数学理卷·2017届湖南省岳阳市高三教学质量检测（二）（2017

数学理卷·2017届湖南省岳阳市高三教学质量检测（二）（2017

岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（二）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，复数满足，则的值为 （ ）‎ A．2 B．3 C． D．5‎ ‎3. 设数列是等差数列，为其前项和，若，则（ ）‎ A． 4 B．-22 C． 22 D． 80‎ ‎4. 函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎5.已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． 1 B． C. D．‎ ‎9. 已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 设，若关于的不等式组，表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎12. 已知直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题，第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.‎ ‎13.如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为 ．‎ ‎14.若点是函数的一个对称中心，则 ．‎ ‎15.已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知函数，数列中，，则数列的前100项之和 ．‎ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 在锐角中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”‎ 水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.‎ ‎（1）求居民月用水量费用（单位：元）关于月用电量（单位：吨）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占66%，求的值；‎ ‎（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户3月份的用水费用，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，为棱的中点.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，当的面积最大时，求弦的长.‎ ‎21.已知函数(是自然对数的底数)在处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ （1） 求不等式的解集；‎ （2） 若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DDCBA 6-10: CABCD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.-10200‎ 三、解答题 ‎17.（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ ‎∵为锐角三角形，∴，∴即；‎ ‎（2）∵，∴由正弦定理有：，‎ ‎∴由正弦定理有：，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∵为锐角三角形，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.（1）当时，；‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 所以与之间的函数解析式为：；‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，则，‎ 结合频率分布直方图可知：，‎ ‎∴；‎ ‎（3）由题意可知：的可能取值为1，3，，5，7，9，11.‎ 则，‎ 所以的分布列：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎．‎ ‎19.（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以且，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）又因为为正三角形，所以，‎ 又因为面面，面面.面，‎ 所以面，.又因为，所以面，所以面.‎ ‎（3）‎ 取中点，再连接.易证面，所以为直线与平面所成的角，即，设，可求得.‎ 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，则，令，得 ‎，所以，‎ 设面的法向量为，则，令，得 ‎，，‎ 所以，所以，‎ 因为二面角为钝角，其余弦值为.‎ ‎20.（1）设椭圆的标准方程为，‎ 依椭圆的定义可得：‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程化简得：，‎ 设，则，‎ 的面积，‎ 令，则，当且仅当，即时取等号.‎ 此时，直线的方程为，圆心到的距离为，又圆半径为，故所求弦长为.‎ ‎21.（1），由已知得，得，则.‎ 令，解得或，故函数的单调递增区间为和.‎ ‎（2）不等式，可化为，记，‎ ‎，‎ 当时，恒成立，则在上递增，没有最小值，故不成立；‎ 当时，令，解得，当时，；当时，‎ ‎，当时，函数取得最小值，‎ 即，则，‎ 令，，令，则，当时，；当时，，故当时，取得最大值，所以，即的最大值为.‎ ‎22.（1）∵，∴，∴，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎∵直线过点，且倾斜角为，‎ ‎∴直线的参数方程为：（为参数），‎ 即（为参数）.‎ ‎（2）设两点对应的参数分别为，‎ 将直线与曲线的方程得：，‎ ‎∴，∴.‎ ‎23.（1）①，解得：；‎ ‎②无解；‎ ‎③解得：；‎ ‎∴原不等式的解集为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，使成立，‎ ‎∴，解得：或，‎ ‎∴实数的取值范围为：或.‎