2019届二轮复习正弦、余弦定理和解斜三角学案（全国通用）

2019届二轮复习正弦、余弦定理和解斜三角学案（全国通用）

正弦定理推论 已知边边角、角角边 已知边边边、边角边 余弦定理推论 一、 正弦定理和面积公式 ‎ （一）知识精讲 ‎1、正弦定理：（1）中：(为的外接圆的半径)‎ 已知边边角或角角边，一般用正弦定理。‎ ‎(2)推论：正余弦定理的边角互换功能 ‎ ‎① ，，‎ ‎②，，‎ ‎③ ==‎ ‎④‎ ‎2、三角形的面积公式：‎ ‎（1）== （2）= （3）‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例1】（1）在中，，，，则 ， ；‎ ‎（2）在中，已知，，，则 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【例2】（1）在中，若，则c= ；‎ ‎（2）在中，若，则A= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1）55；（2）‎ ‎【例3】满足的三角形的个数为 （ ）‎ ‎ （A）1个 （B）2个 ‎ ‎ （C）0个 （D）无法确定 ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎【例4】在中，，在解三角形时只有唯一解，则的取值范围 ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例5】在中，，求c。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例6】在中，分别是三个内角的对边，若， ，，求的面积。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：由题意，得，B为锐角，，‎ ‎，‎ 由正弦定理得， 。‎ ‎【例7】在△ABC中，已知tanB=求△ABC的面积 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解题策略：求出另一条边，再求出两边的夹角的正弦值，就可求出面积 解 法一：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB=，得B=60°，则 sinB=/2,cosB=1/2。‎ ‎【例8】已知OAB是一半径为2的扇形（如图），圆心角，过弧AB 上动点P作平行于BO的直线交AO于Q点，设。‎ ‎（1）写出的面积S与的函数关系式 ‎（2）为何值时，的面积最大，最大值为多少？‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【例9】如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过的中心G，设=（）。‎ ‎（1）试将的面积（分别记为）表示为的函数；‎ ‎（2）求的最大值与最小值。‎ ‎ ‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG=，由正弦定理得，则，‎ 所以（）‎ 又，得，‎ ‎（）‎ ‎(2)（）‎ 所以当或时，，当时，‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC= ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎2．已知的面积是9cm2，若AB、AC的比例中项是6cm，则A= 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】30°或150°‎ ‎ 3．若三角形的三个内角之比是1:2:3，则三边之比为 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎ 4．如果半径为2的圆的内接三角形的面积为，则abc= 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】2‎ ‎5．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值，‎ ‎(II)求c的值.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】(1)因为a＝3，，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.‎ 所以.故cos A＝.‎ ‎(2)由(1)知，cos A＝，所以sin A＝.又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.所以sin B＝.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.‎ 所以c＝＝5.‎ ‎6．将一块圆心角为，半径为20cm的扇形铁片裁成一个矩形（如图5-15），求截得矩形的最大面积 ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】如图，连接OP 设 答：当P点为弧中点时，截得矩形面积最大，最大面积为 一、 余弦定理 ‎ （一）知识精讲 ‎1、余弦定理：‎ 已知边边边或边角边，一般用余弦定理。‎ ‎2、推论：如果的对边是，则有：‎ ‎ ‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例10】在中，若则= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】3或5‎ ‎【例11】在中，，则B= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎【例12】为钝角三角形三边，钝角为，则= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎【例13】已知钝角三角形的边长分别为，则a的取值范围是________。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例14】在中，若，则= 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例15】 中，已知三角形面积为，则= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎【例16】已知锐角三角形的边长分别为1，3，a,则a的取值范围是________‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】解题策略 锐角三角形的任意一角的余弦均为正值 解 ‎ ‎【例17】已知三边分别为，求的最大角。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：不妨设分别为，比较法判断可知最大。‎ 根据余弦定理得 所以，为钝角，必然是最大角 所以中最大的内角的度数是120°。‎ ‎【例18】设的内角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】；‎ ‎【例19】设的内角A、B、C的对边分别为.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若，求C.‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.‎ 由余弦定理得cos B＝，‎ 因此B＝120°.‎ ‎(2)由(1)知A＋C＝60°，‎ 所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin ‎ C＝，‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°.‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．下列命题中，不正确的是 （ ）‎ ‎（A）若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角 ‎（B）在中，若则 ‎（C）在中，若一定是直角三角形 ‎（D）任何三角形的三边之比不可能是1:2:3‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】B ‎ 2．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】 C ‎3．已知的三边a、b、c满足，则为 （ ）‎ ‎ （A）30° （B）45° ‎ ‎ （C）60° （D）120°‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】 C ‎4．