则的最大值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎14.B 解析 甴已知易得，.‎ 以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，，‎ ‎.‎ 设，由已知，得.‎ 又，所以，所以.‎ 因此.‎ 它表示圆上的点与点距离平方的，‎ 所以.故选.‎ ‎15.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若， 则 ．‎ ‎15.解析 解法一：由题意 （*）‎ 而由，得，，‎ ‎．‎ 将（*）式化简为 式①加式②，得．故填．‎ 解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，，，由，得，即，解得，故．故填．‎ 解法三（解三角形）：由，可得，，如图所示，根据向量的分解，易得，即，即，解得，所以．‎ 题型63 平面向量的坐标运算 ‎1.（2014 福建理 8）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.（2014 湖南理 16）在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是________.‎ ‎3.（2014 陕西理 13） 设，向量，若，则_______.‎ ‎4.（2014 陕西理 18）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，用表示，并求的最大值.‎ ‎5．（2015年江苏6）已知向量，，若，则的值为 ．‎ ‎5．解析 由题意，‎ 从而，解得，故．‎ 评注 也可以将用与线性表示，如：‎ ‎．‎ ‎6.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ．‎ ‎6.解析 不妨设，则，且易知．‎ 因为 ‎，故．‎ 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.‎ 联立，得，，如图所示，结合图形知．‎ 故填．‎ 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致．‎ 题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无 第二节 平面向量的数量积 题型65 平面向量的数量积 ‎1.（2013湖北理6）已知点，，，，则向量在方向上的投影为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. (2013福建理7）在四边形中，，，则该四边形的面积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. (2013安徽理9） 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2013辽宁理3） 已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. (2013湖南理6）已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6. (2013重庆理10）在平面上，，，.‎ 若，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.（2013浙江理7）设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎12. (2013全国新课标卷理13）已知正方形的边长为，为的中点，则 ‎ .‎ ‎8. （2013山东理15） 已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为____________.‎ ‎9.（2014 安徽理 10）在平面直角坐标系中，已知向量，，，点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.（2014 辽宁理 5）设是非零向量，已知命题：若，，则；命题：若，，则，则下列命题中真命题是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎11.（2014 四川理 7）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（2014 重庆理 4）已知向量，且，则实数( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎13.（2014 北京理 10）已知向量，满足，，且，则________.‎ ‎14.（2014 湖北理 11）设向量，，若，则实数________.‎ ‎ 在中，内角的对边，且.已知，，.求：‎ ‎ （1）和的值；‎ ‎ （2）的值.‎ ‎15．(2015安徽理8)是边长为的等边三角形，已知向量，满足，‎ ‎ ，则下列结论正确的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎15．解析 解法一：对于选项A，因为，故，所以， 选项A错误；对于选项Ｂ，因为，，所以与不垂直，选项B错误；对于选项C，因为，选项C错误；对于选项D，因为 ，选项D正确．故选D．‎ 解法二：对于选项D，过点作于点，则点为的中点，‎ 所以．故选D．‎ ‎16．（2015福建理9）．已知 ，若点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）.‎ A．13 B．‎15 C．19 D．21‎ ‎16．解析 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此．由题可得，所以，所以的最大值等于13，当，即时，等号成立．故选A．‎ ‎17．（2015全国1理5）已知是双曲线上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎17．解析 由题可得，，且，即，‎ 所以，‎ 解得．故选A．‎ ‎18．(2015山东理4) 已知菱形的边长为，，则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎18．解析 解法一：如图所示，在菱形中，，各边长均为，‎ ‎，，所以 ‎ ‎．故选D．‎ 解法二：由题可求得，与的夹角为，所以．故选D．‎ ‎19．（2015陕西理7）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎19．解析 解法一：‎ ‎，矛盾，B不正确.故选B.‎ 解法二： 从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，‎ ‎， B不正确.故选B. ‎ ‎20．（2015四川理7）设四边形为平行四边形，，.若点满足，，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎20．解析 ，，‎ 所以 ‎.故选C.‎ ‎21．（2015重庆理6）若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎21．解析 设与的夹角为，根据题知，得，‎ 所以，，在由，‎ 得，，即．故选A．‎ ‎22．（2015年湖北理11）．已知向量，，则 ．‎ ‎22．解析 因为，所以即，‎ ‎，故填9.‎ ‎23．（2015天津理14）在等腰梯形中，已知，，，‎ ‎ ，动点和分别在线段和上， 且，，‎ 则的最小值为 .‎ ‎23．解析 因为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，的最小值为.