【数学】2018届一轮复习人教A版（理）利用导数研究函数的单调性学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）利用导数研究函数的单调性学案

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：利用导数研究函数的单调性 考点 考纲要求 题型 分值 考题规律 利用导数研究函数的单调性 ‎1. 理解函数单调性与导数的关系，会用导数求函数的单调区间并研究单调性；‎ ‎2. 会根据函数的单调性研究导数取值情况、求参数值（或范围）。‎ 填空 解答 ‎5分 利用导数研究函数的单调性是高考必考考点。‎ 考查方式：‎ ‎（1）直接考查导数法求函数的单调区间或研究函数的单调性； ‎ ‎（2）以利用导数研究函数的单调性为载体，考查函数的极值、最值问题。‎ 可以是填空题，也可以是解答题。 ‎ ‎【考向预测】‎ 利用导数研究函数的单调性是高考必考考点，预计未来几年高考中仍会考查利用导数研究函数的单调性，既可以是填空题也可以是解答题。可以考查求单调区间、讨论单调性，也可以考查已知单调性求参数值或范围，一般为中档题。‎ ‎【解题关键】理解概念，数形结合。‎ ‎1. 函数的单调性与导数值的符号关系 设函数在某个区间内可导，如果，那么函数在区间内单调递增；如果，那么函数在区间内单调递减。‎ ‎2. 利用导数求可导函数单调区间的步骤：‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求导函数；‎ ‎（3）解或；‎ ‎（4）写出结论。 ‎ 注意：‎ 求可导函数的单调区间，实质上是解导数不等式。‎ 若求减区间，则解；若求增区间，则解。‎ 例题1 求证函数在上是单调减函数。‎ 思路分析：可以利用导数法证明函数的导函数值在区间上恒为负。‎ 答案：证明：∵，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即 ‎∴在上是单调减函数。‎ 技巧点拨：证明函数的单调性有两种方法：定义法和导数法。定义法证明的步骤是作差、变形、定号、下结论，导数法的步骤是求定义域、求导、定号、下结论。‎ 例题2 已知函数在（1，2）上是增函数，求的取值范围。‎ 思路分析：利用函数在（1，2）上是增函数，则它的导函数值在（1，2）上恒不小于零，列不等式求解。‎ 答案：解：在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，因为在（1，2）上单调递减，所以，所以。‎ 技巧点拨：利用可求函数的增区间，相应地，函数在某区间上单调递增，则在该区间上恒成立，注意验证端点值。‎ 例题3 已知为常数，且，函数，（是自然对数的底数。）‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间。‎ 思路分析：（1）将代入到函数中即可求出实数的值；‎ ‎（2）将（1）中的值代入到函数中，得 ，要求的单调区间须先求出，解导数不等式。‎ 为参数，故须对进行分类讨论，再解出关于的导数不等式即可。‎ 答案：解：（1）将代入到函数中，‎ 得：，‎ 化简得：。‎ ‎（2）将代入到中，可得，‎ ‎∴。‎ 因为，故 ‎①当时，由得：，解得：。‎ 由得：，解得：。‎ ‎②当时，由得：，解得：。‎ 由得：，解得：。‎ 综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。‎ 技巧点拨：求含参数的函数的单调区间时，先对进行求导，列出关于的含参数的不等式，然后再对参数进行分类讨论，根据参数的不同范围分情况讨论函数的单调区间。‎ ‎【易错警示】‎ 利用导数求函数单调区间的误区 ‎1. 由可得函数的单调增区间，反过来，已知函数在区间上单调递增，则有在区间上恒成立。即是为增函数的充分不必要条件。‎ ‎2.‎ ‎ 如果函数的单调区间不止一个，需要分开书写，中间用逗号隔开，单调区间一般不能取并。‎ 示例 函数的单调减区间为__________。‎ 思路分析：函数的定义域为且，，‎ 由得：且，所以单调减区间为，。‎ 答案：，。‎ 注意：本题不可以将两个单调区间合并书写或用并集符号联结，因为当时函数值都是负的，而当时函数值都是正的，在合并的区间不符合单调递减的定义。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 已知函数，其定义域为（－2，2），则关于实数x的不等式＋的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 函数f（x）在R上的导函数为，且‎2f（x）＋x>x，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）‎ ‎5. 函数则（ ）‎ A. 在区间内均有零点 ‎ B. 在区间内均无零点 C. 在区间内有零点，在区间内无零点 D. 在区间内无零点，在区间内有零点 二、填空题 ‎6. 已知函数f（x）＝x（ex－1）－x2，则函数f（x）的单调增区间为________。‎ ‎*7. 