【数学】四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

【数学】四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

四川省泸县第五中学2020-2021学年 高二上学期开学考试（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.直线的倾斜角为 ‎ A.45° B.60° C.120° D.135°‎ ‎2.下列命题正确的是 ‎ A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面 ‎3.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为 ‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎4.已知，，且，则向量与的夹角为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在中，已知，，，则 ‎ A.4 B.2 C.3 D.‎ ‎6.设是等比数列的前项和，若，则为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎8.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为 ‎ A. B.或 C. D.或 ‎9.在中, = 分别为角的对应边),则的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 ‎10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是 A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为 ‎11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.不等式的解集为__________.‎ ‎14..若，，则的最小值为____________‎ ‎15.已知直三棱柱所有的棱长都相等，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______________‎ ‎16.在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为____________‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。‎ ‎17.（10分）已知直线：x+y-1=0.‎ ‎（1）求过原点且与直线平行的直线方程.‎ ‎（2）求过点(2，3)且与直线垂直的直线方程.‎ ‎18.（12分）设函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若，求函数的最值.‎ ‎19.（12分）已知正项等比数列的前项和为，且，，数列满足，且.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20.（12分）在 中， 所对的边分别为，‎ 且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若， ， 为的中点，求的长．‎ ‎21.（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：四边形是平行四边形；‎ ‎（3）若，试判断二面角的大小能否为？‎ 说明理由.‎ ‎22.对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的 ‎，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．‎ ‎（1）若，，则与在区间上是否“友好”；‎ ‎（2）现在有两个函数与，给定区间．‎ ‎①若与在区间上都有意义，求的取值范围；‎ ‎②讨论函数与与在区间上是否“友好”．‎ 参考答案 ‎1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D 11.B 12.A ‎13.. 14. 15. 16.‎ ‎17.解：（1）直线的斜率为，‎ 过原点且与直线平行的直线方程为：，即；‎ ‎（2）直线的斜率为，‎ 与直线垂直的直线的斜率为1，‎ 过点且与直线垂直的直线方程为：，即．‎ ‎18.（1）∵，.‎ ‎，∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数，，‎ ‎∴函数在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎19.（1）设等比数列的公比为，‎ 依题意可得所以，‎ 所以，即，解得或（舍），‎ 所以，所以，‎ 所以，因为，‎ 所以，，，，，‎ 将以上各式相加可得，‎ 所以.‎ 综上所述：，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以数列的前项和为 ‎.‎ ‎20.(1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，‎ 由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c， ‎ 整理得a2＝b2＋c2－2bc， ‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝， ‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝. ‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝＝＝，‎ 所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，‎ 由正弦定理得b＝＝＝2， 所以CD＝AC＝1， ‎ 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，‎ 所以BD＝.‎ ‎21.（1）由平面平面，平面平面，‎ 且，所以平面，‎ 又平面，所以；‎ ‎（2）依题意都在平面上，‎ 因此平面，平面，‎ 又平面，平面，‎ 平面与平面平行，即两个平面没有交点，‎ 则与不相交，又与共面，‎ 所以，同理可证，‎ 所以四边形是平行四边形；‎ （3） 不能.如图，作交于点，延长 交于点，连接，‎ 由，，，‎ 所以平面，则平面，又，‎ 根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，‎ 若，则是等腰直角三角形，，‎ 又，‎ 所以中，由大角对大边知，‎ 所以，这与上面相矛盾，‎ 所以二面角的大小不能为.‎ ‎22.（1）由已知，，因为时，‎ ‎，所以恒成立，故 与在区间上是“友好”的.‎ ‎（2）①与在区间上都有意义，‎ 则必须满足，解得，又且，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，‎ 则，即，‎ 因为，则，，所以在的右侧，‎ 又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，‎ 从而，，‎ 所以，解得，‎ 所以当时，与与在区间上是“友好”的；‎ 当时，与与在区间上是“不友好”的.‎