在中，，边上的中线长为 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．的三边a、b、c和面积，满足，试计算。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若C=，求的值 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】由余弦定理知得化简得 ‎7． 中，，（1）求；（2）若，且，求 面积。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】，‎ ‎8．已知半圆的直径为2，为直径延长线上一点，且。为半圆周上任意一点，以为边，作等边，角等于何值时，四边形的面积最大?最大面积为多少?‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：为正三角形，则面积为，半径 过作垂直，则 由余弦定理：‎ 设所求的四边形面积，则 一、 正弦定理、余弦定理的基本应用 ‎ （一）知识精讲 ‎1、解三角形的一般规律：‎ ‎(1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解；‎ ‎(2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。‎ ‎2、求三角形解的个数问题：‎ ‎ (1)已知两角与一边,由及，可求出角，再求、.‎ ‎ (2)已知两边、与其夹角，由，求出，再由余弦定理，求出角.‎ ‎ (3)已知三边、、，由余弦定理可求出角.‎ ‎ (4)已知两边、及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角，由，求出，再由求出，而通过求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：‎ ‎>‎ 一解 一解 一解 ‎=‎ 无解 无解 一解 ‎<‎ 两解 无解 无解 一解 无解 ‎（见图示）．‎ ‎=有一解 >>有两解 ≥ 有一解 >有一解 ‎3、三角形中常见的结论 ‎（1）在中是的充要条件 ‎（2）‎ （3） ‎（4）在中，‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例21】在三角形ABC中，若,则三角形的形状是（ ）‎ ‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 ‎ C.钝角三角形 D.任意三角形 ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎【例22】在三角形ABC中，若,则这样的三角形可能有（ ）个。‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎【例23】△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）‎ ‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】A ‎【例24】在三角形ABC中，若且，则b=__________。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】12‎ ‎【例25】在中，（、、分别为角、、的对边)，则的形状为________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【例26】在中，若，那么一定是( )‎ ‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 ‎ C.直角三角形 D.形状不确定 ‎【难度】★‎ ‎【答案】B ‎【例27】设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且 ，‎ ‎, 则的取值范围为 （ ）.‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】A ‎【例28】已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，成立，求三角形ABC面积S的最大值。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【例29】在中，分别为内角的对边，且 ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的最大值，并试判断取得最大值时的形状.‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】（1）由已知，根据正弦定理得 ‎ 即，由余弦定理得，故 （2） 由（1）得 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。因为 ，又，得， 因为， 故 ‎ 所以是等腰的钝角三角形。‎ ‎【例30】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】方法一：‎ 方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得 ‎【例31】海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时测得一轮船在岛北偏东的C处，俯角为，11时10分又测得该船在岛的北偏西的B处，俯角为 。 ‎ ‎（1）该船的速度为每小时多少千米？‎ ‎（2）若此船以不变的航速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离开岛多少千米？‎ 解题策略 在图中找出各时刻所对应的三角形，分别解三角形即可 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）在RT△AOB与RT△AOC中，求得OB=（千米），OC=(千米)，由余弦定理得BC=，于是航速v=(千米/时)‎ ‎ （2）在△OBC由余弦定理得cos∠OBC=‎ ‎ 于是sin∠EBO=sin∠OBC=,‎ 在△BEO中，由正弦定理得OE=‎ 于是从B到E所需时间t=‎ ‎【例32】设a,b,c分别是△ABC中A，B，C的对边，其外接圆半径为1，且 ‎，b,c是方程 的两根（b>c）.‎ (1) 求角A的度数及 a,b,c的值 (2) 判定△ABC的形状，并求其内切圆的半径 ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】（1）由韦达定理得b+c=3,bc=4cosA.‎ 由正弦定理得sinB+sinC=3/2,sinBsinC=cosA 由 ‎,‎ 将代入上式得 即 由余弦定理得 ‎(2)是直角三角形，易得其内切圆的半径为 ‎【例33】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，（0°＜θ＜90°）且与点A相距海里的位置求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）；（2）会进入。‎ ‎【例34】在四边形中，若，四个角的度数之比为3：7：4：10，求的长。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】设四个角的度数分别为，则有，解得.连结，在中，由余弦定理得. 这时，则是以为斜边的直角三角形，∴..‎ 在中，由正弦定理.∴‎ ‎.‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．若△的三个内角满足，则（ ）‎ ‎.一定是锐角三角形 .一定是直角三角形 ‎.一定是钝角三角形 .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角 ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎2．在中，若，且，则的大小为 ．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．已知在中,若，则该三角形为____________________‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】等腰三角形 ‎4．已知,则∠_________________________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎5.