已知函数f（x）＝ln x－，若函数f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，则a的取值范围是______。‎ ‎**8. 如图所示，是定义在区间上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：‎ ‎①若，对于内的任意实数m，，恒成立；‎ ‎②函数是奇函数的充要条件是；‎ ‎③的导函数有两个零点；‎ ‎④若，则方程必有3个实数根。‎ 其中所有正确结论的序号是_________。‎ 三、解答题 ‎9. 已知函数f（x）＝＋ln x。‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性。‎ ‎10. 已知函数，且）。‎ ‎（1）若，且在上存在单调递增区间，求a的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数满足，是否存在实数，使在处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数；否则，说明理由。 ‎ ‎1. B 解析：借助导数知识，根据，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可。‎ ‎∵对于R上可导的任意函数，‎ ‎∴有或 即当时，为增函数，当时，为减函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选B。‎ ‎2. D 解析：， ‎ 易知函数是奇函数，且在整个区间（－2，2）内单调递增。‎ 因为在恒大于0，‎ 根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的，由 ‎，得 ‎，‎ 即，‎ 解得：。‎ 故选D。‎ ‎3. A 解析：由已知，首先令，排除B，D。然后结合已知条件排除C，得到A。本题考查了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。‎ ‎4. A 解析：因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A。注意选项C中为常数。‎ ‎5. D 解析：由题意，得，令，得；令，得；令，得，故知函数在区间（0，3）上为减函数，在区间上为增函数，在点处有极小值。‎ 又，故选D。‎ ‎6. （－∞，－1]，[0，＋∞） 解析：因为f（x）＝x（ex－1）－x2，‎ 所以（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）。‎ 令（x）>0，即（ex－1）（x＋1）>0，‎ 解得x∈（－∞，－1）或x∈（0，＋∞）。‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（－∞，－1]，[0，＋∞）。‎ ‎7.（－∞，2] 解析：（x）＝－＝＝‎ 。‎ 因为f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，所以（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即x2＋（2－‎2a）x＋1≥0在（0，＋∞）上恒成立，‎ 当x∈（0，＋∞）时，由x2＋（2－‎2a）x＋1≥0，得 ‎2a‎－2≤x＋。‎ 设g（x）＝x＋，x∈（0，＋∞），‎ 则g（x）＝x＋≥2＝2，‎ 当且仅当＝x，即x＝1时等号成立，‎ 所以‎2a－2≤2，即a≤2，‎ 所以a的取值范围是（－∞，2]。‎ ‎8. ①②③ 解析：①由图象知，函数在区间上为增函数，故当时，在上也为增函数，‎ 故对于内的任意实数，恒成立，故命题正确；‎ ‎②当时，函数是一个奇函数，反之，当是奇函数时，由于，则必有；‎ ‎③任意，由的极值点有两个，判断导函数有2个零点；‎ ‎④由于本题中没有具体限定b的取值范围，故无法判断有几个根。综上①②③正确。‎ 故答案为①②③。‎ ‎9. 解：（1）∵f（x）＝＋ln x，‎ ‎∴（x）＝（a＞0）。‎ ‎∵函数f（x）在[1，＋∞）上为增函数，‎ ‎∴（x）＝≥0对x∈[1，＋∞）恒成立，‎ 即ax－1≥0对x∈[1，＋∞）恒成立，‎ 即a≥对x∈[1，＋∞）恒成立，∴a≥1。‎ ‎（2）∵a≠0，（x）＝＝，x＞0，‎ 当a＜0时，（x）＞0对x∈（0，＋∞）恒成立，‎ ‎∴f（x）的增区间为（0，＋∞），‎ 当a＞0时，由（x）＞0，得x＞，由（x）＜0，得0＜x＜，‎ ‎∴f（x）的增区间为，减区间为。‎ ‎10. 解：（1）当时，在上存在单调递增区间，即在上存在区间使。‎ ‎①时，是开口向上的抛物线。‎ 显然在上存在区间，使即适合。‎ ‎②时，是开口向下的抛物线。‎ 要使在上存在区间有，则＝0在上有一解或两解。‎ 即，或或无解，‎ 又。‎ 综上，得。‎ ‎（2）不存在实数满足条件。‎ 事实上，由，得：。‎ ‎。‎ 又，‎ ‎。‎ ‎，且，，‎ 故不存在实数满足条件。‎ 点拨：本题考查了函数的单调性与其导数的关系，及导数的几何意义等基本知识；同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力。‎