2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（文）试题

2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（文）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)试题 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．已知集合，，则（）‎ A．B．C．D．‎ ‎2．设复数满足，则在复平面内对应的点在（）‎ A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限 ‎3．命题“任意，”的否定是( )‎ A．存在， B．存在，‎ C．任意， D．任意，‎ ‎4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）‎ ‎7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ A．08 B．‎07 C．02 D．01‎ ‎5．若直线，被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）．‎ A．9 B．‎4 ‎C．D．‎ ‎6．若函数 满足：，且都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象大致是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎10．向量，，，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．执行如右的程序框图，则输出的是（）‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎12．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填写在答题纸相应位置.）‎ ‎13．若是等比数列，且公比，，则________.‎ ‎14．已知实数、满足条件则的最大值为________.‎ ‎15．已知在中，角，，的对边分别为，，，，，‎ 的面积等于，则外接圆的面积为________.‎ ‎16．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2（|F‎1F2|＝‎2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为________.‎ 三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；‎ ‎（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值.‎ ‎18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．‎ ‎（1）求样本容量和频率分布直方图中的x，y的值；‎ ‎（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；‎ ‎（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．‎ ‎19．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形,四边形是矩形.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若，，，，求三棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）设为坐标原点，椭圆的焦距为 ‎，离心率为，直线与 交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ （二） 选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．‎ ‎23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设 ，且当时，都有，求的取值范围．‎ 小二黑体 西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 ‎ 数学(文科)试题答案 一. 选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D A B C B C D A B 二.填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 14.15.16.‎ 三.解答题（本大题包括6小题，共70分.）‎ ‎17. 解：解：（1）‎ 则函数的周期; 函数的增区间………6分 ‎（2）,令可得换元可得，对称轴为……………12分 ‎18．解：（1）由题意可知，样本容量n==50，‎ ‎，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030； ………………4分 ‎（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，‎ 则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得， ………………8分 ‎（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，‎ 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为:（a1，a2）,（a1，a3），（a1，a4）,（a1，a5）,（a1，b1）,（a1，b2），（a2，a3）,（a2，a4）,（a2，a5）,（a2，b1），（a2，b2）,（a3，a4）,（a3，a5）,（a3，b1）,（a3，b2）,（a4，a5）,（a4，b1）,（a4，b2）,（a5，b1）,（a5，b2）,（b1，b2）．‎ 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为:（a1，a2）,（a1，a3）,（a1，a4）,（a1，a5）,（a2，a3）,（a2，a4）,（a2，a5）,（a3，a4）,（a3，a5）,（a4，a5）．‎ ‎∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率. …………12分 ‎19. 解：（1）四边形为平行四边形 又平面，平面平面 四边形为矩形又平面，平面 平面平面，‎ 平面平面又平面平面……………6分 ‎（2）设，连接 四边形为平行四边形为中点 在中，由余弦定理得：‎ 又，平面，平面 点到平面的距离为 ‎，‎ ‎……………………12分 ‎20. 解：（1）因为，则 故，所以椭圆的方程为………………………4分 ‎（2）设，，联立，消去整理可得所以，，‎ 所以 因为，所以 所以 整理可得解得或（舍去）所以直线过定点………12分 ‎21.解：（1）∵依题意可知：函数的定义域为，∴，‎ 当时，在恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，由得；由得；‎ 综上可得当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减；在上单调递增.………………6分 ‎（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，‎ 不妨设，则，可化为，‎ 设，则，所以为上的减函数，‎ 即在上恒成立，等价于在上恒成立，‎ 设，所以，‎ 因，所以，所以函数在上是增函数，‎ 所以（当且仅当时等号成立）所以．………12分 ‎22.解:（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线C的普通方程为.因为，‎ 所以.所以直线的直角坐标方程为.…5分 ‎（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得，所以，‎ 所以.…………………10分 ‎23.解：（1）当 时，，‎ 故不等式 可化为：或 或，‎ 解得：或， 所求解集为或．…………5分 ‎（2）（2）当 时，由有：。‎ ‎ 不等式 可变形为：‎ 故对恒成立，即 ，解得 而，故．的取值范围是.……………………10分