【数学】2020届一轮复习人教A版条件概率、二项分布及正态分布课时作业
一、选择题
1.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( )
A. B. C. D.
解析 因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝，P(乙)＝，所以他们都中靶的概率是×＝.
答案 A
2.(2019·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析 三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.
答案 D
3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.
答案 A
4.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)( )
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
解析 依题设，X～N(0，32)，其中μ＝0，σ＝3.
∴P(－3
2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.
解析 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案 0.954
7.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
解析 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
答案 0.128
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.
解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B，
即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5.
故P(X＝4)＝C×＝.
答案
三、解答题
9.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.
(1)求小明同学一次测试合格的概率；
(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列.
解 设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1，2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1，2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.
(1)P()＝P(12)＋P(1A212)＋P(A112)
＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)
＝＋××＋×＝.
∴P(C)＝1－＝.
(2)依题意知ξ＝2，3，4，
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)＝P(A1)P(B1)＋P(1)·P(2)＝，
P(ξ＝3)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(A112)
＝P(A1)P(1)P(B2)＋P(1)P(A2)P(B1)＋
P(A1)P(1)P(2)＝，
P(ξ＝4)＝P(1A21)＝P(1)P(A2)P(1)＝.
故投篮的次数ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
P
10.空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为：45，50，75，74，93，90，117，118，199，215.
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.
解 (1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，
∴该样本中空气质量为优良的频率为＝，
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B.
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝＝，
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.×
C.× D.C××
解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为×.
答案 B
12.(2019·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以两次都取到红球的概率为.
答案 C
13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.
解析 设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率
p＝×＝.
答案
14.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
解 设B＝{飞机被击落}，Ai＝{飞机被i人击中}，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，
依题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被i人击中}，i＝1，2，3，
可求得：P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)，
P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)，
P(A3)＝P(H1H2H3)，
将数据代入计算得：
P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
即飞机被击落的概率为0.458.
