2013福州5月份质检理数试卷

2013福州5月份质检理数试卷

‎2013年福州市5月高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ 1. 是虚数单位，复数，．若的虚部为，则等于 A．2 B．‎-2 ‎C．1 D．-1‎ 2. 要得到函数的图象，只须将的图象上的所有的点 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 第3题图 3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎４.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知命题“直线与平面有公共点”是真命题，那么下列命题： ①直线上的点都在平面内；②直线上有些点不在平面内； ③平面内任意一条直线都不与直线平行． 其中真命题的个数是 A.3 B‎.2 ‎C.1 D.0‎ ‎6.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为 A.127 B‎.255 ‎C.511 D.1023‎ ‎7.设则中奇数的个数为 A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎8.已知点是△所在平面内的一点，边AB的中点为D，若，其中，则点一定在 A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AC边所在的直线上 D．△的内部 ‎9.对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于 A． B． C． D．‎ ‎10.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①，；  ②，； ③，； ④，， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是 A．①② B．③④ C． ②③ D．①④‎ 二、填空题 ‎11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 .‎ ‎12.已知函数，则的值等于 ．‎ 第13题图 开始 ‎_？___‎ ‎ ‎ 结束 输出y ‎ 是 否 输入x ‎ ‎13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入，输出，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）． 　①； ②； ③； ④．‎ ‎14.在区间上任取两个数，，能使函数在区间内有零点的概率等于________.‎ ‎15.设数列是由集合，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，a5＝30，a6＝36，…，若＝，且，，则的值等于____________．‎ 三、解答题 ‎16已知平面向量a错误！未找到引用源。，b=，定义函数 （Ⅰ）求函数的值域； （Ⅱ）若函数图象上的两点、的横坐标分别为和，为坐标原点，求△的面积．‎ ‎17.某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据： 编号 性别 投篮成绩 ‎ 3‎ 男 ‎90‎ ‎7‎ 女 ‎60‎ ‎11‎ 男 ‎75‎ ‎15‎ 男 ‎80‎ ‎19‎ 女 ‎85‎ ‎23‎ 男 ‎80‎ ‎27‎ 男 ‎95‎ ‎31‎ 男 ‎80‎ ‎35‎ 男 ‎80‎ ‎39‎ 女 ‎60‎ ‎43‎ 男 ‎75‎ ‎47‎ 女 ‎55‎ 甲抽取的样本数据 ‎ 编号 性别 投篮成绩 ‎1‎ 男 ‎95‎ ‎8‎ 男 ‎85‎ ‎10‎ 男 ‎85‎ ‎17‎ 男 ‎80‎ ‎23‎ 男 ‎60‎ ‎24‎ 男 ‎90‎ ‎27‎ 男 ‎80‎ ‎31‎ 女 ‎80‎ ‎35‎ 女 ‎65‎ ‎37‎ 女 ‎35‎ ‎41‎ 女 ‎60‎ ‎46‎ 女 ‎75‎ 乙抽取的样本数据 （Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 ‎12‎ （Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 第18题图 ‎（参考公式：，其中）‎ ‎18.如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且． （Ⅰ）求多面体的体积； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．‎ ‎19. 已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：．‎ ‎20. 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性； （Ⅲ）证明不等式对任意成立．‎ 21. 本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修4-2：矩阵与变换 已知线性变换：对应的矩阵为，向量β． （Ⅰ ）求矩阵的逆矩阵； （Ⅱ ）若向量α在作用下变为向量β，求向量α． ‎ ‎(2)选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的极坐标方程为．现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆上的动点的直角坐标为，求的最大值，并写出取得最大值时点P的直角坐标．‎ ‎（3）选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为． （Ⅰ ）求的值； （Ⅱ ）若，求的取值范围．‎ ‎2013年福州市高中毕业班质量检查 数学（理科）试卷参考答案及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．‎ ‎1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．‎ ‎11． 12．3 13．②③④ 14． 15． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．‎ 解：（Ⅰ）依题意得…………ks5u……………………1分 ‎ …………………………………………………………………3分 ‎　所以函数的值域为．………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，‎ ‎，，………………………………6分 ‎　从而　　.………………………………………………7分 ‎∴，‎ ‎……………………………………………9分 根据余弦定理得 ‎.‎ ‎∴，…………………………………………………………………10分 ‎　△的面积为.…………13分 方法二 同方法一得：.…………………………………………7分 ‎ 则 . ………………………………………………8分 ‎.……………………………………………10分 所以，　‎ ‎△的面积为.……………13分 方法三 同方法一得：.…………………………………………7分 直线的方程为，即. …………… …………………8分 点到直线的距离为. ……………………10分 又因为，……………………………………ks5u…………………11分 所以△的面积为.…………………13分 ‎17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分． 解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．‎ X的所有可能取值为．……………………………………………………1分 所以，，．…4分 故的分布列为 ‎ …………………………………………5分 ‎∴． ……6分 ‎（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：‎ 优秀 非优秀 合计 男 ‎6‎ ‎1‎ ‎7‎ 女 ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ 合计 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎…………7分 的观测值3.841，……………………………9分 ‎ 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 ‎18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．‎ ‎（Ⅰ）如图，连接ED，‎ ‎∵底面且，∴底面,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴面, ----------------1分 ‎∴, --------2分 ‎ , -------------3分 ‎∴多面体的体积 ‎．--------------5分 ‎（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),‎ 所以 ------7分 设平面ECF的法向量为，‎ 则　　　得： ks5u…‎ 取y=1,得平面的一个法向量为 ------9分 设直线与平面所成角为，‎ 所以----11分 ‎ ‎（Ⅲ）取线段CD的中点；连接，直线即为所求． ---------------12分 ‎　　 图上有正确的作图痕迹………………………………13分 ‎19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分． 解：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为． 依题意，且，………………３‎ 分 整理得．所以，曲线的方程为：，．………5分 （Ⅱ）由得， ， ……7分 由已知条件可知，，所以 ， 从而，　　　即． ………………13分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．‎ 解：． （Ⅰ）当时，，切线的斜率， 所以切线方程为，即． ……3分 （Ⅱ）当时，因为，所以只要考查的符号． 由，得， 当时，，从而，在区间上单调递增； 当时，由解得． ……6分 当变化时，与的变化情况如下表： ‎ 函数在区间单调递减，在区间上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间 上单调递增； 所以，ks5u… 即对任意成立． ……11分 取，， 得，即，．……13分 将上述n个不等式求和,得到:， 即不等式对任意成立． ……14分 ‎21．（1）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）依题意，所以，‎ 所以． ----------3分 ‎（Ⅱ）由，得． ----------7分 ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．‎ 解：（Ⅰ）由，得，‎ 所以圆的直角坐标方程为， 即．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C的参数方程为（为参数）. 所以， ………………………5分 因此当，时，取得最大值为， 且当取得最大值时点P的直角坐标为．……………7分 ‎（3）选修4－5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．‎ 解：（Ⅰ）依题意，当时不等式成立，所以，解得， 经检验，符合题意． ---------------------3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．根据柯西不等式，‎ 得，-----------------5分 所以， ‎ 当且仅当时，取得最大值，时，取得最小值， 因此的取值范围是． ks5u…-------------7分