在中，，,，则等于( )‎ ‎ 　 A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，若∠C=120°，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系不能确定 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】A ‎7．在中，已知角所对的边分别是，若，且，试判断的形状.‎ 思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.‎ 方法一：由正弦定理得，∵，‎ ‎，由余弦定理的推论得 ‎∴， 化简得，∴；‎ 又∵，∴，‎ 化简得，∴，∴，即是等边三角形.‎ 方法二：∵，∴，又，‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴， ∴，‎ 又∵，∴，即，‎ 由余弦定理的推论得 又，，又，∴是等边三角形.‎ ‎8．在中，角、、的对边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）由 ,由正弦定理得 ‎ ‎ ‎【解2】. 由，余弦定理得 整理得， ‎ ‎ ‎ ‎（2）正三角形 ‎9．在中，若试判断的形状。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】解一：由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，‎ ‎，或，或 ‎，所以为等腰三角形或直角三角形。‎ 解二：由已知条件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即 ‎，，‎ 为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎10．在中，若，，试判断的形状。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】方法一：由正弦定理，得。‎ ‎,即，‎ 代入上式，得展开，整理得：∴,∴，‎ ‎∴，故，∴为正三角形.‎ 方法二：由余弦定理，得，‎ ‎∵, ，，‎ 整理，得，∴. 从而，∴为正三角形。‎ ‎11．在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在岛北东，俯角为的B处，到时分又测得该船在岛北西、俯角为的处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；‎ ‎(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远？‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】(1)在 ‎ 在。‎ 在 ‎（2）‎ 在中，由正弦定理 解三角形技巧和注意事项：‎ ‎（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．‎ ‎（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．‎ ‎（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；‎ ‎（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；‎ ‎（5） ①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．‎ 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：‎ ‎1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；‎ ‎2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎1．已知的面积为，且，则等于 ‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】60°或120°‎ ‎2．在△中，若,, ,则.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎3．在中，边，，则角的取值范围是 ．‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎4．在锐角中，角所对的边长分别为.若,则角等于 ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则其顶角的正切值是 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎6．在中，若，那么三角形的形状为 。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】等腰直角三角形 ‎7．在锐角中，若，则的取值范围是 ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎8．在中，，则=________‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎9．在中，,则的面积等于_________.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎10．在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积 ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎11．在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎12．已知的内角A,B,C的对边分别为，且,则B= ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。‎ ‎(1)角C的度数； (2)AB的长度。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1） C＝120°‎ ‎ （2）由题设：‎ ‎ ‎ ‎14．在中，角所对的边分别为,已知 ‎（1）求角的大小;‎ ‎（2）若，求使面积最大时的值.‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】；，‎ ‎15．在中，角所对边的长分别为，且.‎ ‎（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）由正弦定理,得 ‎（2）由余弦定理，得,所以 故 所以 ‎16．已知函数．]‎ ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）， ‎ 则的最小值是－2， 最小正周期是； ‎ ‎（2），则， ，，， ‎ ‎，由正弦定理，得，① ‎ 由余弦定理，得，即， ②‎ 由①②解得．‎ ‎17．某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，由C处测得距C为31公里的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20公里后，到达D处，此时C、D间距离为21公里，问这人还走多少公里到达A城。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】如图BC=31公里，BD=20公里，CD=21公里 令∠ACD=α，∠CDB=β ‎18．如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，‎ 山路长1260 m ，经测量，，.‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】解：（1）∵，‎ ‎∴∴，‎ ‎∴‎ 根据得 ‎（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则 ‎∴∵即 ‎∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。‎ ‎（3）由正弦定理得（m）‎ 乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则，∴∴‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内 法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