‎ ‎24．（2015浙江理15）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，‎ 则 ， ， ．‎ ‎24.解析 由已知可得，，. 如图所示，‎ 空间向量在确定的平面内的射影是，则，‎ 设，则，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 解得. . ‎ ‎25．（2015年广东理16）在平面直角坐标系中，已知向量，.‎ (1) 若，求的值；‎ (2) 若与的夹角为，求的值.‎ ‎25．解析 （1）因为，，且，‎ 所以，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）依题知，所以．又因为，所以，即．‎ ‎26.（2016全国丙理3）已知向量，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎26.A 解析 由.又，所以. 故选A.‎ ‎27.（2016全国甲理3）已知向量，，且，则（ ）.‎ A. B. C.6 D.8‎ ‎27. D 解析 因为，且，所以，解得.故选D．‎ ‎28.（2016山东理8）已知非零向量，满足， .若，则实数的值为（ ）.‎ A． B． C． D．–‎ ‎28. B 解析 因为，由，‎ 所以，即，所以—4. 故选B.‎ ‎29.（2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎29. B 解析 由题意作图，如图所示.则.故选B.‎ ‎30.（2016全国乙理13）设向量，，且，则 .‎ ‎30. 解析 因为，故，即.所以，得.‎ ‎31.（2016上海理12）在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是 ．‎ ‎31. 解析 表示单位圆的上半圆（包括端点），‎ 不妨设，，，‎ ‎．‎ ‎32.（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是 ．‎ ‎32. 解析 解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，．故．‎ 解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，．‎ 则，，，，，，由题意，，因此，.故．‎ 评注 特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系．这类问题以前也遇到过，比如下面一题．‎ 在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，．若，则 ．‎ 解析 解法一（配凑）：由题意得，，‎ 从而，平方整理得．‎ ‎（或）．‎ 故 ‎． ‎ 解法二（建系）：建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 不妨设，，从而，，．‎ 由题意，从而，‎ 即通过，求解，‎ ‎①②得，即④，‎ 而③即为⑤，‎ ‎⑤④得，即． ‎ 可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用．‎ ‎33.（2016浙江理15）已知向量，，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．‎ ‎33. 解析 由题意可得，‎ 由于为任意的单位向量，有 ①‎ ‎，.当与平行时，①式第一个小于等于号可取等号.‎ 当时，有.取与的夹角余弦值的与，与平行时，上述等号都成立，可取到.‎ ‎34.（2017天津理13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎34.解析 解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.又因为，‎ 则，‎ 则，解得.‎ 解法二：以点为坐标原点，以所在的直线为轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，，，.‎ 则可得，，于是有，解得.‎ ‎35.(2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎35.解析 若，使，即两向量方向相反，夹角为，则.若，也可能夹角为，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.‎ ‎36.（2017全国1理13）13.已知向量，的夹角为，， ，则 ‎ .‎ ‎36.解析 ‎ ‎，所以.‎ ‎37.（2017全国2理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎37.解析 解法一（几何法）：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由，则 ，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.‎ 解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的的中点为坐标原点，‎ 所以，，．设点，，，，所以，‎ 则其最小值为，此时，．故选B.‎ ‎38.（2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.‎ A．3 B． C. D．2‎ ‎38.解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点 为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ‎．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，‎ 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．‎ 设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，‎ 而，，．‎ 因为，‎ 所以，．‎ 两式相加得 ‎ (其中，)，‎ 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.‎ 解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3.‎ ‎39.（2017山东理12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎39.解析 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，解得．‎ ‎40.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形，，，，与交于点，记 ，，，则（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎40.解析 如图所示，动态研究问题:，．此时有，，，且，．‎ 故.‎ ‎41.(2017浙江理15)已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .‎ ‎41.解析 解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．‎ 易知当，B，C三点共线时，最小，此时；‎ 当时，最大，此时． ‎ 解法二:‎ ‎(是向量，的夹角).‎ 所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.‎ 题型66 向量与三角形的四心——暂无