上海市南洋模范中学2019届高三三模考试数学试题

上海市南洋模范中学2019届高三三模考试数学试题

‎2019年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷 一、填空题 ‎1.若集合，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合的的范围，求交集即可。‎ ‎【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：A＝{x|3x+1＞0}＝{x|x＞﹣}，‎ B＝{|x﹣1|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣1＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，‎ 则A∩B＝{x|﹣＜x＜3}，‎ 故答案为：（﹣，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于简单题目。‎ ‎2.若复数z满足，其中i为虚数单位，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，则。‎ ‎【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．‎ ‎【解答】解：由＝﹣i，得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：1﹣i．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎3.若函数的反函数为，则不等式的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，即求解即可。‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴有，‎ 则，必有﹣1＞0，‎ ‎∴2（﹣1）＜1，解得1＜．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4.试写出的展开式中系数最大的项_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Tr+1＝（﹣1）rx7﹣2r，r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，经过比较即可得出 ‎【详解】，‎ r必须偶数，分别令r＝0，2，4，6，‎ 其系数分别为：1， ,,‎ 经过比较可得：r＝4时满足条件， ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.若最小值为a，最大值为b，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限。‎ ‎【详解】y＝4﹣，定义域为[﹣1，3]‎ 当x＝1时，y取最小值为2，当x＝3或﹣1时，y取最大值为4，‎ 故a＝2，b＝4；‎ ‎＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．‎ ‎6.已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值 ‎【详解】由||＝，||＝，||＝2，可得：‎ 即有△ABC为直角三角形，‎ 由两边平方可得，‎ 即有 ‎＝﹣×（3+5+8）＝﹣8．‎ 故答案为：﹣8．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎7.设P是曲线为参数）上的一动点，为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．‎ ‎【详解】曲线（θ为参数），即有 ‎，‎ 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，‎ 设P（x0，y0），M（x，y），‎ 可得 ‎，代入曲线方程，可得 ‎2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，‎ 即为8x2﹣4y2＝1．‎ 故答案为：8x2﹣4y2＝1．‎ ‎【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎8.在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为.‎ 考点：等差数列.‎ ‎9.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.‎ ‎【答案】4或7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.‎ ‎【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，‎ 取到的一个数大于，另一个数小于，‎ 比小的数有个，比大的数有个，‎ 故一共有个基本事件，‎ 由题意可得，‎ 即，整理得，‎ 解得或，‎ 故答案是：4或7.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.‎ ‎10.已知数列的通项公式为，则这个数列的前n项和_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．‎ ‎【详解】当n为偶数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）]+（2+22+…+2n）‎ ‎＝‎ ‎＝2n+1+﹣2；‎ 当n为奇数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+2+n﹣1）﹣n]+（2+22+…+2n）‎ ‎＝﹣n+‎ ‎＝2n+1﹣﹣；‎ 综上所述，Sn＝‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎11.已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，由得，即①，由，得②，联立①②解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎12.定义在R上的奇函数，当时, ‎ 则函数的所有零点之和为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．‎ ‎【详解】∵当x≥0时，‎ f（x）＝‎ 即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；‎ x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；‎ x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；‎ 画出x≥0时f（x）的图象，‎ 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；‎ 则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，‎ 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，‎ ‎∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），‎ ‎∴f（﹣x）＝（﹣x+1），‎ 又f（﹣x）＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），‎ ‎∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，‎ 解得x＝1﹣2a，‎ ‎∴所有根的和为1﹣2a．‎ 故答案为：1﹣2a．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．‎ 二、选择题 ‎13.为非零向量，“函数为偶函数”是“”的 （ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以若为偶数，则，即.若，则有，所以，为偶函数．‎ 考点：1.充分必要条件的判断；2.平面年向量的数量积.‎ ‎【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎14.若表示两条直线，表示平面，下列命题中真命题为（　　）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；‎ 选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；‎ 选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；‎ 选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．‎ ‎15.抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），‎ 过P作PN垂直直线x=﹣1于N，‎ 由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，‎ 设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，‎ 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，‎ 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，‎ 所以∠NPA=45°，‎ ‎=cos∠NPA=．‎ 故选B．‎ 点睛：通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．‎ ‎16.．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离. B. 相切. C. 相交. D. 随m的变化而变化.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 直线AB的方程为.‎ 即，所以直线AB的方程为,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.‎ 三、解答题 ‎17.如图，长方体中，.‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小．‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）四棱锥A1﹣ABCD的体积，由此能求出结果．‎ ‎（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．‎ ‎【详解】（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，‎ ‎∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：‎ ‎＝＝＝4．‎ ‎（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角补角），‎ ‎∵tan∠A1CC1＝＝＝，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3＝﹣1，由此求得a的范围；‎ ‎（2）令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．‎ ‎【详解】（1）∵函数f（x）＝|2x﹣a|+a，‎ 不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），‎ ‎∴|2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1，3），‎ 由|2x﹣a|＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a﹣3≤x≤3，‎ 故有a﹣3＝﹣1，a＝2．‎ ‎（2）在（1）的条件下，f（x）＝|2x﹣2|+2，‎ 令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4＝‎ 故g（x）的最小值为8，‎ 故使f（x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．‎ ‎19.某景区欲建两条圆形观景步道（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：米），要求圆M与分别相切于点B，D，圆与分别相切于点C，D．‎ ‎（1）若，求圆的半径；（结果精确到0.1米）‎ ‎（2）若观景步道的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）‎ ‎【答案】（1）34.6米，16.1米；（2）263.8千元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；‎ ‎（2）设∠BAD＝2α，则总造价y＝0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），化简，令1+tanα＝x换元，利用基本不等式得出最值．‎ ‎【详解】（1）连结M1M2，AM1，AM2，‎ ‎∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，‎ ‎∴M1，M2⊥AD，∠M1AD＝∠BAD＝，∠M2AD＝，‎ ‎∴M1B＝ABtan∠M1AB＝60×＝20≈34.6（米），‎ ‎∵tan＝＝，∴tan＝2﹣， ‎ 同理可得：M2D＝60×tan＝60（2﹣）≈16.1（米）．‎ ‎（2）设∠BAD＝2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为 ‎60tan（45°﹣α），‎ 设观景步道总造价为y千元，则y＝0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）＝96πtanα+108π•，‎ 设1+tanα＝x，则tanα＝x﹣1，且1＜x＜2．‎ ‎∴y＝96π（x﹣1）+108π（）＝12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，‎ 当且仅当8x＝即x＝时取等号，‎ 当x＝时，tanα＝，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．‎ ‎∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题 ‎20.已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆 的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在x轴，y轴上的截距分别为，证明：为定值；‎ ‎（3）若是椭圆上不同两点，轴，圆E过，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．‎ ‎（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．‎ ‎（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．‎ ‎【详解】（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1,）在椭圆C上；‎ ‎∴，解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）由题意：C1：，‎ 设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），‎ ‎∵M，N不在坐标轴上，∴kPM＝﹣＝﹣，‎ ‎∴直线PM的方程为y﹣y2＝﹣（x﹣x2），‎ 化简得：x2x+y2y＝，①，‎ 同理可得直线PN的方程为x3x+y3y＝，②，‎ 把P点的坐标代入①、②得，‎ ‎∴直线MN的方程为x1x+y1y＝，‎ 令y＝0，得m＝，令x＝0得n＝，‎ ‎∴x1＝，y1＝，‎ 又点P在椭圆C1上，‎ ‎∴（）2+3（）2＝4，‎ 则＝为定值． ‎ ‎（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，﹣n），点E在x轴上，设点E（t，0），‎ 则圆E的方程为：（x﹣t）2+y2＝（m﹣t）2+n2，‎ 由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，‎ 设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2＝（x﹣t）2+y2＝，‎ 当x＝m时，|ME|2最小，∴m＝﹣，③，‎ 又圆E过点F，∴（﹣）2＝（m﹣t）2+n2，④‎ 点P1在椭圆上，∴，⑤‎ 由③④⑤，解得：t＝﹣或t＝﹣，‎ 又t＝﹣时，m＝﹣＜﹣2，不合题意，‎ 综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（﹣，0）．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．‎ ‎21.若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”.‎ ‎（1）设，证明：数列是的分隔数列；‎ ‎（2）设是的前n项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；‎ ‎（3）设是的前n项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是数列的分隔数列；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得证；‎ ‎（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；‎ ‎（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】（1）∵{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得 ‎，‎ ‎∴cn≤am＜cn+1，‎ ‎∵cn＝2n，am＝m+1，‎ ‎∴2n≤m+1＜2n+2，‎ ‎∴2n﹣1＜m≤2n+1，‎ ‎∴m＝2n，‎ ‎∴对任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列；‎ ‎（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n项和，dn＝c3n﹣2，‎ ‎∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，‎ ‎∴d1＝﹣3，‎ ‎∴Sn＝＝n（n﹣7），‎ 若数列{Sn}是数列{dn}的分隔数列，‎ ‎∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，‎ 即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），‎ 由于n＝4时，12≤m（m﹣7）＜18，‎ 不存在自然数m，使得不等式成立，‎ ‎∴数列{Sn}不是数列{dn}的分隔数列；‎ ‎（3）设，Tn是{cn}的前n项和，‎ ‎∵数列{Tn}是{cn}的分隔数列，‎ 则{cn}为递增，‎ 当a＞0时，q＞1，‎ ‎∴aqn﹣1≤＜aqn，‎ 即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），‎ 当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；‎ q＞2时，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；‎ qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2时，q2﹣1＜q2（q﹣1），‎ 解得q＞2，对n＞3也成立；‎ 当a＜0时，0＜q＜1时，‎ aqn﹣1≤＜aqn，‎ 即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），‎ 取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，‎ ‎1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，‎ 则a＜0，0＜q＜1不成立，‎ 综上可得，a＞0，q＞2．‎ ‎【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